江西省新余市2020届高三上学期第四次段考数学(文)试卷 Word版含答案

文科数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求.
1.设集合{}
R x y y A x
∈==,3，{}
R x x y x B ∈-==,21，则=B A I （ ）
A ．⎭
⎬⎫⎩⎨⎧21
B.)1,0(
C.)21,0(
D.]2
1,0(
2．复数11z i =+，2z i =，其中i 为虚数单位，则
1
2
z z 的虚部为( ) A ．1-
B ．1
C ．i
D ．i -
3.若点
)3
2cos ,32sin π
π（在角α的终边上，则α2sin 的值为（ ） A.12
-
B.3
-
C.
12
D.
3 4.已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，则=20a （ ）
A. 7
B. 3
C.-1
D.1
5.若将函数2
3
cos 3cos sin )(2
-+=x x x x f 的图象向右平移)0>ϕϕ（个单
位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ）
A.
12π
B.
4
π
C.38π
D.512π
6.已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，且函数)(x f 在）
，（0-∞上是减函数，若)2(),4
1
(log ),1(3.02f c f b f a ==-=，则c b a ,,的大小关系为（ ）
a b A.c << b c a .<<B a c b C <<. c b a D <<.
7.已知
=1，tan （β﹣α）=﹣，则tan （β﹣2α）=（ ） A ．﹣1
B ．1
C ．
D ．﹣
8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若113
1
,1+==n n
a S a ，则11a =（ ） A.104 B.834⨯ C. 934⨯ D. 17312⨯
9.已知向量,a b u r r
满足2,1a b ==r r ，且2b a -=r r 则向量a r 与b r 的夹角的余弦值为 （ ）
2222 10.已知ABC ∆的内角C
B A ,,的对边分别为c b a ,,，若
4
1
cos ,3,sin 2sin =
==B b C b B a ,则ABC ∆的面积为（ ）
A.
D.
916
11.
在F E AC AB ABC ,,2===+∆中分别为BC 的三等分点，则
=•（ ）
A.8
9
B.
169
C.
10
9
D.
209
12.已知函数a e x x x f t
-+=ln )(，若对任意的)(],1,0[x f t ∈在),0e （上总有
唯一的零点，则a 的取值范围是（ ）
),e
1
-[e .e A
1)e [1,.+B )1,.[+e e C )1,1
.+-e e
e D （
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量)75sin ,0(),75cos ,75cos 3(︒=︒︒=
.________=+
14. 若变量y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤≤,1,1,1y x y x 则22y x +的最小值为____________.
15. 已知等差数列{}n a 中，
,19,710453=+=+a a a a 则数列{}πn a n cos 的前2018
项的和为___________.
16. 设定义域为R 的函数()f x 满足/()()f x f x >，则不等式1()(21)x e f x f x -<-的解
集为_______________.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。

17、（本小题10分）已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋1
2
a n ＝1(n ∈N ＋)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 3(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，求适合方程1
b 1b 2＋1
b 2b 3
＋…＋
1
b n b n ＋1
＝
25
51
的正整数
n 的值．
18.（本小题12分）已知函数)(cos sin 32cos 2)(2R x x x x x f ∈+= （1）当],0[π∈x 时，求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）若函数1)()(--=t x f x g 在]2
,0[π
∈x 内有两个零点,,21x x 求21x x +的值及实数
t 的取值范围。

