2022-2023学年北师大版九年级数学上册第二次阶段性(第1—5章)综合训练题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册第二次阶段性（第1—5章）综合训练题（附答案）一、单选题（共36分）
1．下列判断中正确的是（）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．三个角相等的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直的矩形是正方形
2．如图，已知：△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，∠BAD的度数为（）
A．36°B．117°C．143°D．153°
3．方程2x2﹣6x＝9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．6，2，9B．2，﹣6，9C．2，6，9D．2，﹣6，﹣9 4．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在AB上，将△DAP沿DP折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AP的长为（）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（）
A．16B．12C．8D．4
6．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．设这种药品成本的年平均下降率为x，则x为（）A．3%B．6%C．8%D．10%
7．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）
A．10B．14C．10或14D．8或10
8．用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，将其化为（x+a）2＝b的形式，正确的是（）A．（x+4）2＝11B．（x+4）2＝21C．（x﹣8）2＝11D．（x﹣4）2＝11 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，若AE平分∠BED，则BE 的长为（）
A．B．C．D．4﹣
10．如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE、BC交于N、M，则下列式子中错误的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
11．淘淘和丽丽是九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的概率是（）A．B．C．D．
12．如图，该几何体由5个大小相同的正方体组成，从正面看到该几何体的形状图是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共12分）
13．已知两个三角形相似，如果其中一个三角形的两个内角分别是45°、60°，那么另外一个三角形的最大内角是°．
14．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是．
15．如图，正方形ABCD中，E在BC上，BE＝2，CE＝1．点P在BD上，则PE与PC的和的最小值为．
16．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED＝90°，连接OE，DE＝6，OE＝8，则另一直角边AE的长为．
三、计算题（共8分）
17．（1）用公式法解方程：x2+x﹣12＝0；
（2）解方程：x（x﹣5）+6＝0．
四、解答题（共64分）
18．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC＝4，AD＝6，CD＝2．求证：△BCD∽△ACB．
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
20．如图，在平整的地面上，一些完全相同的棱长为1的小正方体堆成一个几何体．
（1）在下面的网格中画出从正面、左面、上面看的形状图．
（2）求这个几何体的表面积．
21．列方程（组）解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
22．如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在地面上的影长为BC＝2.4m．
（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；
（2）若小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG＝16m，请求出旗杆DE的高度．
23．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果CD＝CE，求证：CD2＝CO•CA．
24．随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
25．为提高学生的安全意识，学校就学生对校园安全知识的了解程度，对部分学生进行了问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个等级，其中A：非常了解；B：基本了解；C：了解很少；D：不了解．并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据
统计信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有；
（2）求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角角的度数，并补全条形统计图；
（3）七年一班从“A”等级的2名女生和2名男生中随机抽取2人参加学校竞赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
参考答案
一、单选题（共36分）
1．解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误；
B、四个角相等的四边形是矩形，故原命题错误；
C、对角线相等的菱形是正方形，故原命题错误；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
故选：D．
2．解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝153°，
故选：D．
3．解：2x2﹣6x＝9可变形为2x2﹣6x﹣9＝0，
二次项系数为2、一次项系数为﹣6、常数项为﹣9，
故选：D．
4．解：∵矩形ABCD中，AB＝8，AD＝BC＝6，
∴BD＝＝10，
根据折叠的性质，AD＝A′D＝6，AP＝A′P，∠A＝∠P A′D＝90°，∴BA′＝4，
设AP＝x，则BP＝8﹣x，
∵BP2＝BA′2+P A′2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴AP＝3，
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABE＝∠D＝90°，
∵∠EAF＝90°，
∴∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，
在△AEB和△AFD中
，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴S△AEB＝S△AFD，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积＝正方形的面积＝16．
