FLAC基本原理及其在边坡稳定性分析中的应用

法 ,由于不须形成总体刚度矩阵 ,占用的内存小 ,特别适合非线性问题 、 大变形问题和物理不 稳定问题 ,同时它还有多种材料模型供选择 ,因此在岩土工程领域得到广泛的应用 。综合文 献 [ 124 ] 分析了 FL AC 的基本原理 ,在此基础上应用它分析了一个简单的例子 。
1 FLAC 的基本原理
由材料的本构方程和相应的边界条件 ,就可以求得应力增量 。对各向同性的材料 ,有 σ δij θ + 3μ e ij ij = λ λ,μ为拉梅常数 ; θ为体积应变 ,当 i = j 时 , δ δ 式中 , ij 为 1 ,否则 , ij 为零 。
( 7)
这样通过上述各式的迭代求解 ,就可以得出每一迭代时步对应的单元的应力应变值 。 1. 5 运动方程 FL AC 在连续的固体介质中将力和质量均集中到结点上 , 再通过运动方程在时域内进 行求解 ,结点的运动方程为 σ ρ9u i = 9 ij +ρ ( 8) gi 9t 9x i σ 式中 ρ , 为物体的密度 ; u i 为速度 ; ij 为应力张量分量 ; g i 为重力加速度分量 。 由上面求出单元的应力 ,就可以得出节点的不平衡力 。如结点受到的合力不等于零 ,那 么它的不平衡力也就不为零 ,从而结点发生运动 。根据牛顿 定律 ,结点就要产生加速度 Δ Δ Δ ( t + t) ( t - t) ( t - t) ( t) Δt ( 9) ui 2 = ui 2 + ui 2 ∑ Ft
的有限差分网格 ,将物理网格映射到数学网 格上 ,数学网格上的某个结点 ( i , j ) 与物理 网格上相应的结点坐标 ( x , y ) 相对应 。如 图 1 和图 2 。 在网格内部 ,它又将每个单元细分为两 组相互覆盖的常应变三角形单元 ,共 4 个三 角形子单元 a 、 b、 c、 d , 如图 3 每个三角形单 元的偏应力分量相互独立 ,共有 16 个应力分量 。作用在每个节点的 外力为两个重叠的四 边形的两组外力矢量的平均值 。
21
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
2 本构模型
FL AC5. 0 中提供了 10 种本构模型 , 分
为 NULL 模型 、 弹性模型 ( 各向同性弹性模 型、 正交各向异性弹性模型和横观各向同性 弹性模型) 和塑性模型 ( 德鲁克2普拉格塑性模 型、 摩尔2库仑塑性模型 、 节理化塑性模型 、 双 线性应变强化/ 软化节理化塑性模型 、 应变强 图 5 FL AC 的求解循环过程 化/ 软化摩尔2库仑塑 性 模 型 、 双屈服塑性模型、 修 正 剑 桥 粘 土 模 型 和 霍 克2布 朗 模 型 ) 。 FL AC 可以分析静力 、 动力 、 蠕变 、 渗流和温度 5 种分析模块 。此外 ,它还有功能强大的结构 单元模型 ,如梁单元 、 锚单元 、 桩单元 、 壳单元和衬砌单元 、 土工格栅单元 ,可以分析岩土与结 构的相互作用 。本文仅介绍在边坡稳定分析中常用的 Mo hr2Co ulo mb 模型 。 σ Mo hr2Co ulo mb 模型[ 1 ] 在 (σ 1 , 3 ) 平面的破坏 准则如图 6 , 其由 Mo hr2Co ulo mb 屈服函数定义 的从 A 点到 B 点的破坏包络线为
积分 。 定义梯度 9f 的平均值为 9x i
<
图 3 (a) 重叠的四边形单元 (b) 有速度矢量 的三角形单元 ( c) 节点力矢量
9f 1 > = 9x i A
dA 9x ∫
A i
9f
( 2)
式中 , < > 表示求平均值 。将 ( 2) 代入 ( 1)
<
9f 1 > = n i f ds 9x i A s
