第五部分概率统计
概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.2事件之间的关系与运算教学1b高一必修第二册数学
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内容(nèiróng)总结
第五章 统计(tǒngjì)与概率。说出每一事件的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系.。2理解，互斥事件和对立事件的概念 及关系。会用互斥事件与对立事件的概念公式求概率。3.会用自然语言、符号语言表示事件之间的关系与运算，加强数学抽象素养的培
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即时训练3 已知数学考试中，李明名成绩高于90分的概率为0.3，不低于60分且不高于90 分的概率为0.5，求： （1）李明成绩不低于60分的概率； （2）李明成绩低于60分的概率。5事件(shìjiàn)的混合运算。
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第五章 统计 与概率 (tǒngjì)
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5.3 概率(gàilǜ)
5.3.2 事件(shìjiàn)之间的关系与运算
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5.3.2 事件(shìjiàn)之间的关系与运 算
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【导入新课】 回顾1.集合间的运算(yùn suàn)及关系
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问题探究二：事件的和（并） （1）给定事件A,B。由所有A中的样本点与所有B中的样本点组成的事件， 称为A与B的和（或并），记作A+B（或A∪B）。 （2）事件A+B发生(fāshēng)，则当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生。
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P（A）≤P(A+B) ， P（B）≤P(A+B) ， P(A+B)≤P（A）+P(B)
第五章《概率论与数理统计教程》课件
试决定常数 3.
X ,Y
C
使得随机变量 cY 服从分布
2
分布。
相互独立，都与 N ( 0 , 9 ) 有相同分布， X 分别是来自总体
X ,Y
1
, X 2 , , X 9和
Y1 ,Y 2 , ,Y 9
的样本，
Z
9
X
i
i1
6 - 23
Y
i1
9
则Z 服从—— ，自由度为——。
2 i
4.
X1, X 2, X 3, X 4
是来自总体
X ~ N ( , )
2
的样本，则随机变
量 Y
X3 X4
服从——分布，其自由度为———。
2
(X i )
i1
2
5.
设
X 1 , X 2 , , X 10
是来自总体 X
~ N ( ,4 )
2
的样本， ( S 2 P
a ) 0 .1
一. 单个正态总体的统计量的分布
X 1 , X 2 , X n是来自正态总体 ~ N ( , 2 )的样本, X
X , S 分别是样本均值和样本 方差
2
定理1
X
n
1
n
X i ~ N ( ,
n
2
);
i1
定理2 U
1
X
/
~ N ( 0 ,1 );
n
定理3
6 - 18
定理7
当 1
2
2 2
2 2 时, 令 S w
( n1 1) S 1 ( n 2 1) S 2
2
高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.5随机事件的独立性教学1b高一必修第二册数学
2．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1
表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
A．相互独立事件
B．不相互独立事件
C．互斥事件
D．对立事件
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3．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目
标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(
)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
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相互独立事件同时发生的概率
【例2】 高二某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次 考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85. 求：
所以 P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16. 所以 P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件 A 与 B 相互独立．
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判断事件是否相互独立的方法 1定义法：事件A，B相互独立⇔PAB＝PA·PB. 2直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互 影响.
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1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(
)
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为
反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸
到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为 偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
五章概率统计初步
P(A)
m n
C21C418 C520
0.078
第一节 随机事件与概率
解:设 C表示“任取2件均为合格品”，则基本时间
种n数 C520，事件 C所包含的基本事件为 m ，C故428
P(C)
m n
C428 C520
0.92
第一节 随机事件与概率
三、加法公式与乘法公式
时，有
PA
B
PAB PB
当PA
0
时，有
PB
A
PAB PA
第一节 随机事件与概率
例3 某班有40名学生，其中男生25名，女士15名。男 生中有18名是独生子女，女生中有10是独生子女。现 任抽一名学生参加暑期社会实践活动，求：（1）抽到 男生独生子女的概率；（2）抽到的是一名男生，这名 男生是独生子女的概率。 解 设事件A表示“男生”；事件B表示“独生子女”
(AB)C A(BC)
(A B) C A (B C)
第一节 随机事件与概率
⑶ 分配律
(A B)C AC BC (AB) C (A C)(B C)
⑷ 反演律
A B AB AB A B
第一节 随机事件与概率
二、古典概型及概率
(一)概率的统计定义
由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件 (或称一般事件)。
第一节 随机事件与概率
样本点的全体构成的集合称为样本空 间,常Ω用表示;
注： ⑴ 由于Ω包含了全部样本点,故试验结
果一定出现在Ω中,因此说Ω是必然事件。 ⑵ 在一定的条件下，必然不会发生的
事件称为不可能事件，记为Ø。
第五章概率与概率分布
P( A)
事件A发生的次数m 重复试验次数n
m n
英语字母出现频率
space 0.2 ; I 0.055 ; C 0.023 ; G 0.011 ; Q 0.001 ; E R U B Z 0.105 ; T 0.072 ; 0.054 ; S 0.052 ; 0.0225 ; M 0.021 ; 0.0105 ; V 0.008 ; 0.001 O H P K 0.0654 ; 0.047 ; 0.0175 ; 0.003 ; A D Y X 0.063 ; 0.035 ; 0.012 ; 0.002 ; N 0.059 L 0.029 W 0.012 J 0.001
一、概率(Probability)的定义
概率：0-1之间的数，衡量事件A发生可能 性（机会）的数值度量。记P（A） •Probability: A value between 0 and 1, inclusive, describing the relative possibility (chance or likelihood) an event will occur.
P ( A) A包 含 的 可 能 结 果 (偶 数 ) 全部可能结果 3 6
实际与理论分析不符时，实际中可能作弊。
如：河北银行人员为买奖券，盗2000万并没中大奖。
西安彩票中心人员中奖率极高,结果是作弊。
例：已知有148名学生统计表
专业
性别
男 女
金融学院 工商学院 经济学院 会计学院 15 15 22 14 30 12 25 15
摘自：概率论与数理统计简明教程1988》李贤平 卞国瑞 立鹏，高等教育出版社
吴
大量统计的结果,用于破解密码
美国正常人血型分布
高中数学第五章统计与概率51统计514用样本估计总体教学课件新人教B版必修第二册
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高中数学第五章统计与概率51统计514用样本估计总体教学 课件新人教B版必修第二册
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解
因为
x甲
=
8+11+14+15+22 5
=14，
x乙
=
6+7+10+23+24 5
=14.
x甲 x乙.
s
2 甲
=
62 +32 +02 +12 +82 5
=22，
s
2 乙
=
82 +72 +42 +92 +102 5
（2）已知抽取的样本中，男生20人，女生15人，怎样估计总体平均数与 方差？
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高中数学第五章统计与概率51统计514用样本估计总体教学 课件新人教B版必修第二册
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问题3.如何分析频率分布直方图，用样本的分布估计总体的分布 通过整理某中学1257名高一学生期中考试数学成绩，得到如下数据，并 作出了频率分布直方图和折线图.
