研究性课题-牛顿定律

第三章 牛顿运动定律难点巧学一、巧用“两边夹”确定物体的曲线运动情况曲线运动是变速运动，从运动学的角度可以确定物体加速度与速度、轨迹之间的关系，也可以从动力学的角度确定合外力F 与速度、轨迹之间的关系。

物体做曲线运动的轨迹不外乎以下三种情况：物体的加速度a 与其速度v 之间的夹角为锐角、直角或钝角。

所谓“两边夹”就是加速度（或合外力）与速度把轨迹夹在中间，即：物体做曲线运动的轨迹总在．．．．．．．．．．．．a ．与．v ．两方向的夹角中，且和．．．．．．．．．．v ．的方向相切，向加速度一侧弯曲。

．．．．．．．．．．．．．．．如下图4－1所示三种情况就是这样。

例1 一质点在某恒力F 作用下做曲线运动，图4－2中的曲线AB 是该质点运动轨迹的一段，质点经过A 、B 两点时的速率分别为v A 、v B .（1） 用作图法找出该恒力方向的可能范围。

（2） 该恒力的方向能否在过A 点或B 点的 切线上？ （3） 该质点从A 点到B 点的过程中其速度大小如何变化？（4） 若速率有变化，且v A ＝v B ，则速率最大或最小时在什么位置？解析 （1）过A 、B 两点分别作曲线的切线①和③、法线②和④，如图4－3所示，从A 点看，恒力F 应在①线的右侧；从B 点看F 应在③线的左侧；因恒力的方向是不变的，故应同时满足上述两条件。

若平移③线过A 点，则①、③两线之间箭头所指的区域即为F 在A 点的方向可能的范围。

（2）若F 在①线上，则它与v A 在同一直线上，由于F 为恒力，故质点不可能再做曲线运动，这说明F 不可能在①线上。

若F 在③线上，则在A 点时v A 在垂直于F 的方向上有分量，而到B 点时垂直于③线的运动分量没有了，这与该方向上没有F 分量相矛盾，故F 不可能在③线上。

（3）由于F 在A 点时与v A 夹角大于90º，而在 B 点时与v B 夹角小于90º，故质点的速率应该是先减 小后增大。

（4）由于已经判定速率为先减小后增大，且v A ＝v B ，则运动过程中速率有最小值，且发生在F 与 v 垂直的位置。

二、效果法――运动的合成与分解的法宝力的分解如果不考虑该力产生的效果，对求解往往影响不大，但运动的分解如果不考虑实际效果，就有可能得出错误的结论。

反之，若根据运动效果进行分解，会有意想不到的收Va VaVa图4－1BV B A V A 图4－2 图4－3 ③ AV A② ①④ ③V B获。

下面以一个曲线运动中常见的题型――“绳连物”模型为例进行说明。

例2 如图4－4所示，用绳牵引小船靠岸，收绳的速度为v 1，在绳子与水平方向夹角为α的时刻，船的速度v 有多大？ 解析 先用“微元法”解答。

小船在极短时 间Δt 内从A 点移到C 位移为Δs ，如图4－5 所示，由于Δt 很小，因此绳子转过的角度Δθ 很小，由数学知识可认为Δs 2⊥OA, Δs 2⊥OC, 所以有12s s s ∆∆∆＝＋，Δs 2为物体垂直绳方向 的位移，Δs 1为沿绳方向的位移。

再由速度的 定义，当Δt 很小时，v ＝12s///t s t s t ∆∆=∆∆+∆∆，所以v ＝v 1＋v 2，即船的速度分解为沿绳方向的速 度v 1和垂直于绳方向的速度v 2。

用“效果法”解答。

船的速度v 的方向就是合速度 的方向，这个速度产生了两个运动效果：（1）假如绳与 水平方向夹角α不变，只是在拉绳，小船将沿绳收缩方向以v 1速度运动，（2）假如绳长AO 不变，只是α在变，小船将以O 为圆心、OA 长为半径做圆周运动，速度v 2垂直于OA 。