抗剪强度包线之间的几何关系 ,可建立以主应力 表示的土的极限平衡条件 : 1 (σ σ ) σ = 1 (σ α( 16) 1 +σ 3) + 1 3 co s2 2 2 τ = 1 (σ α ( 17) 1 - σ 3 ) sin2 2 土的极限平衡条件同时表明 ,土体剪切破 坏时的破裂面不是发生在最大剪应力τ max 的作 用面α= 45° 上 ,而是发生在与大主应力的作用 图7 土体中一点达到极限平衡状态时的摩尔圆 面成α= 45° +φ / 2 的平面上 ,见图 7 。
3 FLAC 软件处理问题的一般步骤
( 1) 建立模型 。根据实际问题的性质进行相应的简化处理抽象出模型 ,将模型进行网格 22
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
( Fd ) i = α|
∑F
i
( t)
| sgn ( u i
( t)
Δ ( t - 2t)
)
( 11)
式中 , Fd 为阻尼力 ;α为阻尼系数 ,默认取值 0. 8 ; Fi 为在时刻 t 结点在 i 方向的不平衡力分 量。 + 1 , ( y > 0) sgn ( y ) = - 1 , ( y < 0 )
1. 1 拉格朗日法 FL AC 为快速拉格朗日法 ,而拉格朗日法源于流体力学 , 研究流体质点在任一时段内的
作者简介 : 艾志雄 (1980 - ) ,男 ,三峡大学土木水电学院硕士研究生 ; 邮编 :443002 。
19
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
[(u ∑
N
iห้องสมุดไป่ตู้
a
b + u i ) n jΔs ] ≈
9u i 9x j
( 5)
同理可以求出 <
9u j > 的值 。由几何方程就可以求出其应变率 9x j
eij =
9u j 1 9u i + 9x i 2 9x j
( 6)
20
© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
1. 3 FLAC 有限差分方程
由高斯散度定理有 9f 1 ( 1) < > = < f > niΔs 9x i A ∑ s 式中 ,∫ 为封闭曲面上沿边界的积分 ; ni 为曲
s
面 s 的单位法向量 ; f 为标量 、 向量或张量 ; f 为坐标向量 ; s 为增量弧长 ; ∫ 为对表面积 A
A
灾害与防治工程
2006 年第 1 期 ( 总第 60 期)
FL AC 基本原理及其在边坡
稳定性分析中的应用
艾志雄 罗先启 刘 波 牛恩宽
摘要 : FL AC 是岩土工程中广泛应用的软件 ,介绍了其基本原理 ,如有限差分网 格和有限差分方程的建立等 ,并应用其中的 Mo hr2Co ulo mb 本构模型对一均质 土边坡进行了边坡稳定性分析 。 关键词 : FL AC 理论 ; 滑坡稳定 ; Mo hr2Co ulo mb 模型
f
t t =σ - σ 3 Nφ + 2 c
Nφ
( 13) ( 14)
从 B 点到 C 点拉应力屈服函数为 t t f =σ - σ 3
s
( 15) 剪切势函数为 g = σ 1 - σ 3 Nφ t 式中 ,φ 为摩擦角 ; c 为粘聚力 ;σ 为抗拉强度 ; 1 + sinφσ σ Nφ = ; 1 和 3 各为最大 、 小主应力 。 1 - sinφ 图6 Mohr2Co ulomb 模型破坏标准 当土体中某点的任一平面上的剪应力达到土的 抗剪强度时 ,就认为该点已发生剪切破坏 ,该点也即处于极限平衡状态。根据极限应力摩尔圆与
运动轨迹 、 速度 、 压力等特征 。将其移植到固体力学中 ,把所研究的区域划分成网格 ,其结点 相当于流体质点 ,然后按时步用拉格朗日法来研究网格结点的运动 。它利用差分格式按时 步求解 ,在计算过程中随着网格形状的不断变化 ,不断更新坐标 ,允许介质发生较大的变形 。
1. 2 FLAC 网格 FL AC 将固体分为由四边形单元组成
m
对加速度进行积分 , 即可得到结点的新位移值 , 从而可求得 结点新的坐标值
xi
( t +Δt)
= xi
( t)
+ ui
Δ ( t - 2t)
Δt
( 10)