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高中数学第五章统计与概率51统计514用样本估计总体教学 课件新人教B版必修第二册
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高中数学第五章统计与概率51统计514用样本估计总体教学 课件新人教B版必修第二册
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解 （1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）x20=1，得x=0.0075. （2）众数为[220,240）区间的中点230. 因为（0.002+0.0095+0.011）x20=0.45<0.5，所以中位数在[220,240）
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率．(1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率；(2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)．解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有30)(=X E ，1.29)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)3040303020()4020(-<-<-=<<X P X P )103010(<-<-=X P )1030(<-=X P 709.0101.2912=-≥．(2)设X 为200个新生儿中男孩的个数，则X ～)200,5.0(B ，有100)(=X E ，50)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)10012010010080()12080(-<-<-=<<X P X P )2010020(<-<-=X P )20100(<-=X P 87205012=-≥．2．一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X P ．解：设i X 为该骰子掷第i 次出现的点数，则61)(==k X P i ，6,,2,1 =i ，6,,2,1 =k ．27)654321(61)(=+++++=i X E ，691)654321(61)(2222222=+++++=i X E ，35)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，4,3,2,1=i ．因为4321X X X X X +++=，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，故有14)(=X E ，335)(=X D ．由切比雪夫不等式，得)1418141410()1810(-<-<-=<<X P X P )4144(<-<-=X P )414(<-=X P 271.0433512=-≥．3．袋装茶叶用及其装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100g ，标准差为10g ，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于5.20kg 的概率．解：设i X 为一袋袋装茶叶的净重，X 为一盒茶叶的净重，由题可知∑==2001i i X X ，100)(=i X E ，100)(=i X D ，200,,2,1 =i ．因为1X ，2X ，…，200X 相互独立，则20000)()(2001==∑=i i X E X E ，20000)()(2001==∑=i i X D X D ．)()(20500)()(()20500(2001X D X E X D X E X P X P i i ->-=>∑=)1020020000205001020020000(⋅->⋅-=X P )2251020020000(>⋅-=X P 由独立同分布的中心极限定理，1020020000⋅-X 近似地服从)1,0(N ，于是0002.0)5.3(1)2251020020000(=Φ-≈>⋅-X P ．4．有一批建筑用木桩，其80%的长度不小于3m ．现从这批木桩中随机取出100根，试问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？解：设X 为100根木桩中短于3m 的根数，则由题可知X ～)2.0,100(B ，有20)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)30(1)30(<-=≥X P X P )42030(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 0062.0)5.2(1=Φ-=．5．某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布．现随机选取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件寿命总和大于1920h 的概率．解：设i X 为第i 只电器元件的寿命，由题可知i X ～)01.0(E ，16,,2,1 =i ，且1X ，2X ，…，16X 相互独立，则100)(=i X E ，10000)(=i X D ．记∑==161i i X X ，则1600)()(161==∑=i i X E X E ，160000)()(161==∑=i i X D X D ．))()(1920)()(()1920(X D X E X D X E X P X P ->-=>)400160019204001600(->-=X P )8.04001600(>-=X P ，由独立同分布的中心极限定理，1600-X 近似地服从)1,0(N ，于是2119.0)8.0(1)8.04001600(=Φ-=>-X P ．6．在数值计算中中，每个数值都取小数点后四位，第五位四舍五入(即可以认为计算误差在区间]105,105[55--⨯⨯-上服从均匀分布)，现有1200个数相加，求产生的误差综合的绝对值小于03.0的概率．解：设i X 为每个数值的误差，则i X ～)105,105(55--⨯⨯-U ，有0)(=i X E ，1210)(8-=i X D ，1200,,2,1 =i ．从而0)()(12001==∑=i i X E X E ，61200110)()(-===∑i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，X 近似地服从)10,0(6-N ，于是)03.0(<X P ))()(03.0)()((X D X E X D X E X P -≤-=12101200003.0121012000(44--⋅-≤⋅-=X P 9974.01)3(2=-Φ=．7．某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为8.0．医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于75个治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言．(1)若实际上此药对这种病的治愈率是8.0，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药对这种病的治愈率是7.0，问接受这一断言的概率是多少？解：设X 为100个服用此药的病人中治愈的个数，(1)由题可知X ～)8.0,100(B ，则80)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 48075(1))()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 8944.0)25.1(=Φ=．(2)由题可知X ～)7.0,100(B ，则70)(=X E ，21)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 217075(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 1379.0)09.1(1=Φ-=．8．一射手在一次射击中，所得环数的分布律如下表：X678910P 05.005.01.03.05.0求：(1)在100次射击中环数介于900环与930环之间的概率是多少？(2)超过950环的概率是多少？解：设X 为100次射击中所得的环数，i X 为第i 次射击的环数，则∑==1001i i X X ，15.9)(=i X E ，95.84)(2=i X E ，2275.1)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，100,,2,1 =i ．由1X ，2X ，…，100X 相互独立，得915)()(1001==∑=i i X E X E ，75.122)()(1001==∑=i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，75.122915-X 近似地服从)1,0(N ，于是(1))930900(≤≤X P ))()(930)()()()(900(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=75.12291593075.12291575.122915900(-≤-≤-=X P )75.1221575.122915(≤-=X P 823.01)35.1(2=-Φ≈．(2))950(>X P ))()(950)()((X D X E X D X E X P ->-=75.122915950)()((->-=X D X E X P 001.0)1.3(1=Φ-≈．9．设有30个电子元件1A ，2A ，…，30A ，其寿命分别为1X ，2X ，…，30X ，且且都服从参数为1.0=λ的指数分布，它们的使用情况是当i A 损坏后，立即使用1+i A (29,,2,1 =i )．求元件使用总时间T 不小于350h 的概率．解：由题可知i X ～)1.0(E ，30,,2,1 =i ，则10)(=i X E ，100)(=i X D ．记∑==301i i X T ，由1X ，2X ，…，30X 相互独立，得300)()(301==∑=i i X E T E ，3000)()(301==∑=i i X D T D ．))()(350)()(()350(T D T E T D T E T P T P ->-=>30103003503010300(⋅->⋅-=T P )91.03010300(>⋅-≈T P ，由独立同分布的中心极限定理，3010300⋅-T 近似地服从)1,0(N ，于是1814.0)91.0(1)91.03010300(=Φ-=>⋅-T P ．10．大学英语四级考试，设有85道选择题，每题4个选择答案，只有一个正确．若需要通过考试，必须答对51道以上．试问某学生靠运气能通过四级考试的概率有多大？解：设X 为该学生答对的题数，由题可知X ～41,85(B ，则25.21)(=X E ，9375.15)(=i X D ，85,,2,1 =i ．由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，近似地有9375.1525.21-X ～)1,0(N ，得)8551(≤≤X P ))()(85)()()()(51(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=)9375.1525.21859375.1525.219375.1525.2151(-≤-≤-=X P 0)45.7()97.15(=Φ-Φ=．即学生靠运气能通过四级考试的概率为0．。
