2020年高一暑假数学补习题 (22)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (22)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()
A. 一定平行
B. 一定异面
C. 相交或异面
D. 一定相交
2.若方程(2m2+m−3)x+(m2−m)y−4m+1=0表示一条直线，则实数m满足()
A. m≠0
B. m≠−3
2
C. m≠1
D. m≠1，m≠−3
2
，m≠0
3.已知直线a，b都在平面α外，则下列推断错误的是()
A. a//b，b//α⇒a//α
B. a⊥b，b⊥α⇒a//α
C. a//α，b//α⇒a//b
D. a⊥α，b⊥α⇒a//b
4.若球O的表面积值为4π，则它的体积V=()
A. 4π
B. 4
3π C. 16
3
π D. 3
4
π
5.若三条直线l1:ax−y+1=0，l2:x+y=0，l3:x−y=1交于一点，则a=()
A. 1
B. −1
C. 3
D. −3
6.在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是()
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 非钝角三角形
7.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱A1D1，A1B1，CD的中点，
则平面MNP与正方形BCC1B1相交形成的线段的长度为()
A. 1
B. √2
C. 2
D. 2√2
8.在△ABC中，已知acosB=bcosA，那么△ABC一定是()
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形
D. 等腰直角三角形
9.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AA1=4，P是侧
面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B所成的角为θ，
则tanθ的最大值为()
A. 4
3
B. 5
3
C. 2
D. 25
9
10.在△ABC中，A=π
3
，BC=3,AB=√6，则角C等于()
A. π
4或3π
4
B. 3π
4
C. π
4
D. π
6
11.已知直线是圆C:x2+y2−4x−2y+1=0的对称轴，过点A(−4,a)作
圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=()．
A. 2
B. 4√2
C. 6
D. 2√10
12.已知a,b,c是△ABC的三边，其面积为1
4
(a2+b2−c2)，则角C=()
A. 2π
3B. π
6
C. π
4
D. π
3
二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
13.已知圆柱及其侧面展开图如图所示，则该圆柱的体积为__________。

14.在△ABC中，点D在直线AB上，CD⊥BC，AC=5√3，CD=5，BD=2AD，则AD的长为________．
15.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,−3)，若圆C:(x−a)2+(y−a+2)2=1上存在一点M满足
|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共7小题，共75.0分）
16.求直线√3x+y−1=0的倾斜角．
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=acosC，c=√3．
(Ⅰ)求角C．
(Ⅱ)若ab=c2，求△ABC的周长l．
18.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点．
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求证：EF//平面PAD．
19.已知直三棱柱A1B1C1−ABC中，AB=AC=AA1=1，∠BAC=90°．
(1)求异面直线A1B与B1C1所成角；
(2)求点B1到平面A1BC的距离．
20.已知点M(0,3)，N(−4,0)及点P(−2,4)；
(1)若直线l经过点P且l//MN，求直线l的方程；
(2)求△MNP的面积．
21.如图，货轮在海上以35n mile/ℎ的速度沿方位角(从正北方向顺时针转
到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B点处
观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯
塔A的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．
22.已知点A(4,2)和B(0,2)．
(1)求直线AB的斜率和AB的中点M的坐标；
(2)若圆C经过A，B两点，且圆心在直线2x−y=3上，求圆C的方程．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：【分析】
本题主要考查空间异面直线的性质和空间两直线的位置关系的判断，比较基础．
根据空间两条直线的位置关系分别判断即可．
【解答】
解：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系异面或相交．
