湖南省株洲市醴陵安沙尼实验学校2019年高三数学理联考试题含解析

湖南省株洲市醴陵安沙尼实验学校2019年高三数学理
联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知点为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作
双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为
(A) (B) (C)
(D) 无法确定
参考答案：
B
特殊点法。

因为是定值，M为双曲线上任一点，取特殊点，当M为右顶点时，由渐近线知三角形OMN为等腰直角三形，此时
2. 是奇函数，则①一定是偶函数；②一定是偶函数；
③；④其中错误命题的个数是（）
A．1个 B．0个 C．4个 D．2个
参考答案：
D
3. 设x，y满足约束条件，若z=ax+y仅在点（2，1）处取得最大值，则a的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣1，+∞）
参考答案：
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由得，即A（2，1），
若z=ax+y仅在点（2，1）处取得最大值，
即A是函数取得最大值的最优解，
由z=ax+y得y=﹣ax+z，
即目标函数的斜率k=﹣a，
要使是函数取得最大值的最优解，
若a=0，y=z，不满足条件，
若﹣a＞0，此时直线在B处取得最大值，不满足条件．
若﹣a＜0，即a＞0时，则满足﹣a＜﹣2，即a＞2，
故选：B．
4. 如果实数满足不等式组，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
参考答案：
B
5. 设，，，则的大小关系是
参考答案：
6. 已知等差数列的前n项和为，若，则的值为
（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
7. 如图，正方形的顶点，，顶点位于第一象限，直线将正方形分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为，则函数的图象大致是（）
A B
C D
参考答案：
C
8. 正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
9. 设，，且满足则（）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
参考答案：
D
10. 下面表述恰当的是( )
A．回归直线必过样本中心点
B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
C．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么此人有99%的可能患有肺病
D．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上每隔30分钟抽取一件产品作检验，这种抽样为简单随机抽样
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设等差数列满足公差,,且数列中任意两项之和也是该数列的
一项.若，则的所有可能取值之和为_________________.
参考答案：
364
略
12. 设数列是等差数列,,, 则此数列前项和等
于 .
参考答案：
13. 平面向量的夹角为，，则____________．
参考答案：
略
14. 已知过原点的直线与圆（其中为参数）相切，若切点在第二象限，则该直线的方程为．
参考答案：
15. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：
①四边形BFD1E有可能为梯形
②四边形BFD1E有可能为菱形
③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形
④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D
⑤四边形BFD1E面积的最小值为
其中正确的是（请写出所有正确结论的序号
参考答案：
②③④⑤
16. 已知三棱锥A﹣BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2，则三棱锥A﹣BCD的外接球体积为．
参考答案：
4
【考点】球内接多面体．
【分析】取AD的中点O，连结OB、OC．由线面垂直的判定与性质，证出AB⊥BD且
AC⊥CD，得到△ABD与△ACD是具有公共斜边的直角三角形，从而得出
OA=OB=OC=OD=AD，所以A、B、C、D四点在以O为球心的球面上，再根据题中的数据利用勾股定理算出AD长，即可得到三棱锥A﹣BCD外接球的半径大小．
【解答】解：取AD的中点O，连结OB、OC
∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，
又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴CD⊥AC，
∵OC是Rt△ADC的斜边上的中线，OC=AD．
同理可得：Rt△ABD中，OB=AD，
∴OA=OB=OC=OD=AD，可得A、B、C、D四点在以O为球心的球面上．
Rt△ABD中，AB=2且BD=2，可得AD==2，
由此可得球O的半径R=AD=，
∴三棱锥A﹣BCD的外接球体积为=4π．
故答案为：4π．
17. 在△ABC中，A、B、C成等差数列，则的值是________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆（）的短轴长为，离心率为，点A(3，0)，P是C上的动点，F为C的左焦点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P在y轴的右侧，以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上，求四边形FPAB面积的最小值.
参考答案：
（Ⅰ）依题意得解得
∴椭圆的方程是
(Ⅱ)设
设线段中点为∵∴中点，直线斜率为
由是以为底边的等腰三角形∴
∴直线的垂直平分线方程为
令得∵∴
由∴四边形面积
当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为. 19. 已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的
最小距离为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|?|QC|=|QB|?|QD|．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，椭圆E的方程可化为
，通过求解椭圆E上任一点到点的最小距离为．即可求出椭圆的方程．
（2）直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，设直线l1：y=k（x﹣1）+1，点A （x1，y1），C（x2，y2）．
直线l2：y=﹣k（x﹣1）+1．联立消去y，由韦达定理以及弦长公式化简，可得|QA|?|QC|=|QB|?|QD|．
【解答】（1）解：设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，
则椭圆E的方程可化为，
从而．
由于a＞b＞1，则当x=﹣1时，，
故椭圆E的标准方程为．
（2）证明：由于直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，
设直线l1：y=k（x﹣1）+1，点A（x1，y1），C（x2，y2）．
易知直线l2：y=﹣k（x﹣1）
+1.，
由得（1+2k2）x2+4k（1﹣k）x+2（1﹣k）2﹣4=0，
由韦达定理有：，，
则；
同理可得，
从而有|QA|?|QC|=|QB|?|QD|．
20.
（12分）设函数
⑴求的单调区间；
⑵若关于的方程在区间上恰有两个相异实根，求实数的取值范围。

参考答案：
解析：⑴定义域为，因为
所以，当或时，
当或时，
故的单调递增区间是和
的单调递减区间是和 (6分)
（注：和处写成“闭的”亦可）
⑵由得：，
令，则或
所以≤时，≤时，
故在上递减，在上递增（8分）
要使在恰有两相异实根，则必须且只需
即（12分）
21. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣
cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．
参考答案：
【考点】正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）
=2?cos（A+B）sin（A﹣B）．
求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．
（Ⅱ）由 sinA=求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[（A+B）﹣A]的值，从而求得△ABC的面积为的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，
∴﹣=sin2A﹣sin2B，
即 cos2A﹣cos2B=sin2A﹣sin2B，即﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2?cos（A+B）sin（A﹣B）．
∵a≠b，∴A≠B，sin（A﹣B）≠0，
∴tan（A+B）=﹣，∴A+B=，∴C=．
（Ⅱ）∵sinA=＜，C=，∴A＜，或A＞（舍去），∴cosA==．由正弦定理可得， =，即=，∴a=．
∴sinB=sin[（A+B）﹣A]=sin（A+B）cosA﹣cos（A+B）sinA=﹣（﹣）
×=，
∴△ABC的面积为=×=．
【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．
22. 在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，若椭圆：
经过点，抛物线和椭圆有公共点，且. （1）求抛物线和椭圆的方程；
（2）是否存在正数，对于经过点且与抛物线有两个交点的任意一条直线，都有焦点在以为直径的圆内？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案：
（1）因为抛物线经过点，且.
所以，解得，所以抛物线，焦点，
由题意知解得所以椭圆：
故抛物线的方程为，椭圆的方程为.
（2）假设存在正数适合题意，由题意知直线的斜率一定存在，设直线的方程为
由消去，整理得
因为直线与抛物线有两个交点且，所以
设，则
所以
因为，
所以
由题意知恒成立，
所以恒成立
因为，所以，解得
又因为，所以
故存在正数适合题意，此时 d 取值范围为.。