人教A版高中数学必修1《1.1 集合 阅读与思考 集合中元素的个数》_8

阅读材料
集合中元素的个数
教材分析
本节课是高中数学子教材“阅读与思考”的内容，主要是渗透了一些常见的数学概念与数学思想。

让学生利用韦恩图解决生活实际问题，并且在这一过程中，感悟集合的思想和方法，而不是追求计算的方法与结果。

作为第二课堂活动，本节课能很好地调动学生的学习兴趣，开发学生的创造潜能，有助于学生探究能力和创新能力的提高。

学情分析
学生通过前面内容的学习，已经掌握集合的基本概念及基本运算，对于集合的应用，有求知欲，运用知识解决问题的意识较高。

学生具备一定的探究能力，能接受新的学习方式、方法。

教学设计思考
1. 重视“情景—问题”教学设计，激发学生探究热情、落实学生主体地位。

2. 突出知识本质和建构过程，培育学生数学核心素养。

教学目标
1. 知识目标：学会借助韦恩图、利用集合的思想方法，解决简单的实际问题，并在此过程中，发散思维，培养全面思考问题的能力。

提高阅读理解能力。

2. 素养目标：通过本课的学习，在“思考、体验、表达”的教学理念下，旨在培育学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养。

教学重难点
1. 重点：体会集合的有关思想方法并能用之来解决实际问题。

3. 难点：公式的猜想、推广及问题解决。

教学过程：
一、知识回顾，引入新知
1. 集合的元素个数与分类
2. 用card(A)来表示有限集A 中的元素个数.
如:A={a,b,c} 则card(A)=3
集合 有限集
无限集
二、创设情境，引起认知冲突
问题1. 学校小卖部进了两次货,第一次进的货是圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水共6种,第二次进的货是圆珠笔,铅笔,火腿肠,方便面共4种,两次一共进了几种货物?
仔细阅读以上材料，你从中了解到哪些数学信息？
尝试用新知card(A)准确表述相关信息
【设计意图】让学生感受生活处处有数学，直观感受集合思想，提高阅读理解能力。

【教学活动】教师引导，学生畅所欲言
师：第一次进货多少种？（6种）第二次进货多少种？（4种）两次进货一共多少种？（8种）
师：请问为什么“6+4=8”？是我们算错还是另有原因？（多算2种）
师：很明显，因为多算了圆珠笔和方便面两种，所以应该是：6+4-2=8
师：如何用新知card(A)准确表述上述信息？（讨论、尝试）
师生达成共识：
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
三、合作交流，渗透集合思想
问题2. 请设计一个既清晰又简洁的图来解决问题1中的问题
【设计意图】体现以学生为主体的教学思想，学生通过画图的方式直观表达自己的思考，感悟学习方法的多样性。

【教学活动】学生独立设计，教师巡视。

1.展示学生作品，师生、生生间互动评价
2.归纳总结韦恩图
四、解决问题，规范表述
例1. 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会。

这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。

两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？
【设计意图】运用所学知识解决问题，学用结合，及时反馈学生对所学知识的认知程度。

【教学活动】教师引导，启发学生思考，学会规范表述。

解：设A={田径运动会参赛的学生}，B={球类运动会参赛的学生}，那么，
A∩B={两次运动会都参赛的学生}，A∪B={参赛的学生}。

∴card（A∪B）= card（A）+ card（B）－card（A∩B）
=8+12－3=17。

答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛。

另解：（韦恩图）
五、合理猜想，类比推理
问题3：公式card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)如何推广到三个集合的类似公式。

即：对有限集A,B,C你能发现card(A∪B∪C), card(A), card(B), card(C), card(A∩B), card(A∩C), card(C∩B), card(A∩B∩C)之间的关系吗?
【设计意图】培养学生合理猜想，类比推理的能力，培养学生交流合作的能力。

【教学活动】教师引导，学生交流、评价。

利用韦恩图:
card(A∪B∪C)=card(A)+ card(B)+ card(C)
- card(A∩B)- card(A∩C)- card(C∩B)
+ card(A∩B∩C)
例2.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13.同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学的有4人，同时参加数学和化学小组的有多少人？
【设计意图】让学生进一步熟悉用集合的思想解决实际问题，
【师生活动】教师引导，学生交流、评价。

解法1：设A=｛x|x参加数学小组的同学｝，B=｛x|x是参加物理小组的同学｝，C=｛x|x 是参加化学小组的同学｝，则：
card(A)=26,card(B)=15,card(C)=13,card(A∩B)=6,
card(C∩B)=4,card(A∪B∪C)=36,card(A∩B∩C)=0.
由card(A∪B∪C)=card(A)+ card(B)+ card(C)
- card(A∩B)- card(A∩C)- card(C∩B)+ card(A∩B∩C)
得：
36=26+15+13-6-4-card(A∩C),所以：card(A∩C)=8
解法2：由韦恩图
所以：26-6-x+6+x+4+13-4-x+5=36,即x=8
六、拓展提升，提高兴趣
问题4：设A=｛1，2，3，4，...，n，...｝
B=｛2，4，6，8，...，2n，...｝,
请问如何比较这两个集合中元素个数的多少？
问题的提出：无限集中元素的个数？！一一对应
【设计意图】让学生初步认识无限集的一些特殊性质，感受到认知上的极大冲突，从而引起学生学习兴趣。

【师生活动】教师主讲，学生交流，初步感悟数学悖论。

几个令人吃惊的例子
（1）
认知冲突：部分＝整体？！
所有的无限集都有相同的个数呢？！
初识无限：在无穷大的世界里，部分可能等于全体！这就是无穷的本质。

数学悖论的介绍
七、课堂总结
1.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
2.card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)
- card(A∩B)- card(A∩C)- card(C∩B)
+ card(A∩B∩C)
3.初识无限
建立一一对应
可数集（可列集）
八、教学反思
1.本节课采取了“关注过程、重在体验”的教学策略，让学生在“做数学”中感悟数学的内涵，课堂上可探究的问题能引起学生兴趣又富有挑战性，猜想、推广、交流、互动的探究活动使学生不断产生新的学习需求，引导学生经历了抽象化、符号化也就是数学化的过程，从而让学生体验到数学学习的魅力。

2.通过学生会解答的数学问题引导学生思考，能让学生有感悟、有话说。

学生的课堂反响说明了效果较好，通过师生活动，既巩固了知识的理解及运用，从实际效果看，能促进学生思考，多数学生能得到启发。

在教学中如何处理教学进度与学生需要时间充分体验的矛盾是一线教师需要处理好的地方。

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