19.（本小题12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1=AC=2，BC=1，E 、F 分别为A 1C 1，BC 的中点． （1）求证：C 1F ∥平面ABE ； （2）求三棱锥C 1﹣ABE 的体积．
20. （本小题12分）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝1
x (x>0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，求实数a 的值
21．（本小题12分）设F 是抛物线G ：x 2=4y 的焦点．
（1）过点P （0，﹣4）作抛物线G 的切线，求切线方程；
（2）设A ，B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r
g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C ，D ，求四边形ABCD 面积的最小值．
22.（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x a x =--（a 为常数）． （1） 求函数()f x 的单调区间；
（2） 若曲线()y f x =与x 轴有唯一的公共点A ，且在点A 处的切线斜率为
23a a --，
若存在不相等的正实数12,x x ，满足()()12f x f x =，证明：121x x <．
文科数学答案
一、选择题
1-5DABDD 6-10BACCB 11-12BC
二、填空题 13、5 14、2
2
15、2018 16、(1,)+∞ 三、解答题
17、(1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝2
3 ........(2分）
当n ≥2时，∵S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－1
2a n －1，
∴S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n ) ∴a n ＝1
3a n －1(n ≥2)
∴{a n }是以23为首项，1
3为公比的等比数列．
故a n ＝23·(13)n －1＝2·(1
3)n (n ∈N ＋)． .....................(5分）
(2)1－S n ＝12a n ＝(13)n ，b n ＝log3(1－S n ＋1)＝log 3(1
3)n ＋1＝－n －1.
11
+n n b b ＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2
……（7分） 1
32211
...11++++n n b b b b b b ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)＝12－1n ＋2
解方程12－1n ＋2＝2551
，得n ＝100. ……（10分）
18、解：Ⅰ函数．
1
)6
2sin(21
2sin 32cos ++=++=π
x x x ……（2分）
令：， 解得：，
当时，函数的单调递增区间为， 当时，函数的单调递增区间为，
由于
，
故函数的单调递增区间为：． ……（6分）
Ⅱ由于函数
，
所以：t
x =+)62sin(2π
由于，
所以：
，
所以：
．
由于在内有两个零点，，
32
262622121π
π
πππ=
+∴=•=+++x x x x ……（10分）
即t 的范围是 ……（12分）
19、证明：（1）取AB 中点G ，连结EG ，FG ． ∵则F ，G 分别是BC ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，且
．
∵AC ∥A1C1，且AC=A1C1
，
∴FG ∥EC 1，且FG=EC 1．
∴四边形FGEC 1为平行四边形． ∴C 1F ∥EG ．
又∵EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ，
∴C 1F ∥平面ABE ． ……（6分） （）AB==，BF=
，
∵C 1F ∥平面ABE ， ∴V
=VF ﹣ABE=VE ﹣ABF=== （12
分）
20、设P （x ，1
x ）(x>0)，
2
222
22
2)1
(21)1()(a x x a x x a x
a x PA ++-+=-+-= ……（2分）
令x ＋1
x ＝t(t ≥2)，
则|PA|2＝t 2－2at ＋2a 2－2
＝(t －a)2＋a 2－2 ……（4分）
若a ≥2，当t ＝a 时，|PA|min ＝a 2－2＝8，
解得a ＝10. ……（8分） 若a<2，当t ＝2时，|PA|min ＝2a 2－4a ＋2＝8，
解得a ＝－1. ……（12分） 21、解：（I ）设切点
由
，知抛物线在Q 点处的切线斜率为
，
故所求切线方程为
即
因为点P （0，﹣4）在切线上
所以，x02=16，x0=±4
所求切线方程为y=±2x ﹣4 ……（4分） （II ）设A （x 1，y 1），C （x 2，y2）
由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设k ＞0 因直线AC 过焦点F （0，1），所以直线AC 的方程为y=kx+1 点A ，C 的坐标满足方程组
得x 2﹣4kx ﹣4=0， 由根与系数的关系知
……（6分）
因为AC ⊥BD ，所以BD 的斜率为，从而BD 的方程为
同理可求得
……（8分）
当k ＝±1时，等号成立．
所以，四边形ABCD 面积的最小值为32． ……（12分）
22、解：（1）()ln 10f x x a x x =-->Q ，
()x a
f x x
-∴=
' 当0a ≤时， ()0f x '>
∴()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间 ………（2
分）
当0a >时，由()0f x '<得0x a <<；由()0f x '>得x a >，
∴()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞ …………4分
（2）()10f =Q
∴曲线()f x 与x 轴存在公共点()1,0A ，函数()f x 在()1,0A 处 的切线斜率为()2113f a a a =-=--'，得2a =±， ……………5分
当2a =-时，由（1）得：()f x 在()0,+∞上递增，曲线()f x 与x 轴存在唯
一公共点()1,0A ，符合题意．…………………………………6分
当2a =时，()2ln 1f x x x =--
由（1）得：()f x 的递减区间为()0,2，递增区间为()2,+∞，
(2)12ln 20f =-<，()
3370f e e =->
∴函数()f x 在()32,e 上还有一个零点，不符合题意.
综上：2a =-. …………………………………8分
由（1）可知当2a =-时，函数()f x 在区间()0,+∞上递增．
设12x x <，Q ()()12f x f x =
∴()()120f x f x <<，()()12f x f x -=，即()11222ln 12ln 1x x x x -+-=+- ()
211222ln x x x x +≥∴-=
∴()12ln 10x x -<，即()1f
f <………………11分
Q 又函数()f x 在()0,+∞上单调递增
∴1<，即121x x <…………………………………12分。