故选：C ．
2.答案：C
解析：解：若方程(2m 2+m −3)x +(m 2−m)y −4m +1=0表示一条直线，
则2m 2+m −3与m 2−m 不同时为0，
而由{2m 2+m −3=0m 2−m =0
得m =1， 所以m ≠1时，2m 2+m −3与m 2−m 不同时为0．
故选：C ．
明确Ax +By +C =0表示直线的条件是A 、B 不同时为0，
则由2m 2+m −3与m 2−m 同时为0，求出2m 2+m −3与m 2−m 不同时为0时m 的取值范围． 本题主要考查Ax +By +C =0表示直线的条件，同时考查解方程组及补集知识． 3.答案：C
解析：解：由于直线a 、b 都在平面α外，
可得若a//b 且b//α时必定有a//α，A 项正确；
根据b ⊥α且b ⊥a ，可得a 与α的位置关系是平行或在平面α内
结合题设直线a 在平面α外，可得a//α成立，B 项正确；
根据平行于同一个平面的两条直线，可能相交或异面
可得当a//α且b//α时，不一定有a//b ，故C 项不正确；
根据垂直于同一条直线的两条直线平行，
可得当a ⊥α且b ⊥α时，必定有a//b ，得D 项正确
推断错误的只有C
故选：C
根据平行线的性质和线面平行的定义，可得A 项正确；根据线面垂直的性质与线面平行的判定，可得B 项正确；根据平行于同一个平面的两条直线的位置关系，可得C 项不正确；根据线面垂直的性质定理，可得D 项正确．
本题给出空间位置关系的几个命题，求其中的真命题．着重考查了空间的平行、垂直位置关系的判定与性质等知识，属于基础题．
4.答案：B
解析：【分析】
本题考查了球的表面积和体积公式的运用，属于基础题．
由球O 的表面积值为4π，求出半径r 的值，然后求出体积．
【解答】
解：S 球=4πr 2=4π，
得r =1，所以V 球=43πr 3=43×π×13=43π，
故选B ．
5.答案：D
解析：【分析】本题主要考查直线的交点坐标，考查学生的计算能力，属于基础题．
先求出l 2:x +y =0，l 3:x −y =1的交点坐标，该交点也在l 1:ax −y +1=0上，把交点坐标代入l 1的
方程，即可求出a ．
【解答】解：由{x +y =0,x −y =1,解得{x =12,y =−12, ∴直线l 2与l 3的交点坐标为(12,−12)．
由题意得点(12,−12)在直线l 1上，
∴12a +12+1=0，解得a =−3．
故选D ．
6.答案：C
解析：解：∵AB =c =5，BC =a =6，AC =b =8，
∴B 为最大角，
∴由余弦定理得：cosB =a 2+c 2−b 22ac =36+25−6460=−120<0， 又B 为三角形的内角，
∴B 为钝角，
则△ABC 的形状是钝角三角形．
故选C
7.答案：B
解析：【分析】
本题考查平面的性质，面与面的交线问题，属于基础题．
先找出平面MNP 与正方形BCC 1B 1的交线是QH ，从而求出QH =√2即可．
【解答】
解：取BC 中点Q ，BB 1中点H ，
因为QP//MN,QH//NP ，
故平面MNP 与正方形BCC 1B 1的交线为QH ，
而QH =√1+1=√2．
故选B ．
8.答案：A
解析：【分析】
本题考查正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
直接利用正弦定理，化简表达式，通过两角和与差的三角函数化简，即可判断三角形的形状．
【解答】
解：因为在△ABC 中，acosB =bcosA ，由正弦定理可知sinBcosA =sinAcosB ，
所以sin(A −B)=0，所以A −B =π或A =B ，
因为A ，B 是三角形内角，所以A =B ，所以△ABC 是等腰三角形．
故选A ．
9.答案：B
解析：【分析】
本题考查求直线与平面所成的角.属于基础题．
先建立空间直角坐标系，求出|BP|的最小值，即可得所求的最大值．
【解答】
解：以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图：
设P(x,3，z)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −3,3,z ),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−3,4)，
因为AP ⊥BD 1，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，
所以−3(x −3)−3×3+4z =0，所以z =34x ， 所以|BP |=√(x −3)2+z 2=√2516x 2−6x +9=√2516(x −4825)2+8125≥95
， 所以，因此的最大值为53．
故选B．
10.答案：C
解析：【分析】
本题考查了正弦定理的应用和特殊角的三角函数值，属于基础题．直接根据正弦定理即可求出．
【解答】
解：由正弦定理可得BC
sinA =AB
sinC
，
∴sinC=AB⋅sinA
BC =√6×
√3
2
3
=√2
2
，
∵0<C<2π
3
，
∴C=π
4
，
故选C．
11.答案：C
解析：【分析】此题考查直线与圆的位置关系的应用，关键是直线是圆的对称轴的应用及切线长的求法．
【解答】
解：圆C:(x2−4x+4)+(y2−2y+1)=4，(x−2)2+(y−1)2=4，圆心C(2,1)在直线l:x+ay−1=0上，∴代入解出a=−1，
直线l为x−y−1=0，过A(−4,−1)点作圆C的切线，切点为B，