故选：A．
6．解：设这种药品成本的年平均下降率为x，则今年的这种药品的成本为100（1﹣x）2万元，
根据题意得，100（1﹣x）2＝81，
解得x1＝1.9（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：这种药品成本的年平均下降率为10%．
故选：D．
7．解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
∴22﹣4m+3m＝0，m＝4，
∴x2﹣8x+12＝0，
解得x1＝2，x2＝6．
①当6是腰时，2是底边，此时周长＝6+6+2＝14；
②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．
所以它的周长是14．
故选：B．
8．解：x2﹣8x+5＝0，
x2﹣8x＝﹣5，
x2﹣8x+16＝﹣5+16，
（x﹣4）2＝11．
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠C＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，
∵AE平分∠BED，
∴∠AEB＝∠AED，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
在Rt△DCE中，CD＝3，
∴CE＝＝
∴BE＝BC﹣CE＝4﹣，
故选：D．
10．解：∵DE∥BC，
∴△ADN∽△ABM，△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，∴＝，＝，＝，
所以A、B、C正确；
∵DE∥BC，
∴△AEN∽△ACM，
∴＝，
∴＝，
所以D错误．
故选：D．
11．解：画树状图为：
因为共有9种等可能的结果数，其中他们两人都抽到物理实验的结果数为1，
所以他们两人都抽到物理实验的概率是．
故选：B．
12．解：从正面看，主视图有3列，正方体的数量分别是2、1、1．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共12分）
13．解：由三角形内角和定理可知，两个内角分别是45°、60°的三角形的第三个内角为：180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵两个三角形相似，
∴另外一个三角形的最大内角是75°，
故答案为：75．
14．解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，由勾股定理得：AB＝5，∴正方形的面积是5×5＝25，
∵△AEB的面积是AE×BE＝×3×4＝6，
∴阴影部分的面积是25﹣6＝19，
故答案为：19．
15．解：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PE+PC的最小值，
∵BE＝2，CE＝1，
∴BC＝AB＝2+1＝3，
在Rt△ABE中，
∵AE＝＝＝，
∴PE与PC的和的最小值为．
故答案为：．
16．解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，∵∠AED＝90°，
∴四边形EMON是矩形，
∴∠MON＝90°，即∠MOD+∠DON＝90°，
∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠AOD＝90°，即∠AOM+∠MOD＝90°，OA＝OD，
∴∠AOM＝∠DON，
在△AOM和△DON中，
，
∴△AOM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，
则四边形MONE是正方形，
∵OE＝8，
∴EN＝8，
∴EM＝EN＝8，
∴AM＝DN＝EN﹣ED＝8﹣6＝2，
∴AE＝AM+EM＝2+8＝10．
故答案为：10．
三、计算题（共8分）
17．解：（1）a＝1，b＝1，c＝﹣12，
b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣12）＝49，
∴x＝＝，
∴x1＝3，x2＝﹣4；
（2）x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝3，x2＝2．
四、解答题（共64分）
18．证明：∵BC＝4，AD＝6，CD＝2，∴AC＝AD+CD＝8，
∴，，
∴，
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB．
19．证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
20．解：（1）如图所示：
（2）1×1×1＝1，
10×2×1+7×2×1+9×2×1＝52．
故这个几何体的表面积是52．
21．解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得
x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得
x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
22．解：（1）影子EG如图所示；
（2）∵DG∥AC，
∴∠DGE＝∠ACB，
∴Rt△ABC∽△Rt△DEG，
∴＝，即＝，解得DE＝，
∴旗杆的高度为m．
23．证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∵∠DAE＝45°，PC∥AB，
∴∠DAC＝∠EAB，∠ACD＝∠BAC＝∠B＝45°，
∴△ADC∽△AEB，
∴＝，即＝，
∵∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴△ADE∽△ACB．
（2）∵∠ACD＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CDE+∠CED＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝22.5°，
∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣22.5°﹣45°＝22.5°，∴∠CAD＝∠CDE，
又∵∠OCD＝∠DCA，
∴△OCD∽△DCA，
∴＝，
∴CD2＝CO•CA．
24．解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得＝，
解得：x＝2000．
经检验，x＝2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得
y＝（2000﹣200﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），
y＝﹣300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y＝﹣300a+36000．
∴k＝﹣300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a＝20时，y有最大值，
∴B型车的数量为：60﹣20＝40（辆）．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
25．解：（1）接受问卷调查的学生共有：16＝40%＝40（人）．
故答案为：40；
（2）扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：360°×＝72°，“B”等级的人数为：40﹣6﹣16﹣8＝10（人），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．。