高考数学二轮复习 专题五第一讲直线与圆 理

第一讲 直线与圆
1．(2012·高考山东卷)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2
＝9的位置关系为( )
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
2．点A (1，3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2，1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )
A ．－32 B.54
C ．－65 D.56
3．(2013·济南模拟考试)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，
且|AB |＝3，则OA →·OB →
的值是( )
A ．－12 B.12
C ．－34
D ．0
4．(2013·房山区高三上学期考试题)已知圆C ：x 2＋y 2
－2x ＝1，直线l ：y ＝k (x －1)＋1，则直线l 与圆C 的位置关系是( )
A ．一定相离
B ．一定相切
C ．相交且一定不过圆心
D ．相交且可能过圆心
5．由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2
＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )
A ．(－1，1)
B ．(0，2)
C ．(－2，0)
D ．(1，3)
6．(2013·高考湖北卷)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝
⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．
7．已知圆C ：x 2＋y 2
－6x ＋8＝0，则圆心C 的坐标为______；若直线y ＝kx 与圆C 相切，且切点在第四象限，则k ＝________．
8．(2013·高考山东卷)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2
＝4的弦，其中最短弦的长为________．
9．(2013·高考江苏卷)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．
10．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2
＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .
(1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；
(2)若P 点的坐标为(2，1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当CD ＝2时，求直线CD 的方程；
(3)求证：经过A ，P ，M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
11．(2013·高考四川卷)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2
＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2|OQ |2＝1|OM |2＋1
|ON |
2，请将n 表示为m 的函数．
答案：
1．【解析】选B.两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝ 42
＋1＝17.∵3－2＜d ＜3＋2，∴两圆相交．
2．【解析】选D.由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧3－1
1＋2
·k ＝－12＝k ·（－1
2
）＋b
，
解得k ＝－32，b ＝5
4
，
∴直线方程为y ＝－32x ＋5
4，
其在x 轴上的截距为5
6
.
3．【解析】选A.在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA →·OB
→
＝1×1×cos 120°＝－1
2
.
4．【解析】选C.根据直线l ：y ＝k (x －1)＋1恒过定点P (1，1)，而P (1，1)到圆心C (1，0)的距离为d ＝1<半径r ＝2，于是点P (1，1)在圆内，故直线l ：y ＝k (x －1)＋1与圆相交，且圆心C (1，0)不在直线l ：y ＝k (x －1)＋1上，故选C.
5．【解析】选 B.根据切线长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知|PT |＝|PC |2
－1，故|PT |最小时，即|PC |最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程
为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，
y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0，2)．
6．【解析】∵圆心(0，0)到直线的距离为1，又∵圆O 的半径为5，故圆上有4个点符合条件．
【答案】4
7．【解析】圆的方程可化为(x －3)2＋y 2
＝1，故圆心坐标为(3，0)；由|3k |1＋k
2
＝1，解得k ＝±
24，根据切点在第四象限，可得k ＝－2
4
. 【答案】－
2
4
8．【解析】设A (3，1)，易知圆心C (2，2)，半径r ＝2，当弦过点A (3，1)且与CA 垂直时为最短弦．
|CA |＝（2－3）2＋（2－1）2
＝ 2.
∴半弦长＝r 2－|CA |2
＝4－2＝ 2. ∴最短弦长为2 2. 【答案】2 2 9．【解】(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.
由题意，得|3k ＋1|k 2
＋1
＝1，解得k ＝0或k ＝－3
4， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.
(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，
所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2
＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，
所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2
，
化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2
＝4， 所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，
则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2
≤3.
整理，得－8≤5a 2
－12a ≤0.
由5a 2
－12a ＋8≥0，得a ∈R ；
由5a 2
－12a ≤0，得0≤a ≤125
.
所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0，12
5
]．
10．【解】(1)设P (2m ，m )，由题可知|MP |＝2，
所以(2m )2＋(m －2)2
＝4，解之得m ＝0或m ＝45
.
故所求点P 的坐标为P (0，0)或P (85，4
5
)．
(2)由题意易知k 存在，
设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，
由题知圆心M 到直线CD 的距离为2
2，
所以
22＝|－2k －1|1＋k
2，解得k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.
(3)证明：设P (2m ，m )，则MP 的中点Q (m ，m
2
＋1)．
因为PA 是圆M 的切线，
所以经过A ，P ，M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，
故其方程为(x －m )2
＋(y －m
2－1)2＝m 2
＋(m
2
－1)2
.
化简得：x 2＋y 2
－2y －m (2x ＋y －2)＝0，此式是关于m 的恒等式，
故⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，2x ＋y －2＝0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0
y ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝25
.
所以经过A ，P ，M 三点的圆必过定点(0，2)或(45，2
5
)．
11．【解】(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2
＝4中，得
(1＋k 2)x 2
－8kx ＋12＝0.(*)
由Δ＝(－8k )2－4(1＋k )2×12>0，得k 2
>3，
所以k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．
(2)因为点M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则
|OM |2＝(1＋k 2)x 21，|ON |2＝(1＋k 2)x 2
2.
又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2
，
由2|OQ |2＝1|OM |2＋1|ON |2，得 2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1
（1＋k 2）x 22
，
即2
m 2＝1
x 21＋1
x 22＝（x 1＋x 2）2
－2x 1x 2
x 21x 2
2
. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k
2，
所以m 2
＝365k 2－3.
因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m
. 代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2
＝36.
由m 2＝365k 2－3及k 2>3，可知0<m 2
<3，
即m ∈(－3，0)∪(0，3)．
根据题意，点Q 在圆C 内，则n >0，
所以n ＝ 36＋3m 25＝15m 2
＋180
5
.
于是，n 与m 的函数关系式为
n ＝15m 2
＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3))．。