_新教材高中数学第五章统计与概率
D．10张票中有1 张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率
都是0.1
【答案】
D
(2)我们知道，每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，则连
续抛掷质地均匀的硬币两次，是否一定出现“一次正面向上，一次反
面向上”呢？
【解析】 不一定．这是因为统计规律不同于确定的数学规律，对于具体的一
次试验而言，它带有很大的随机性(即偶然性)，通过具体试验可以知道除上述结
状元随笔 (1)正确理解频率与概率之间的关系
随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一
定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种
摆动的幅度越来越小．我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的
概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件
发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个
事件的概率．
(2)概率与频率的区别与联系：
频率
概率
频率反映了一个随机事件发 概率是一个确定的值，它反映
区别
生的频繁程度，是随机的 随机事件发生的可能性的大小
频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越
联系
接近概率
基 础 自 测
(2)将“60分～69分”记为事件B，则P(B)≈0.140；
(3)将“60分以上”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.
题型3 频率分布直方图的应用[经典例题]
例3 (1)在某次赛车中，50名参赛选手的成
绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和
1
，是指试验次数相当
1 000
_新教材高中数学第五章统计与概率
5．1.1 数据的收集【课程标准】(1)获取数据的基本途径及相关概念：①知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等．②了解总体、样本、样本量的概念，了解数据的随机性．(2)抽样：①简单随机抽样通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数表法．会计算样本均值和样本方差，了解样本与总体的关系．②分层随机抽样通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围，了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．③抽样方法的选择在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一总体与样本所考察问题涉及的对象全体是________，总体中每个对象都是________，抽取的部分对象组成总体的一个样本，一个样本中包含的个体数目是________容量．知识点二简单随机抽样1．简单随机抽样的意义：一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体．简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础．通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法．2．简单随机抽样的分类简单随机抽样{____________________状元随笔 (1)对总体、个体、样本、样本容量的认识总体：统计中所考察对象的全体叫做总体．个体：总体中的每一个考察对象叫做个体．样本：从总体中抽取的一部分个体叫做样本．样本容量：样本的个体的数目叫做样本容量．(2)简单随机抽样必须具备的几个特点①被抽取样本的总体中的个体数N 是有限的．②抽取的样本个体数n 小于或等于总体中的个体数N.③样本中的每个个体都是逐个不放回抽取的．④每个个体入样的可能性均为n N .3．随机数表法进行简单随机抽样的步骤状元随笔 用随机数表法进行简单随机抽样的规则(1)定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．(2)读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三位地读取，若得到的号码不在编号中或已被选用，则跳过，直到选满所需号码为止．知识点三分层抽样1．分层抽样的定义一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称分层抽样)注意：分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：(1)分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则．(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等．2．分层抽样的步骤：(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分．(2)按比例确定每层抽取个体的个数．(3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取．(4)综合每层抽样，组成样本．状元随笔应用分层抽样法的前提条件①总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．②每层中所抽取的个体差异可按各层个体在总体中所占的比例抽取．③分层抽样要求对总体的情况有一定的了解，明确分层的界限和数目．基础自测1．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的成绩，从中抽取了100名学生的成绩单进行调查．就这个问题来说，下面说法正确的是( )A．1000名学生是总体B．每名学生是个体C．100名学生的成绩是一个个体D．样本的容量是1002．某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适( )A．抽签法 B．简单随机抽样法C．分层抽样法D．随机数表法3．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( ) A．100B．150C．200D．2504．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人D．30人，50人，10人课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 简单随机抽样的概念[经典例题]例1 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验，在抽样过程中，从中任取一种玩具检验后再放回；(3)某社区组织100名党员研读《十九大报告》，学习十九大精神；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出7个号签．方法归纳简单随机抽样的四个特征跟踪训练1 下列抽样方式是否是简单随机抽样？(1)在某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格；(2)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．题型2 简单随机抽样的应用[经典例题]例2 (1)要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，写出抽样过程；(2)某车间工人加工了一批零件共40件．为了了解这批零件的质量情况，要从中抽取10件进行检验，如何采用随机数表法抽取样本，写出抽样步骤．状元随笔(1)总体中的个体数有限，可以采用简单易行的抽签法，按照抽签法的步骤进行即可．抽签法：按照抽签法的步骤：“编号，制号签，搅拌均匀，随机抽取，得号码”进行．→→方法归纳(1)抽签法的优点：简单易行．当总体的个数不多时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．缺点：仅适用于个体数较少的总体．当总体容量非常大时，费时费力又不方便．况且，如果号签搅拌不均匀，可能导致抽样不公平．(2)在随机数表法抽样的过程中要注意：①编号要求位数相同，读数时应结合编号特点进行读取，如：编号为两位，则两位、两位地读取；编号为三位，则三位、三位地读取．②第一个数字的抽取是随机的．③读数的方向是任意的，且事先定好．跟踪训练2 (1)第十三届中国(徐州)国际园林博览会于2021年9月开幕．为做好徐州园博园运营管理工作，2022年春节期间，还需要从30名大学生中随机抽取8人作为志愿者，请写出抽取样本的过程；(2)有一批机器，编号为1，2，3，…，112.