∵AC=√(2+4)2+(1+1)2=√36+4=2√10．BC=2.∴AB=√AC2−BC2=√40−4=6．故选C．
12.答案：C
解析：【分析】
本题主要考查解三角形余弦定理以及面积公式的应用，属于中档题．
【解答】
解：因为△ABC面积，
由余弦定理得，，则，
所以，即，
所以角C=π
4
．
故选C．
13.答案：4π
解析：解：根据圆柱OO1及其侧面展开图知，
该圆柱的高为ℎ=4，底面圆的周长为2πr=2π，r=1；
∴圆柱的体积为V=πr2ℎ=π⋅12⋅4=4π．
故答案为：4π．
根据圆柱OO1及其侧面展开图，得出圆柱的高和底面圆的周长，求得底面圆半径，从而求出圆柱的体积．
本题考查了圆柱的侧面展开图应用问题，也考查了圆柱体积的计算问题，是基础题．
14.答案：5
解析：【分析】
本题考查平行线的性质，以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键.根据题意画出图象，延长BC、过A做AE⊥BC、垂足为E，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE、CE、BC、BD，由条件求出AD的长．
【解答】
解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，
∵CD⊥BC，
∴CD//AE，
∵CD=5，BD=2AD，
∴CD
AE =2
3
，
∴解得AE=15
2
，
∵在RT△ACE，CE=√AC2−AE2=√25×3−152
4=5√3
2
，
由BC
CE
=2，
∴BC=2CE=5√3，
在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=√25×3+25=10，
∴AD=5．
故答案为5．
15.答案：[0,3]
解析：【分析】
本题考查了圆与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式，属于中档题．
根据圆与圆的位置关系可以得到关于a的不等式，解不等式即可求出a的取值范围．【解答】
解：设点M的坐标为(x,y)，
又因为|MA|=2|MO|，
所以√x2+(y+3)2=2√x2+y2，
化简得x2+(y−1)2=4，又因为点M在圆C上，
所以两圆有公共点即可，
所以(2−1)2≤a2+(a−2−1)2≤(2+1)2，
解得0≤a≤3，
所以实数a的取值范围为[0,3]．
故答案为[0,3]．
16.答案：解：∵√3x+y−1=0，
∴直线斜率为k=tanα=−√3，
∴倾斜角为2π
3
．
解析：本题考查了直线倾斜角的求解，只需按照倾斜角的概念求解即可．
17.答案：解：(Ⅰ)由sinA=acosC可得a
sinA =1
cosC
，
根据正弦定理可得c
sinC =1
cosC
，
∴tanC=c=√3，C=60∘．
(Ⅱ)由(I)及余弦定理可得3=a2+b2−ab，
∵ab=c2=3，∴3=(a+b)2−3ab，
∴(a+b)2=12，a+b=2√3，
∴l=a+b+c=3√3．
解析：本题主要考查了正余弦定理的应用，属于基础题．
(Ⅰ)由sinA=acosC可得a
sinA =1
cosC
，结合正弦定理求解即可；
(Ⅱ)由(I)及余弦定理，通过配方即可求解．
18.答案：证明：(1)因为AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AP⊥CD．
因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD．
又因为AP∩AD=A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又CD⊂平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD．
(2)连结AC，BD交于O，连结OE，OF．
因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点．
因为E为PC中点，所以OE//PA．
因为OE⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以OE//平面PAD，
同理OF//平面PAD．
因为OE∩OF=O，所以平面OEF//平面PAD．
因为EF⊂平面OEF，所以EF//平面PAD．
解析：【分析】本题主要考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系，是中档题．
(1)利用线面垂直则面面垂直证明；
(2)利用线线平行，则线面平行证明即可得．
19.答案：解法一：
(1)在直三棱柱A 1B 1C 1−ABC 中，
AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，AB =AC =
AA 1=1，∠BAC =90° 所以，A 1B =A 1C =BC =√2.…………………………2分
因为，BC//B 1C 1，
所以∠A 1BC 为异面直线A 1B 与B 1C 1所
成的角或补角．……4分
在△A 1BC 中，因为，A 1B =A 1C =
BC =√2，
所以，异面直线A 1B 与B 1C 1所成角为
π
3.…………………………7分
(2)设点B 1到平面A 1BC 的距离为h ，
由(1)得S △A 1BC =12×√2×√2⋅sin π
3=
√32，…………………………9分 S △A 1B 1B =12×1×1=1
2
，…………………………11分 因为，V B 1−A 1BC =V C−A 1B 1B ，…………………………12分
