2019年南通市中考数学试卷(定稿)

2019年南通市中考数学试卷(定稿)
南通市2019年初中毕业、升学考试数学试卷
注意事项：
1.本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后请将试卷和答题卡一并交回。

2.答题前请务必使用0.5毫米黑色签字笔填写姓名和考试证号。

3.答案必须按照要求填涂在答题卡上，试卷和草稿纸上的答案无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡上）
1.下列选项中，比-2℃低的温度是
A。

-3℃ B。

-1℃ C。

0℃ D。

1℃
2.化简12的结果是
A。

43 B。

23 C。

32 D。

26
3.下列计算正确的是
A。

a^2 × a^3 = a^6 B。

2a^2 - a = a C。

a^6 ÷ a^2 = a^3 D。

(a^2)^3 = a^6
4.如图是一个几何体的三视图，该几何体是
A。

球 B。

圆锥 C。

圆柱 D。

棱柱
5.已知a，b满足方程组
3a + 2b = 4。

2a + 3b = 6。

则a + b的值为
A。

2 B。

4 C。

-2 D。

-4
6.用配方法解方程x^2 + 8x + 9 = 0，变形后的结果正确的是
A。

(x + 4)^2 = -9 B。

(x + 4)^2 = -7 C。

(x + 4)^2 = 25 D。

(x + 4)^2 = 7
7.XXX学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进
行练：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB = 3（如图）。

以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数
介于
A。

1和2之间 B。

2和3之间 C。

3和4之间 D。

4和5
之间
8.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB，交CD于点E，若
∠C=70°，则∠AED度数为
A。

110° B。

125° C。

135° D。

140°
9.如图是XXX晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t （单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的
抛物线一部分。

下列说法不正确的是
A。

25min~50min，XXX步行的路程为800m
B。

线段CD的函数解析式为s = 32t + 400（25≤t≤50）
C。

5min~20min，XXX步行速度由慢到快
s/m
2000
1200
525
D。

CB
A
10.在△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜XXX）得到△AB′C′，B′C′与BC，AC分别交于点D，E。

设CD+DE=x，△AEC′的面积为y，则y与x的函数图象大致为（第10题）
解析：根据题意，可以列出以下等式和关系式：
BAC = 180° - 2∠B = 120°
CAB′ = α
C′AE = 60° - α
由正弦定理可得：
AE = 2sin(60° - α)
CE′ = 2sinα
EC′ = 2sin(60° + α)
根据面积公式可得：
y = 1/2 * AE * EC′ * sin∠C′AE
代入上述式子，得到：
y = 2sin(60° - α)sin(60° + α)sinα
化XXX：
y = 3cosα - 2cos^3α
又因为CD = AC - AD = 2 - AE，DE = CE′ - CD = 2sinα - (2 - AE) = AE + 2sinα - 2，所以：
x = 2 + 3sinα - 2cos^3α
因此，y与x的函数图象大致为选项B．
11.计算22 - (3 - 1) = ▲
解析：22 - (3 - 1) = 22 - 2 = 4，所以答案为4．
12.5G信号的传播速度为300 000 000m/s，将300 000 000用科学记数法表示为▲．
解析：300 000 000 = 3 × 10^8，所以用科学记数法表示为3 × 10^8．
13.分解因式x^3 - x = ▲．
解析：x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x + 1)(x - 1)，所以分解因式为x(x + 1)(x - 1)．
14.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB 延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=▲度．（第14题）
解析：由题意可得，∠BAF = 90° - ∠BAE = 65°，∠ACF = ∠BAF - ∠BAC = 65° - 45° = 20°，所以答案为20°．
15.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一。

书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。

问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六
钱。

问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为▲．
解析：根据题意可得以下方程组：
9x - 11 = y
6x + 16 = y
将y相等代入可得：
9x - 11 = 6x + 16
化XXX：
3x = 27
解得：
x = 9
所以共有9个人共同出钱买鸡，答案为9．
16.已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10π cm^2，则该圆锥的母线长为▲cm．
解析：设圆锥的高为h，母线长为l，则根据圆锥的侧面积公式可得：
πrl = 10π
即：
rl = 10
又因为底面半径为2，所以：r^2 + h^2 = l^2
代入rl=10，可得：
4 + h^2 = l^2
因此：
l = √(4 + h^2)
又因为：
XXX(2πr)
所以：
h/2 = l/π
代入上述式子可得：
h/2 = √(4 + h^2)/π
化XXX：
h^4 - 16π^2h^2 + 16π^2 = 0
解得：
h^2 = 8π ± 4√3
因为h>0，所以：
h = 2√(2π ± √3)
代入l的式子可得：
l = √(4 + 8π ± 4√3)
因此，圆锥的母线长为√(4 + 8π ± 4√3) cm．
17.如图，过点C（3，4）的直线y=2x+b交x轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线y=x^2（x≥0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为▲．（第17题）
解析：首先求直线y=2x+b与x轴的交点A的横坐标，即令y=0，得到：
2x + b = 0
x = -b/2
因为∠ABC=90°，所以直线AB的斜率为-1/2，所以CB 的斜率为2，CB的解析式为y=2x-2，所以B的坐标为
(3/2,2)．将点A沿y轴正方向平移a个单位长度，得到新点A'的坐标为(-a,-b/2)，因为A'在曲线y=x^2上，所以有：b/2)^2 = (-a)^2
化XXX：
a^2 = b^2/4
又因为点C在直线y=2x+b上，所以有：
4 = 2(3) + b
b = -2
代入上述式子可得：
a^2 = 1
因此，a的值为1，答案为1．
18.如图，□ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为
边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于▲．（第18题）
解析：根据三角形两边之和大于第三边的性质可得，
AD+DC>AC=4√3，所以AD>4√3-2．又因为∠DAB=60°，所
以AD=AB=6，所以DC=6-AD=2-4√3．设DP=x，则PB=2-x，根据勾股定理可得：
x^2 + (2-4√3)^2 = PB^2
x^2 + (2-x)^2 = PD^2
将上述两式相加可得：
2x^2 - 4x + 16 - 8√3 = PB^2 + PD^2
因为PB^2 + PD^2 = (PB+PD)^2 - 2PBPD，所以：
PB^2 + PD^2 ≥ (PB+P D)^2/2
代入上述式子可得：
2x^2 - 4x + 16 - 8√3 ≥ (PB+PD)^2/2
化XXX：
PB+PD ≤ √(4x^2 - 8x + 32√3 - 32)
又因为：
4x^2 - 8x + 32√3 - 32 = 4(x-1)^2 + 32(√3-1)
所以：
PB+PD ≥ 4√(√3-1)
因此，PB+PD的最小值为4√(√3-1)，答案为4√(√3-1)．19.解不等式4x-1/3-x>1，并在数轴上表示解集．
解析：将分母通分得：
4x - 1 - x。