请用随机数法抽取10台入样，写出抽样过程．题型3 分层抽样的概念及计算[经典例题]例3 (1)某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是( )A ．抽签法B ．简单随机抽样C ．分层抽样D ．随机数表法(2)某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家．状元随笔 (1)有明显差异用分层抽样．→方法归纳(1)各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可用简单随机抽样，也可采用系统抽样．分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会均等，体现了抽样的公平性．(2)分层抽样中有关抽样比的计算方法对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式巧解： ①样本容量n总体容量N ＝该层抽取的个体数该层的个体数；②总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解．跟踪训练3 (1)某市有四所重点大学，为了解该市大学生的课外书籍阅读情况，采用下列哪种方法抽取样本最合适(四所大学图书馆的藏书有一定的差距)( )A ．抽签法B ．随机数表法C．简单随机法D．分层抽样法(2)某校高三年级有男生800人，女生600人，为了解该年级学生的身体健康情况，从男生中任意抽取40人，从女生中任意抽取30人进行调查．这种抽样方法是 ( ) 关键看是否有明显差异A．简单随机法B．抽签法C．随机数表法D．分层抽样法(3)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．题型4 分层抽样的概念及应用例4 某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．状元随笔由题知有明显差异，利用分层抽样抽样．(1)分多少层．(2)比例是多少．(3)每层抽多少．方法归纳(1)如果总体中的个体有差异时，就用分层抽样抽取样本，用分层抽样抽取样本时，要把性质、结构相同的个体，组成一层．(2)每层中所抽取的个体数应按各层个体数在总体中所占的比例抽取，也就是各层抽取.这样抽取能使所得到的样本结的比例都等于样本容量在总体中的比例，即抽样比＝样本容量总体容量构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性．跟踪训练4 在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程．第五章 统计与概率5．1 统计5．1.1 数据的收集新知初探·自主学习知识点一总体 个体 样本知识点二2．抽签法 随机数表法3．编号 任意 规则 编号[基础自测]1．解析：由随机抽样的基本概念可得，选D.答案：D2．解析：总体由差异明显的三部分组成，应选用分层抽样．答案：C3．解析：方法一：由题意可得70n−70＝3 5001 500，解得n ＝100，故选A. 方法二：由题意，抽样比为703 500＝150，总体容量为3500＋1500＝5000，故n ＝5000×150＝100.答案：A4．解析：先求抽样比n N ＝903 600+5 400+1 800＝1120，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×1120＝30(人)，乙校抽取5400×1120＝45(人)，丙校抽取1800×1120＝15(人)，故选B. 答案：B课堂探究·素养提升例 1 【解析】 (1)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求被抽取样本的总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取．(3)不是简单随机抽样，因为这100名党员是挑选出来的，该社区每个人被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能性”的要求．(4)是简单随机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．跟踪训练1 解析：由简单随机抽样的特点可知，(1)(2)均不是简单随机抽样．(1)总体个数不是有限的．(2)不符合“等可能性”的要求．例2 【解析】(1)利用抽签法，步骤如下：①将30辆汽车编号，号码是1，2， (30)②将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；④从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号；⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．(2)抽样步骤是：第一步，先将40件零件编号，可以编号为00，01，02，…，38，39.第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，例如从教材附表的随机数表中的第8行第9列的数0开始．为便于说明，我们将随机数表中的第6行到第10行分别摘录如下：6606574717 3407276850 3669736170 6581339885 11199291708105010805 4557182405 3530342814 8879907439 23403097328326977602 020******* 6855574818 7305385247 18623885796357332135 0532547048 9055857518 2846828709 83401256247379645753 0352964778 3580834282 6093520344 3527388435第三步，从选定的数0开始向右读下去，得一个两位数字号码02，将它取出；继续向右读，得到02，由于前面已经取出，将它去掉；继续下去，去掉重复的号码，又得到05，16，18，38，33，21，35，32，28.至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是02，05，16，18，38，33，21，35，32，28.与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体．跟踪训练2 解析：(1)抽样过程如下：第一步，先将30名大学生进行编号，从1到30.第二步，将编号写在形状、大小相同的号签上．第三步，将号签放到一个不透明的盒子中搅拌均匀，然后从盒子中逐个抽取8个号签．第四步，将与号签上的编号对应的大学生抽出，即得样本．(2)方法一：第一步，将原来的编号调整为001，002，003， (112)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第14行第7个数“0”，向右读．第三步，从“0”开始，向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到020，086，013，110，089，021，080，098，027，002.第四步，对应原来编号为20，86，13，110，89，21，80，98，27，2的机器便是要抽取的对象．方法二：第一步，将原来的编号调整为101，102，103， (212)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第9行第7个数“1”，向右读．第三步，从“1”开始，向右读，每次读取三位，凡不在101～212中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到173，119，170，187，186，125，140，109，184，178.第四步，对应原来编号为73，19，70，87，86，25，40，9，84，78的机器便是要抽取的对象．例3 【解析】 (1)各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据．(2)依据题意，可得抽样比为100200+400+1 400＝120，故应抽取中型超市400×120＝20(家)．【答案】 (1)C (2)20跟踪训练3 解析：(1)因为学校图书馆的藏书对学生课外书籍阅读影响比较大，因此采取分层抽样．(2)总体中个体差异比较明显40800＝30600＝120，且抽取的比例也符合分层抽样．(3)设该单位老年职工人数为x ，由题意得3x ＝430－160，解得x ＝90.则样本中的老年职工人数为90×32160＝18.答案：(1)D (2)D (3)18例4 【解析】 采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下：第一步，分层．按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区．第二步，确定抽样比．样本容量n ＝60，总体容量N ＝12000，故抽样比k ＝n N ＝6012 000＝1200.第三步，按比例确定每层抽取个体数．在东城区抽取2400×1200＝12(人)，在西城区抽取4600×1200＝23(人)，在南城区抽取3800×1200＝19(人)，在北城区抽取1200×1200＝6(人)．第四步，在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．将各城区抽取的观众合在一起组成样本．跟踪训练4 解析：先将产品按等级分成三层；第一层，一等品20个；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个．然后确定每一层抽取的个体数，因为抽样比为30100＝310，所以应在第一层中抽取产品20×310＝6(个)，在第二层中抽取产品30×310＝9(个)，在第三层中抽取产品50×3＝15(个)．分别给这些产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数表法10在各层中抽取，得到一等品6个，二等品9个，三等品15个，这样就通过分层抽样得到了一个容量为30的样本．。
高中数学 第五章 统计与概率 5.1.2 数据的数字特征课件 b高一第二册数学课件
2．方差与标准差
(1)方差：如果 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，则方差可用求
和符号表示为 s2＝ n1i＝n1 (xi－ x )2 .