所以，13S △A 1BC ⋅ℎ=13S △A 1B 1B ⋅CA ，解得，ℎ=√33． 所以，点B 1到平面A 1BC 的距离为√33
.…………………………14分 解法二：
(1)设异面直线A 1B 与B 1C 1所成角为θ，如图建系，
则A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1 , 0 , −1)，B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1 , 1 , 0)，…………4分
因为，cosθ=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|−1|
√2⋅√2=12⇒θ=π3
所以，异面直线A 1B 与B 1C 1所成角为π3.…………7分
(2)设平面A 1BC 的法向量为n ⃗ =(u , v , w)，则n ⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , n ⃗ ⊥A 1B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1 , 1 , 0)，A 1B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1 , 0 , −1)，……………9分 所以，由{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅A 1B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{−u +v =0u −w =0，得n ⃗ =(1 , 1 , 1).…………12分
所以，点B 1到平面A 1BC 的距离d =|B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n
⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33
.…………………………14分
解析：法一：(1)求出A 1B =A 1C =BC =√2，从而BC//B 1C 1，进而∠A 1BC 为异面直线A 1B 与B 1C 1所成的角或补角，由此能求出异面直线A 1B 与B 1C 1所成角．
(2)设点B 1到平面A 1BC 的距离为h ，由V B 1−A 1BC =V C−A 1B 1B ，能求出点B 1到平面A 1BC 的距离． 法二：
(1)设异面直线A 1B 与B 1C 1所成角为θ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1B 与B 1C 1所成角．
(2)求出平面A 1BC 的法向量，利用向量法能求出点B 1到平面A 1BC 的距离．
本题考查异面直线所成角的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
20.答案：解：(1)由题意得：k MN =3−00−(−4)=34；
∴直线l 的方程为：y −4=34(x +2)，即3x −4y +22=0；
∴直线l 方程为：3x −4y +22=0．
(2)由题意得直线MN 的方程为：x −4+y 3=1，即：3x −4y +12=0；
∴点P 到直线MN 的距离为：d =22=2；
|MN|=√(−4−0)2+(0−3)2=5；
∴△NMP 的面积S =12|MN|d =1
2×5×2=5，
∴△NMP 的面积为5．
解析：本题考察了待定系数法求直线方程，考察点到直线的距离公式，是一道中档题．
(1)先求出直线MN 的斜率，根据点斜式方程求出直线l 的方程即可；
(2)求出点P 到直线MN 的距离，根据三角形的面积公式求出即可．
21.答案：解：在△ABC 中，∠B =152°−122°=30°，∠C =180°−152°+32°=60°，∠A =180°−30°−60°=90°，…(4分)
BC =35
2n ，…(6分)∴AC =
352sin30°=354n.…(12分) 答：船与灯塔间的距离为354n mile ．
解析：在△ABC 中利用三角形内角和求得∠BCA 和∠BAC ，则BC 可求得，最后利用正弦定理求得AC ． 本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立三角函数的数学模型，运用三角函数的基础知识来解决实际问题．
22.答案：解：(1)由点A(4,2)和B(0,2)， 得k AB =2−(−2)
4−0=1，x M =4+0
2=2，y M =2−2
2=0，
∴AB 的中点M 的坐标为(2,0)；
(2)设圆心C 为(a,b)，半径为r ，
∵圆心在直线2x −y =3上，∴2a −b =3，则点C 为(a,2a −3)，
由题意可得|AC|=|BC|，即√(a −4)2+(2a −3−2)2=√(a −0)2+(2a −3+2)2，
解得a =53，∴b =13，r =√743． ∴圆C 的标准方程为(x −53)2+(y −132)=749．
解析：(1)直接由两点坐标求斜率公式求AB 的斜率，由中点坐标公式求AB 的中点M 的坐标；
(2)设圆心C 为(a,b)，半径为r ，由圆心在直线2x −y =3上，得圆心C 为(a,2a −3)，再由|AC|=|BC|列式求得a ，进一步求出圆的半径，则圆的方程可求．
本题考查由两点坐标求直线的斜率，考查中点坐标公式的应用，训练了圆的方程的求法，考查计算能力，是中档题．。