3
化XXX：
3x。

4
x。

4/3
所以解集为(4/3.+∞)，在数轴上表示为：
先化简，再求值：$\frac{(m+4m+2)}{2}$，其中$m=2-2$。

化简得：$\frac{(6m+2)}{2} = 3m+1$，代入$m=0$得：$3\times0+1=1$。

答案为1.
改写）先将式子进行化简，得到
$\frac{(m+4m+2)}{2}=3m+1$。

代入$m=0$，得到最终答案为1.
删除）无。

改写）题目要求测量池塘两端A、B的距离，可通过在平地上取一个点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，最后量出DE的长度即可得到AB的距离。

这是因为连接DE后，三角形ADE和三角形BCE是全等的，所以DE=BC=AB。

改写）题目中给出了两个盒子，分别有白球和黄球。

从每个盒子中各取出一个球，求取出的两个球中有一个白球和一个
黄球的概率。

根据条件概率公式，该概率等于取出一个白球一个黄球的情况在所有可能情况中的比例。

因此，可以列出取出一个白球一个黄球的情况有四种，分别是从第一盒子取白球，从第二盒子取黄球；从第一盒子取黄球，从第二盒子取白球；从第一盒子取白球，从第二盒子取白球；从第一盒子取黄球，从第二盒子取黄球。

而所有可能情况有四种，分别是从第一盒子取球，从第二盒子取球。

因此，所求概率为$\frac{4}{4}=1$。

改写）题目中给出了某校购进《西游记》和《三国演义》的若干套书，已知每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用
2400元购买《西游记》套数的2倍。

要求求出每套《三国演义》的价格。

设每套《三国演义》的价格为x，则每套《西游记》的价格为x-40.由题意可得：$3200=2\times2400+x\times
n$，其中n为购买的《三国演义》套数。

化简得：
$n=\frac{3200-2\times2400}{x}$。

又因为购买的《三国演义》
套数和《西游记》套数之和等于总套数，即$n+\frac{3200}{x-40}=m$，其中m为总套数。

代入$n$的表达式，得到
$\frac{3200-2\times2400}{x}+\frac{3200}{x-40}=m$。

化简得
到：$x^2-80x+=0$。

解得$x=400$，因此每套《三国演义》的
价格为400元。

改写）根据图表信息，可以得出两个结论：一是一班的成绩波动较大，因为其方差比二班大；二是一班的阅读水平更好些，因为其优秀率和合格率都高于二班。

甲同学用平均分推断，推断结果是一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，推断结果是二班阅读水平更好些。

个人认为，甲同学的推断更为科学合理和客观些，因为平均分是对整个班级的成绩进行综合考虑，而中位数和众数只考虑了部分成绩，容易被极端值所影响。

因此，平均分更能反映班级整体的阅读水平。

改写）题目要求求解在直角三角形ABC中，以边AC上
一点O为圆心，AOA为半径的圆经过点B时，求圆的半径、OQ的长度以及tan∠PCA的值。

首先，根据勾股定理可得
AB=2，BC=$\sqrt{3}$，AC=2.因为圆经过B点，所以BO是
圆的直径，即BO=2AO。

又因为AOA为圆的半径，所以
AO=$\frac{AB}{2}=1$，因此BO=2.由此可得圆的半径为1.其次，连接BP并延长到点F，根据相似三角形可得OF=1，因
此OQ=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$。

最后，根据相似三角形可得
tan∠PCA=$\frac{OQ}{PC}$，代入已知量得到
tan∠PCA=$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$。

27.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4.E、F分别在AD、BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上
的一个动点。

1) 连接AF、CE，证明四边形AFCE是菱形；
2) 当△PEF的周长最小时，求DP的值；
3) 连接BP交EF于点M，当∠EMP=45°时，求CP的长度。

28.定义：若实数x、y满足x²=2y+t，y²=2x+t，且x≠y，
则称点M(x,y)为“线点”。

例如，点(-2,1)和(1,-2)是“线点”。

已
知在直角坐标系xOy中，点P(m,n)。

1) P₁(3,1)和P₂(-3,1)两点中，点P是“线点”；
2) 若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
3) 若点Q(n,m)是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点
A、B，当|∠POQ-∠AOB|=30°时，直接写出t的值。