(2)方差的性质：如果 a，b 为常数，则 ax1＋b，ax2＋b，…， axn＋b 的方差为_a_2_s_2__.
(3)标准差：方差的算术平方根称为标准差. 标准差描述了数 据相对于平均数的 离散程度 ．
第二十页，共四十四页。
[提醒] 求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计． 2．计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从 大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算． 3．计算百分位数的步骤 第 1 步，按从小到大排列原始数据． 第 2 步，计算 i＝n×p%. 第 3 步，若 i 不是整数，而大于 i 的比邻整数为 j，则第 p 百分位数为第 j 项数据；若 i 是整数，则第 p 百分位数为第 i 项 与第(i＋1)项数据的平均数．
C．3
D．4
第二十二页，共四十四页。
解析：在这一组数据中，3 出现次数最多，有 6 次，故众数是 3； 将数据按从小到大顺序排列后，最中间的数据是 3，故中位数是 3；平均数＝2×2＋3×611＋6×2＋10＝4，故只有①正确． 答案：A
第二十三页，共四十四页。
2．[平均数的求法]已知样本数据 x1，x2，…，xn 的平均值 x ＝5， 则样本数据 2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1 的平均值为________． 解析：由条件知 x ＝x1＋x2＋n …＋xn＝5， 则所求平均值 x ′＝2x1＋1＋2x2＋n1＋…＋2xn＋1 ＝2x1＋x2＋n…＋xn＋n＝2 x ＋1＝2×5＋1＝11. 答案：11
s
2
乙
概率论与数理统计 第五章
贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
lim P{| nA p | } 1
n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不
是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例
如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟
者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资
料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变
量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给
定的ε>0,有
lim P{|
n
1 n
n i 1
[Xi
E( X i )] |
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
2021/9/5
10
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
概率论与数理统计第5章
2、定理以数学形式证明了随机变量X
1
,
X
的算术平均
n
X
1 n
n i 1
X i接近数学期望E( X k ) （k
1,2, n）,这种接近
说明其具有的稳定性
这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率收敛的意义下 逼近某一常数.
1.(2010-1)设 n 为n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件
10
3.(2009 1)
设X i
0, 1,
事件A不发生 事件A发生 (i 1, 2,
,100),且P(A) 0.8,
100
X1, X 2 , , X100相互独立,令Y Xi则由中心极限定理知Y 近似服从于 i 1
正态分布,其方差为________ .
4.(2008 -10)设总体X的分布律为P{X 1} p, P{X 0} 1- p, 其中0 p 1.
P{|
m n
p
|
}1
或
ln im
P{|
m n
p
|
}
0
注： 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分 大时，事件A发生的频率m/n与事件A的概率p有较 大偏差的概率很小.
事件发生的频率可以代替事件的概率.
5.2.2 独立同分布随机变量的切比雪夫大数定律
定理5-3
设随机变量X
1
,
X
，
2
，X
n
,
是独立同分布随机变量序列,
E( Xi ) , D( Xi ) 2 (i 1, 2, )均存在,则对任意 0有
lim{|
n
高中数学 第5章 统计与概率 5.4 统计与概率的应用课件 b高一必修第二册数学课件
层
释 疑
就应该派小明参加．]
作 业
难
·
返 首 页
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第八页，共五十页。
情
课
境
2．从某批零件中随机抽出 40 个检查，发现合格产品有 36 个， 堂
导
小
学 则该批产品的合格率为( )
探
·
结 提
新 知
A．36%
B．72%
素 养
·
合
C．90%
D．25%
课
作 探 究
C
[
用
样
本
的
合
格率近
似
代
课
境
堂
导
2．如图所示，A 地到火车站共有两条
小
学
结
·
探 新
路径 L1 和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到
提 素
知
养
达火车站的人进行调查，调查结果如下：
·
合 作
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
课 时
探
究
选择 L1 的人数 6
12
18
12
12
分 层
释
导
小
学
结
·
探 新
提
某市准备实行阶梯电价，要求约 75%的居民用电量在第一阶梯 素
知
养
内，约 20%的居民用电量在第二阶梯内，约 5%的居民用电量在第三
合
作 阶梯内．
课 时
探
究
分
层
释
作
疑
业
难
·
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12/12/2021
高中数学第五章统计与概率5-1统计5-1-2数据的数字特征学案新人教B版必修第二册
5．1.2 数据的数字特征【课程标准】(1)结合实例，理解最值、平均值、众数、极差、方差、标准差的含义．(2)结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一 最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值．状元随笔 最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示．知识点二 平均数(1)定义：如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为x ＝________________．这一公式在数学中常简记为x ＝______________．(2)求和符号∑具有的性质①∑i =1n(x i +y i )＝∑i =1n x i +∑i =1ny i；②∑i =1n(kx i )＝k∑i =1nx i；③∑i =1nt＝nt .(3)如果x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，且a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数是________________．知识点三 中位数、百分位数、众数的概念1．中位数(1)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称_____ ___为这组数的中位数；(2)如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称_______ _为这组数的中位数．2．百分位数(1)定义：一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有________的数据不大于该值，且至少有________的数据不小于该值．(2)计算方法：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，x n，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取________为p%分位数；如果i是整数，取________为p %分位数．规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是x n(即最大值)状元随笔 中位数和百分位数的关系是什么？提示：中位数是50%分位数．3．众数一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数________的数据称为这组数据的众数．