2020年山东省潍坊市诸城第一中学高三数学理月考试卷含解析

2020年山东省潍坊市诸城第一中学高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（）
A．2B．2C．D．
参考答案：
C
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．
【分析】利用向量的数量积运算即可得出．
【解答】解：向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），
可得|﹣|2=5，即||2+||2﹣2?=5，解得?=0．
|+2|2=||2+4||2﹣4?=1+16=17．
|+2|=．
故选：C．
2. 已知，，则a,b,c的大小关系是
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
，
，则
3. 已知向量都是非零向量，“”是“”的（）
A．必要非充分条件． B．充分非必要条件．
C．充要条件． D．既非充分也非必要条件
参考答案：
B
4. 已知函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上方程f（x）﹣mx﹣m=0有两个不同的实根，则实数m的取值范围是( )
A．（0，] B．（0，）C．（0，] D．（0，）
参考答案：
A
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】数形结合；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】设x∈（﹣1，0），则（x+1）∈（0，1），由于当x∈[0，1]时，f（x）=x，可得f（x+1）
=x+1．利用f（x）+1=，可得f（x）=，方程f（x）﹣mx﹣
x=0，化为f（x）=mx+m，画出图象y=f（x），y=m（x+1），M（1，1），N（﹣1，0）．可得
k MN=．即可得出．
【解答】解：设x∈（﹣1，0），则（x+1）∈（0，1），
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，
∴f（x+1）=x+1．
∵f（x）+1=，
∴f（x）=﹣1=﹣1，
∴f（x）=，
方程f（x）﹣mx﹣x=0，化为f（x）=mx+m，
画出图象y=f（x），y=m（x+1），M（1，1），N（﹣1，0）．
k MN==．
∵在区间（﹣1，1]上方程f（x）﹣mx﹣x=0有两个不同的实根，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了方程的实数根转化为函数交点问题、函数的图象，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
5. 某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算的K2=5.231．已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P
（K2≥3.841）=0.05，P（K2≥6.635）=0.01，则该研究所可以（）
A．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”
B．有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”
C．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”
D．有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”
参考答案：
A
【考点】独立性检验的应用．
【分析】根据条件中所给的计算出的观测值，把观测值同临界值进行比较，看出有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关，得到结论．
【解答】解：∵计算得K2=5.231，经查对临界值表知P（K2≥3.841）≈0.05，
∴有1﹣0.05=95%的把握说患肺病与吸烟有关
故选：A．
6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第4天走了（）
A．60里B．48里C．36里D．24里
参考答案：
D
7.
“且”是“”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分又非必要条件
参考答案：
答案:B
8. 已知不等式组表示平面区域D，往抛物线与轴围成的封闭区域内随机地抛掷一粒小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
如图所示，
试验的全部结果构成的区域为
，
则
的面积
， 平面区域D 的面积为，因此该颗粒落到区域D 中的概率为，故
选择B 。

9. 已知等于的展开式中项的系数，若向量在向量上的投影为，则的值为
A.
B. C.
B.
参考答案：
C
10. 设为定义在上的奇函数，当时，，则
（ ）
A.-1
B.-4
C.1
D.4
参考答案： B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等比数列中，若，则
.
参考答案： 3
略
12. 已知锐角A ，B
满足tan(A ＋B)＝2tanA ，则tanB 的最大值是 ▲ ．
参考答案：
13. 椭圆：
的左、右焦点分别为
、，在的右准线上存在一点
，使
，
，则椭圆
的离心率的取值范围是 ．
参考答案：
略
14. 已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为2， AB ＝3，则切线AD 的长为__________．
参考答案：
15. 已知等差数列中，有，则在等比数列中，会有
类似的结论_____________。

参考答案：
略
16. 某工厂有三个车间生产不同的产品，现将7名工人全部分配到这三个车间，每个车间至多分3名，则不同的分配方法有种．（用数字作答）
参考答案：
1050
17. 等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，则S5=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
C
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列通项公式得a2+a3+a4=3a3=3，从而a3=1，再由等差列前n项和公式得
S5==5a3，由此能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，
S n为等差数列{a n}的前n项和，
∴a2+a3+a4=3a3=3，
解得a3=1，
∴S5==5a3=5．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数（）．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，求在区间上的最小值．
参考答案：
（1）的增区间为，，减区间为；（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为．试题分析：
（2）①时，，，
，在单调递增，
∴．
②时，而，
∴
在上单调递增，为最小值．
考点：分段函数，用导数研究函数的单调性、最值．
19. (本小题满分13分)
（Ⅰ）写出两角差的余弦公式cos(α-β)= ，并加以证明；
（Ⅱ）并由此推导两角差的正弦公式sin(α-β)= 。

参考答案：
解：（Ⅰ）两角差的余弦公式……1分
在平面直角坐标系xOy内，以原点O为圆心作单位圆O，以Ox为始边，作角α,β，设其终边与单位圆的交点分别为A,B，则向量，向量,
记两向量的夹角为，则
…4分
(1)如果,那么，∴
∴……………………6分
(2)如果,如图，不妨设α=2kπ+β+θ,k∈Z,
所以有
同样有…………………………8分（Ⅱ），…………………………9分
证明如下：把公式中的换成，
得
………………………………………………13分20. (本小题满分12分)
以椭圆c：=1(a>b>0)的中心0为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．
已知椭圆C的离心率为，且过点．
(1)求椭圆C及其“伴随”的方程；
(2)过点P(0，m)作“伴随”的切线交椭圆C于A，B两点，记△AOB(O为坐标原点)的面
积为，求的最大值．
参考答案：
（1）x2+y2=1 (2)1【知识点】椭圆及其几何性质H5（1）椭圆C的离心率为，即c=a，由c2=a2-b2，则a=2b，
设椭圆C的方程为∵椭圆C过点(，)∴
∴b=1，a=2，以为半径即以1为半径，
∴椭圆C的标准方程为+x2=1，椭圆C的“伴随”方程为x2+y2=1．
（2）由题意知，|m|≥1．
易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，
由得(+4)+2k mx+m2-4=0，
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则x1+x2=-，x1x2=．
又由l与圆x2+y2=1相切，所以=1，k2=m2-1．
所以|AB|==，
则S△AOB=|AB|=，|m|≥1．
S△AOB=≤1（当且仅当m=±时取等号）所以当m=±时，S△AOB的最大值为1．
【思路点拨】（1）由椭圆C的离心率，结合a，b，c的关系，得到a=2b，设椭圆方程，
再代入点(，)，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；
（2）设切线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆x2+y2=1相切，得到k，m的关系式，求出三角形ABC的面积，运用基本不等式即可得到最大值．
21. 在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若，求．
参考答案：
（1），
；…………6分
（2），由（1）知，
，
…………10分
或，或. …………12分22. （本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：
△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.
(1)求W的方程；
(2)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围
（3）已知点M（，0），N（0, 1），在(2)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
参考答案：
(1) 设C（x, y）,
∵ , , ∴ ,
∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴ . ∴ ∴ W: . (2) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.
整理，得. ①
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
，解得或.
∴ 满足条件的k的取值范围为
（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),由①得. ②
又③
因为，，所以.
所以与共线等价于.
将②③代入上式，解得.
所以不存在常数k，使得向量与共线.。