而α、OA 均改变时，即小船向右运动时，v 1、v 2就可以看成是它的两个分运动，矢量图如图4－6所示，从 图中易知v ＝v 1/cos α 比较两种方法可知，效果法简便易行，又可帮助同学 们理解圆周运动知识，同时也让学生懂得不能将绳的速度 进行正交分解。

三、平抛运动中的“二级结论”有妙用 解决平抛及类平抛运动问题，重在把握水平方向的匀速运动和竖直方向初速为零的匀加速直线运动的独立性、等时性、等效性，充分利用矢量三角形、勾股定理、三角函数等知识解答。

特别提醒：①强调落点的问题必须抓住两个分位移之间的关系。

②强调末速度的“大小”或“方向”（特别是“方向”）的问题必须抓住两个分速度之间的关系。

另外，记住以下三个“二级结论”（也可称作定理）会让我们在今后解决平抛及类平抛运动问题中收到意想不到的效果，结论如下。

结论一：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为β，则tan θ＝2tan β（其应用见“活题巧解”例7） 结论二：做平抛（或类平抛）运动的物体任意时刻 瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。

如图4－7中A 点和B 点。

（其应用见“活题巧解”例6）结论三：平抛运动的物体经过时间t 后，位移s 与水平方向的夹角为β，则此时的动能与初动能的关系为αV 1VV 24－6 yvxO B Av o vA1sD C O Δθ2ss图4－5 V 1 V α图4－4E kt ＝E ko （1＋4tan 2β） （待高一下学期用）四、建立“F 供＝F 需”关系，巧解圆周运动问题在匀速圆周运动中合外力一定等于物体所需的向心力；在变速圆周运动中，合外力沿 半径方向的分力提供向心力。

但有一个问题我们极易出错又始终感到不好理解，即：做曲线．．．运动的物体实际受到的力沿半径方向的分力．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（F 供．）并不一定等于物体所需的向心力．．．．．．．．．．．．．．（F 需＝m 2v R）。

例如，当F 供﹥F 需时，物体做向心运动；当F 供＝F 需时，物体就做圆周运动；当F 供﹤F 需时，即物体所受的力不足于维持它做圆周运动，物体做离心运动。

因此，我们在分析物体是否能做圆周运动时，必须弄清F 供与F 需的关系，活用临界条件法、等效法、类比法等列方程求解。

例3 设一运动员和自行车的总质量为m ，自行车与地面的动摩擦因素为µ，自行车做圆周运动的轨道半径为R ，自行车平面偏离竖直方向的角度为θ，转弯速度为v ，地面支持力为N 。

问：自行车要顺利转弯，须满足什么条件？解析 要使自行车顺利转弯，必须解决两个问题：一是不向外滑动，二是不发生翻倒。

（1） 转弯速度――不向外滑动的临界条件自行车转弯所需向心力由地面的静摩擦力提供．．，不向外滑动的条件是所需．．向心力不超出最大静摩擦力，即F n ≤μmg ，根据牛顿第二定律有 μmg ＝m2max v R所以，最大转弯速度为v max ＝g R μ（2） 临界转弯倾角――不翻倒的临界条件自行车不翻倒的条件，是质心受到的合力矩为零。

如图4－8所示，即向内倾斜而又不滑动、也不翻倒的 临界条件是支持力N 与最大静摩擦力f max 的合力通过 质心。

根据三角函数关系，临界转弯倾角tan θ＝2max max v f gN μ＝＝R ，θ＝tan －1μ＝tan －12maxv R答案：必须同时满足两个条件，即速度不超过g R μ，自行车平面与竖直方向的夹角等于tan －12maxv R五、把握两个特征，巧学圆周运动1． 圆周运动的运动学特征问题此类问题，需同学们熟练掌握描述圆周运动的线速度、角速度、向心加速度、周期、频率、转速等物理量及其关系，同时，要抓住一些“过渡桥梁”。