FL AC 将沿下图进行积分求解 ,见图 4 。 1. 6 阻尼力
图4 积分路径
在 FL AC 中解决静态问题时 ,为了以最少的计算来达到数值稳定 ,在运动方程中施加了 阻尼来获得静态解或准静态 ( 非惯性) 解 。FL AC 中采用了两种阻尼 ,一种是局部阻尼 ,即局 部无粘性阻尼 ,其节点上的阻尼力与非平衡力的大小成比例 ,阻尼力方向保证能量总能够消 散。
4 算 例
某均质土坡的模型如图 8 所示 ,土体的基本 参数密度为 1. 50 g/ mm3 ,粘聚力为 C = 104 Pa ,摩 擦角为φ= 20° ,剪切模量为 0. 3 × 108 Pa ,体积模量 为 108 Pa 。在水位下的边界上施加有均布压力 20 kN/ m 。 在重力作用下 ,土坡的初始最大不平衡力历 史记录如图 9 。从图 9 可以看出 , 最大不平衡力 X 为固定边界 X 方向 ; B 为固定边界的 X 、 Y 方向 的初值为 1. 7 MN ,3 726 步以后 , 最大不平衡力 图8 均质土坡的模型 已接近于零了 ,即初始求解过程是收敛的 。初始 平衡时 ,网格点 ( 10 ,10) 在 Y 方向的位移记录如图 10 。
Fundamental Theory of FLAC and Its Appl ication in Slope Stability Analysis
Ai Zhixio ng L uo Xianqi Liu Bo Niu Enkuan
Abstract FL AC is widely used in geotechnical engineering. The paper int roduces it s f un2 damental t heory including finite difference equatio n and finite difference mesh generatio n. Then , a slope stabilit y analysis is performed fo r a ho mogeno us soil slope by using t he Mo2 hr2Co ulo mb model of FL AC. Keywords FL AC t heory ; slope stabilizatio n ; Mo hr2Co ulo mb model Fast Lagrangian Analysis of Co ntinuea ( FL AC) 是基于显式有限差分法的数值分析方
划分 ,形成所需的形状 ; ( 2) 定义模型的材料属性 ; ( 3 ) 设定模型所受的外力和边界条件 ; ( 4 ) 求初始应力平衡 ,若模型的反应符合实际情况 ,计算继续 ; ( 5) 执行变更 ,如改变边界条件等 ; ( 6 ) 检查模型的反应 ,直到结果可以接受为止 ; ( 7 ) 据研究问题的要求 , 分析相应的参数的影 响结果 。
∫
( 3) ( 4)
对一个三角形子单元
1. 4 应变 、 应力
<
9f 1 > = 9x i A
∑<
f > niΔs
用每一边速度矢量均值 u i 代替 ( 4) 式中的 f , ui 取各条边两端点的结点 ( 即差分网格的 角点) a 和 b 的速度平均值 ,则
<
9u i 1 > = 9x j 2A
0 , ( y = 0)
另一种是联合阻尼 ,适用于求解稳态解包含显著一致运动问题 ,它比局部阻尼更容易消除动 能 。其阻尼形式为 ( 12) Fd = α| F | sgn ( F) 1. 7 FLAC 的求解过程 FL AC 先调用运动方程由网格点速度求得单元应变率 , 由应力应变本构关系计算单元 应力 ,从而确定结点的合力 ,若网格点受到的合力不等于零 ,那么它就具有不平衡力 ,进而可 以求得网格点新的速度和位移 , 到此计算为一个循环 ,然后按时步进行下一步的循环 , 直到 问题收敛 ,即单元的最大不平衡力随时步增加而逐渐趋于极小值 , 则计算稳定 , 循环结束 。 FL AC 的求解过程如图 5 。