状元随笔 对众数、中位数、平均数的理解(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．(4)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．知识点四 极差、方差与标准差1．一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差．2．如果x1，x2，…，x n的平均数为x，则方差可用求和符号表示为s2＝1n ∑i=1n(x i−x)2.3．方差的算术平方根称为标准差．状元随笔 对方差与标准差概念的理解(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．基础自测1．求下列一组数据1，2，2，3，4，4，5，6，6，7的第30百分位数( )A．2 B．3C．4 D．2.52．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )A．平均数>中位数>众数B．平均数<中位数<众数C．中位数<众数<平均数D．众数＝中位数＝平均数3．已知一组数据为－3，5，7，x，11，且这组数的众数为5，那么该组数据的中位数是( )A．7 B．5C．6 D．114．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 最值、平均数、众数[数学抽象、数学运算]例1 某公司员工的月工资情况如下所示：月工资/元800005000040000200001000080007000员工/人125820122(1)分别计算该公司员工月工资的最值、平均数和众数；(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理？状元随笔 (1)依据最值、众数的定义及平均数的计算公式求值．(2)根据第(1)问的计算结果和实际意义作答．方法归纳(1)最值和众数的求法在样本数据中出现次数最多的数据即为众数，最大的数是最大值，最小的数是最小值．(2)求平均数的步骤①求和：数据x1，x2，…，x n的和为x1＋2＋…＋x n.②求平均数：和除以数据的个数n，即x1，x2，…，x n的平均数为1n(x1＋x2＋…＋x n)．跟踪训练1 (1)已知一组数据4，2a，3－a，5，6的平均数为4，则a的值是________；(2)某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩统计如下： 分数5060708090100人数 班级 甲班161211155乙班351531311选用平均数与众数评估这两个班的成绩．题型2 中位数、百分位数的计算[数学运算、数据分析]例2 近年来，某市私家车数量持续增长，2015年至2019年该市私家车数量依次为15，19，22，26，30(单位：万辆)，则(1)该组数据的中位数是________；(2)10%分位数是______________，20%分位数是____________．状元随笔 (1)排序并数出数据总数，依据中位数的定义计算．(2)依据百分位数的定义计算．方法归纳(1)求中位数的一般步骤①把数据按大小顺序排列．②找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数．若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数．(2)求百分位数的一般步骤①排序：按照从小到大排列：x1，x2，…，x n.②计算：求i＝np%的值．③求值：跟踪训练2 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的80%分位数是( )A．90 B．90.5C．91D．91.5题型3 标准差、方差的应用[经典例题]例3 甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．方法归纳在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策，在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．跟踪训练3 在例3中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？5．1.2 数据的数字特征新知初探·自主学习知识点二(1)1n (x1＋x2＋…＋x n) 1n∑i=1nxi(3)a x＋b 知识点三1．(1)x n＋1 (2)xn+xn+122．(1)p% (100－p)% (2)xi0 xi+xi+1 23．最多[基础自测]1．解析：这组数据共10个，10×30%＝3即第30百分位数是第3项数据和第4项数据的平均数2.5.答案：D2．解析：平均数、中位数、众数皆为50，故选D.答案：D3．解析：由这组数据的众数为5，可知x＝5，把这组数据由小到大排列为－3，5，5，7，11，则可知中位数为5.答案：B4．解析：因为x＝15×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，所以s＝√15×［(3−5)2+…+(6−5)2］＝√2.答案：√2课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)该公司员工月工资的最大值为80000元，最小值为7000元，众数为10000元．平均数为150×(80000×1＋50000×2＋40000×5＋20000×8＋10000×20＋8000×12＋7000×2)＝17000(元)．(2)用众数，因为最大值为80000元且只有一个，无法代表该公司员工的月工资，平均数受到最大值的影响，也无法代表该公司员工的月工资，每月拿10000元的员工最多，众数代表该公司员工的月工资最合理．跟踪训练1 解析：(1)由4+2a+(3−a)+5+65＝4可知a＝2.(2)甲班平均数为150(50×1＋60×6＋70×12＋80×11＋90×15＋100×5)＝79.6(分)，乙班平均数为150(50×3＋60×5＋70×15＋80×3＋90×13＋100×11)＝80.2(分)，从平均分看成绩较好的是乙班；甲班众数为90分，乙班众数为70分，从众数看成绩较好的是甲班．答案：(1)2 (2)见解析例2 【解析】 (1)这组数据从小到大排列后，22处于最中间的位置，故这组数据的中位数是22.(2)因为5×10%＝0.5，所以该组数据的10%分位数是15，因为5×20%＝1，所以该组数据的20%分位数是15+192＝17.【答案】 (1)22 (2)15 17跟踪训练2 解析：把成绩按从小到大的顺序排列为：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的80%分位数是90+912＝90.5.答案：B例3 【解析】 (1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s甲2＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝7 3，s乙2＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s甲2>s乙2，所以乙机床加工零件的质量更稳定．跟踪训练3 解析：甲的数据为99＋10，100＋10，98＋10，100＋10，100＋10，103＋10，平均数为100＋10＝110，方差仍为16[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝7 3.。
小学数学课程与教学论：第5章《统计与概率》PPT教学课件
2、经历简单的数据收集和整理 过程，了解调查、测量等收集 数据的简单方法，并运用自己 的方式（文字、图画、表格等） 呈现整理数据的结果。
3、通过对数据的简单分析，体 会运用数据进行表达与交流的 作用，感受数据蕴涵信息。
三 年 级 下
例20：对全班同学的身高进行调查分析。
[说明]学校一般每年都要测量学生的身高，这为学习统 计提供了很好的数据资源，因此这个问题可以贯穿第一学 段和第二学段，根据不同学段的学生特点，要求可以有所 不同。希望学生把每年测量身高的数据都保留下来，养成 保存资料的习惯。在第一学段，主要让学生感悟可以从数 据中得到一些信息。
一 年 级 上
1、能根据给定的标准或者自 己选定的标准，对事物或数据 进行分类，感受分类与分类标 准的关系。
一 年 级 上
2、经历简单的数据收集和整理 过程，了解调查、测量等收集 数据的简单方法，并运用自己 的方式（文字、图画、表格等） 呈现整理数据的结果。
二 年 级 下
2、经历简单的数据收集和整理 过程，了解调查、测量等收集 数据的简单方法，并运用自己 的方式（文字、图画、表格等） 呈现整理数据的结果。
《小学数学课程与教学论》
第五章 统计与概率
老师
内容结构
• 第一学段
初步的数据统计活动
• 第二学段
简单数据统计过程 随机现象发生的可能性
01
统计教学
一、内容标准 二、教学建议
初步的数据统计活动:第一学段