例如：凡是直接用皮带传动图4－7μmg FNmg θ图4－8（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，在不考虑打滑的情况下，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）2．圆周运动的动力学特征及分析与求解圆周运动的动力学特征为F向＝m2vR。

具体在解决问题时，要注意以下三点：①确定研究对象的轨道平面和圆心的位置。

例如火车转弯时，其轨道平面是在水平面内而不是在斜面上。

在水平放置的半球形碗内壁上做圆周运动的小球，其轨道平面为水平面，圆心在轨道圆平面上，而不是在球心。

②向心力不是与重力、弹力、摩擦力等并列的“性质力”，而是据效果命名的“效果力”，故在分析做圆周运动的质点受力时，切不可在性质力上再添加一个向心力。

③坐标系的建立：应用牛顿第二定律解答圆周运动问题时，常用正交分解法，其坐标原点是做圆周运动的物体（视为质点）所在的位置，相互垂直的两个坐标轴中，其中一个坐标轴的方向一定沿半径指向圆心。

六、现代科技和社会热点问题――STS问题这类试题往往利用物理新模型将教材中难度不大、要求不高，但属重点内容的基础知识及与其相关的例题、习题加以有效拼接，演变成各种立意新颖、设计科学的题目，从更高层次上考查学生对所学基础知识的掌握程度和迁移能力、综合能力、创新能力。

这类题具有“高起点、低落点”的特点，起点高是指科技成果新，题型新颖、独特，为题海所无法包容；落点低是指完成这些题目所需的基础知识不超纲。

现举两例说明此类题目的巧解。

例4 从空间同一点O，同时向各个方向以相同的速率抛出许多小球，不计空气阻力，试证明在这些球都未落地之前，它们在任一时刻的位置可构成一个球面。

解析如果我们从“可构成一个球面”出发，以地面为参照物列方程求解会很复杂，并且不易求解。

其实，这道题比较好的解法是虚物假设法。

解析假设在O点另有一个小球A，当所有小球被抛出的那一瞬间，让O点处的这个假设小球做自由落体运动（这是解答本题最关键的一步）。

因为做抛体运动的所有小球与假设做自由落体运动的小球A的加速度都相等（都等于重力加速度），所以，做抛体运动的各小球相对于A球都做匀速直线运动，其位移（注意：是相对于做自由落体运动的小球A的位移）的大小都是s＝v0t（v0为各小球抛出时的初速率，t为小球运动的时间），也就是说，在同一时刻，各小球与A的距离都相等，因各小球在同一时刻在空中的位置可构成一个球面，这个球面的半径为R＝v0t。

可见，不同时刻，这些小球的位置构成不同球面，当然，这些球面的球心就是假设做自由落体运动的小球A。

由以上解答也可解释节日的夜晚燃放的烟花在空中为什么是球形的。

例5 （2005·武汉模拟）早在19世纪，匈牙利物理学家厄缶就明确指出：“沿水平地面向东运动的物体，其重量，即：列车的视重或列车对水平轨道的压力一定要减轻。

”后来，人们常把这类物理现象称之为“厄缶效应”。

我们设想，在地球赤道附近的地平线上，有一列车质量是m，正在以速度v沿水平轨道向东匀速行驶。

已知地球的半径R及地球自转周期T。

今天我们像厄缶一样，如果仅仅考虑地球自转的影响，火车随地球做线速度为2RT的圆周运动时，火车对轨道的压力为F N；在此基础上，又考虑到这列火车相对地面附加了一个线速度更快的匀速圆周运动，并设此时火车对轨道的压力为F N ′，那么，单纯地由于该火车向东行驶而引起火车对轨道压力减轻的数量F N －F N ′为A .2v m RB .2v 2m[2()]R v Tπ+C .2m v T π（） D .2v 2m[()v]R Tπ+解析 我们用构建物理模型法来解答此题。