1. 能根据给定的标准或者自己选定的标准，对事物或数据进行分类， 感受分类与分类标准的关系。（例18）
例2：将数50，98，38，10，51排序，用“＞”或“＜”表示。
用大得多、大一些、小一些、小得多等语言进一步描述它们之间关系。
概率论与数理统计第五章习题详解 (2)
习题五1 .已知()1E X =，()4D X =，利用切比雪夫不等式估计概率{}1 2.5P X -<.解： 据切比雪夫不等式{}221P X σμεε-<≥-{}241 2.51 2.5P X -<≥-925=.2．设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方程2()D X σ=，利用切比雪夫不等式估计{}||3P X μσ-≥.解：令3εσ=，则由切比雪夫不等式{}2()||3D X P X μσε-≥≤， 有{}221||3(3)9P X σμσσ-≥≤=.3. 随机地掷6颗骰子，利用切比雪夫不等式估计6颗骰子出现点数之和在1527 之间的概率.解： 设X 为6颗骰子所出现的点数之和；i X 为第i 颗骰子出现的点数，1,2,,6i = ，则61ii X X==∑，且126,,...,X X X 独立同分布，分布律为：126111666⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，于是6117()62i k E X k ==⋅=∑6221191()66i k E X k ==⋅=∑所以22()()()i i i D X E X E X =-914964=-3512=，1,2,,6i =因此 617()()6212ii E X E X===⨯=∑6135()()612i i D X D X ===⨯∑352=故由切比雪夫不等式得：{}{}|5271428P X P X ≤≤=<<{}7217P X =-<-< {}|()|7P X E X =-<2()17D X ≥-13559114921414=-⨯=-=.即6颗骰子出现点数之和在1527 之间的概率大于等于914.4. 对敌阵地进行1000次炮击，每次炮击中。
炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率.{}1|()|7P X E X =--≥解： 以i X 表示第i 次炮击击中的颗数(1,2,,1000)i =有()0.4i E X = ，() 3.6i D X =据 定理：则10001380420i i P X =⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∑420400380400--≈Φ-Φ11()()33=Φ-Φ-12()13=Φ- 20.62931=⨯- 0.2586= .5. 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g ，标准差是10g . 求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg 的概率.解： 设i X 为第i 个螺丝钉的重量，1,2,,100i = ，且它们之间独立同分布，于是一盒螺丝钉的重量1001ii X X==∑，且由()100i E X =10=知()100()10000i E X E X =⨯=，100=，由中心极限定理有：100001020010000(10200)10100X P X P --⎧⎫>=>⎨⎬⎩⎭100002100X P -⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭1000012100X P -⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭1(2)≈-Φ10.977250.02275=-= .6. 用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从[]0.5,0.5-上的均匀分布.（1）若有1200个数相加，则其误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率达到90%以上.解： 设i X 为第i 个加数的取整舍入误差， 则{}i X 为相互独立的随机变量序列， 且均服从[]0.5,0.5-上的均匀分布，则0.50.5()0i E X xdx μ-===⎰0.5220.51()12i D X x dx σ-===⎰（1） 因1200n =很大，由独立同分布中心极限定理对该误差总和12001ii X=∑，1200115i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑15P ⎫⎪=>12 1.5i i P X =⎫⎪=>⎬⎪⎭2(1(1.5))=-Φ 0.1336= .即误差总和的绝对值超过15的概率达到13.36% .(2) 依题意，设最多可有n 个数相加，则应求出最大的n ，使得1100.9n k k P X =⎧⎫<≥⎨⎬⎩⎭∑由中心极限定理：1110n ni ii i P X P X ==⎧⎧⎫⎪<=<⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎩∑∑210.9≈Φ-≥ .即0.95Φ≥查正态分布得 1.64≥即21012()446.161.64n ≤≈取446n =，最多可有446个数相加 .7. 在人寿保险公司是有3000个同一年龄的人参加人寿保险，在1年中，每人的的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年第1天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元，求保险公司在一年的这项保险中亏本的概率.解 以X 表示1年死亡的人数 依题意，(3000,0.001)X B注意到{}{}200030000P P X =>保险公司亏本其概率为{}1530000.001151P X -⨯>≈-Φ1(6.932)=-Φ 0≈ .即保险公司亏本的概率几乎为0 .8. 假设12,,...,n X X X 是独立同分布的随机变量，已知()ki k E X α= (1,2,3,4;1,2,,)k i n == .证明：当n 充分大时，随机变量211nn i i Z X n==∑近似服从正态分布.证明：由于12,,...,n X X X 独立同分布，则22212,,...,n X X X 也独立同分布由()ki k E X α= (1,2,3,4;1,2,,)k i n ==有22()iE X α=，2242()((i iiD XE X E X ⎡⎤=-⎣⎦242αα=-2211()()nn i i E Z E X nα==⋅=∑2242211()()()nn i i D Z D X n nαα==⋅=-∑{}15P X =>因此，根据中心极限定理：(0,1)nZU Nα-=即当n充分大时，n Z近似服从2242(,())N nααα- .9. 某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X的概率分布；（2）利用德莫弗-位普拉斯中心极限定理.求：被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率.解（1）(100,0.2)X B，所以{}1001000.20.80,1,2,,100k k kP X k C k-===()20E X np==，()(1)16D X np p=⋅-=（2）{}|430P X≤≤1420203020XP---⎧⎫=≤≤(2.5)( 1.5)=Φ-Φ-(2.5)( 1.5)1=Φ+Φ--0.9940.93310.927=+-= .10 .某厂生产的产品次品率为0.1p=，为了确保销售，该厂向顾客承诺每盒中有100只以上正品的概率达到95%，问：该厂需要在一盒中装多少只产品？解：设每盒中装n只产品，合格品数~(,0.9)X B n，()0.9E X n=，()0.09D X n=则{}{}1001100P X P X>=-≤1000.910.95n -=-Φ=1000.9 1.65n-=-解得117n =，即每盒至少装117只才能以95%的概率保证一盒内有100只正品。
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第五部分：《概率统计》（00）甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示。
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价。
（01）近年来国内生产总值增长率的变化情况如下表，从图上看，下列结论不正确的是【】A．1995-1999年国内生产总值年增长率逐年减小B．2000年国内生产总值的年增长率开始回升C．这7年中，每年的国内生产总值不断增长D．这7年中，每年的国内生产总值有增有减（01）随机抽取某城市30天的空气质量状况统计如下：其中，w ≤50时，空气质量为优；50＜w ≤100时，空气质量为良；100<w≤ 150时，空气质量为轻微污染，估计该城市一年(以365天计)中有多少天空气质量达到良以上。
（包含良）（02）2001年中国人民银行统计司就城镇居民对物价水平满意程度进行了抽样调查，结果如右图，据此，可估计2001年城镇居民对物价水平表示认可的约占__________%．（02）某电视台综艺节目接到热线电话3000个，现要从中抽取“幸运观众”10名，张华同学打通了一次热线电话，那么他成为“幸运观众”的概率为__________．（华东版教材实验区试题）（02）某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：（1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；（2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由．（03）城镇人口占总人口比例的大小表示城填化水平的高低。
由下面统计图可知，我国城镇化水平提高最快的时期是___________。
（03）某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。
有关数据如下表所示：（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。
问风景区是怎样计算的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。
问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？（04）一个骰子，六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，投掷一次，向上的面出现数字3的概率是＿＿＿＿＿＿。
（华东版实验区试题）（04）新安商厦对销量较大的A、B、C三种品牌的洗衣粉进行了问卷调查，发放问卷270份（问卷由单选和多选题组成）。
对收回的238份问卷进行了整理，部分数据如下：一、最近一次购买各品牌洗衣粉用户的比例（如图）二、用户对各品牌洗衣粉满意情况汇总表：根据上述信息回答下列问题：⑴A品牌洗衣粉的主要竞争优势是什么？你是怎样看出来的？⑵广告对用户选择品牌有影响吗？请简要说明理由。
⑶你对厂家和何建议？（05）某市社会调查队对城区内一个社区居民的家庭经济状况进行调查. 调查的结果是, 该社区工有500户, 高收入\中等收入和低收入家庭分别有125户\280户和95户. 已知该市有100万户家庭下列表书增却的是【】A. 该市高收入家庭约25万户B. 该市中等收入家庭约56万户C. 该市低收入家庭业19万户D. 因城市社区家庭经济状况好,所以不能据此估计全市所有家庭经济状况（05）某校九年级(1)班有50名同学, 综合数值评价”运动与健康”方面的等级统计如图所示, 则该班”运动与健康”评价等级为A的人数是______（05）两人去某风景区游玩, 每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度, 也不知道汽车开过来的顺序. 两人采用了不同的乘车方案: 甲无论如何总是上开来的第一辆车. 而乙则是先观察后上车, 当第一辆车开来时, 他不上车, 而是子痫观察车的舒适状况, 如果第二辆车的舒适程度比第一辆好, 他就上第二辆车; 如果第二辆车不比第一辆好, 他就上第三辆车.如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等, 请尝试着解决下面的问题:(1) 三辆车按出现的先后顺序工有哪几种不同的可能?(2) 你认为甲、乙采用的方案, 哪一种方案使自己．．乘上等车的可能性大? 为什么?（06）把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康．如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图．其中对过期药品处理不正确的家庭达到【】A、79 %B、80 %C、18 %D、82 % （06）某水果公司以2元／千克的单价新进了10000千克柑橘，为了合理定出销售价格，水果公司需将运输中损失的水果成本折算到没有损坏的水果售价中．销售人员从柑橘中随机抽取若干柑橘统计柑橘损坏情况，结果如下表。
如果公司希望全部售完这批柑橘能够获得5000元利润，那么在出售柑橘时，每千克大约定价元。
（06）田忌赛马是一个为人熟知的故事．传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强……( 1 )如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？( 2 )如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）（07）下列调查工作需采用的普查方式的是………………【】A.环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查B.电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查C.质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查D.企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查（07）两个小组进行定点投篮对抗赛，每组6名组员，每人投10次。
两组组员进球数的统计如下：哪一个小组成绩较为稳定__________________（07）在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数，让参加者猜商品价格。
被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位中从左到右连在一起的某4个数字。
如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意．．猜一个，求他猜中该商品价格的概率。
（08）某火车站的显示屏，每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是【】A.16B.15C.14D.13（08）如图是我国2003～2007年粮食产量及其增长速度的统计图，下列说法不正确．．．的是【】A．这5 年中，我国粮食产量先增后减 B．后4年中，我国粮食产量逐年增加C．这5 年中，我国粮食产量年增长率最大 D．这5 年中，我国粮食产量年增长率最小（08）甲同学口袋中有三张卡片，分别写着数字1、1、2，乙同学口袋中也有三张卡片，分别写着数字1、2、2。
两人各自从自己的口袋中随机摸出一张卡片，若两人摸出的卡片上的数字之和为偶数，则甲胜；否则乙胜。
求甲胜的概率。
（09）某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是【】A．45B．35C．25D．15（09）如图，将小王某月手机费中各项费用的情况制成扇形统计图，则表示短信费的扇形圆心角的度数为．（09）某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；乙：跳绳次数不少于106次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；丁：第②、③、④组的频数之比为4:17:15．根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少？（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值．（10）某企业1~5月分利润的变化情况图所示，以下说法与图中反映的信息相符的是【】A）1~2月分利润的增长快于2~3月分利润的增长B）1~4月分利润的极差于1~5月分利润的极差不同C）1~5月分利润的的众数是130万元D）1~5月分利润的的中位数为120万元（10）上海世博会门票价格如下表所示：某旅行社准备了1300元，全部用来购买指定日普通票和平日优惠票，且每种至少买一张。
⑴有多少种购票方案？列举所有可能结果；⑵如果从上述方案中任意选中一种方案购票，求恰好选到11张门票的概率。
门票价格一览表（11）从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M：“这个四边形是等腰梯形”，下列推断正确的是【】A．事件M是不可能事件 B．事件M是必然事件C ．事件M 发生的概率为1 5D ．事件M 发生的概率为2 5（11）一次学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上(包括6分)为合格，成绩达到9分为优秀．这次测验甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：(2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出三条支持乙组学生观点的理由．。