宁夏银川一中2020届高三第四次月考数学(理)试题 Word版含答案

银川一中2020届高三年级第四次月考
理 科 数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10
B ．9i --
C ．9i -+
D ．-10
3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x =
A ．
2
1 B ．1 C ．
2 D ．3
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确
的是（ ）
A ．若βαβα//,,⊂⊂n m ，则n m //
B ．若βαα//,⊂m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n
D ．若βα⊂⊂n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥
6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是
A ．《雷雨》只能在周二上演
B ．《茶馆》可能在周二或周四上演
C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》
D ．四部话剧都有可能在周二上演
7．函数x e x f x
cos )112
(
)(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是
A B C D
8．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研
实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比1
2
m =
的近似值，黄金分割
比还可以表示成2sin18︒=
A ．4
B 1
C ．2
D 1
9．已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤--≥++00202m y y x y x ，若目标函数y x z -=2的最大值为3，
则实数m 的值为 A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
10．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，
侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接 球的表面积为
A ．
193π B ．8π C ．9π D ．203
π
11．已知函数)0(sin )42(
cos sin 2)(22
>--=ωωπ
ωωx x x x f 在区间]6
5,32[π
π-上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是
A ．]53
,0( B ．]53,21[ C ．]43,21[ D ．)2
5,21[
12．若,,x a b 均为任意实数，且22(2)(3)1a b ++-=，则22()(ln )x a x b -+-的最小值为
A ．32
B ．18
C ．321
D ．1962-
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若1,13
5
cos ,54cos ===
a B A ， 则=
b __________．
14．已知函数1)1ln()(2+++
=x x x f ,若2)(=a f ,则=-)(a f __________．
15．已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则1220...a a a +++=_______．
16．已知四边形ABCD 为矩形，AB=2AD=4，M 为AB 的中点，将ADM ∆沿DM 折起，得
到四棱锥DMBC A -1，设C A 1的中点为N ，在翻折过程中，得到如下三个命题： ①DM A //1平面BN ，且BN 的长度为定值5；
②三棱锥DMC N -的体积最大值为
3
2
2； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得C A DM 1⊥ 其中正确命题的序号为__________．
三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，
第22、23题为选考题. （一）必考题：共60分 17.（12分）
已知函数()sin (
)3
f x A x π
ϕ=+，x R ∈，0A >，02
π
ϕ<<
．()y f x =的部分图像，
如图所示，P 、Q 分别为该图像的最高点和最低点， 点P 的坐标为(1,)A ．
（1）求()f x 的最小正周期及ϕ的值；
（2）若点R 的坐标为(1,0)，23
PRQ π
∠=
，求A 的值． x
y
O
P
R
Q
已知数列}{n a 满足)1(2)1(,211+++==+n n S n nS a n n .
（1）证明数列}{
n
S n
是等差数列，并求出数列}{n a 的通项公式； （2）设n a a a a b n 2842+⋅⋅⋅+++=，求n b . 19．（12分）
如图，菱形ABCD 的边长为12，60BAD ∠=o ，AC 与BD 交于O 点．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -， 点M 是棱BC 的中点，62DM =． （1）求证：平面ODM ⊥平面ABC ； （2）求二面角M AD C --的余弦值．
如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB AD ⊥，且2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点． （1）求证：AM ∥平面SCD ；
（2）求平面SCD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值；
（3）设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ， 求sin θ的最大值． 21．（12分）
已知函数)()1()(2
R a x a xe x f x
∈++= (1)讨论f (x )的单调性；
(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.
(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
(θ为参数)，点P 在直线l ：40
x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；
（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2
OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．
23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数|2|f x x k x k R =-++∈（）（），|2|g x x m m Z =+∈（
）（）. （1）若关于x 的不等式1g x ≤（）的整数解有且仅有一个值4-，当2k =时，求不等式f x m ≤（）的解集；
（2）若223h x x x =-+（），若120x R x ∀∈∃∈
+，（，）∞，使得12f x h x ≥（）（）成立，求实数k 的取值范围.
银川一中2020届高三年级第四次月考（理科）参考答案
一、选择题：
二、填空题：
13．
13
20
14．0 15. -20 16. 三、解答题：
17.（1）解：由题意得，
2 6.
3
T π
π
=
= ………2分
因为),1(A P 在)3
sin(
ϕπ
+=x A y 的图象上，
所以1)3
sin(
=+ϕπ
………4分
又因为02
π
ϕ<<
，所以6
π
ϕ=
………6分
（2）解：设点Q 的坐标为0(,)x A -，由题意可知
033
6
2
x π
π
π
+
=
，得04,(4,)x Q A =-所以 ………8分
连接PQ ，在2,3
PRQ PRQ π
∆∠=
中，由余弦定理得
2222221
cos .22RP RQ PQ PRQ RP RQ +-∠===-⋅ ………10分
解得2 3.A =
又0,A A >=
所以 ………12分
18．
解：（1）由()()1121n n nS n S n n +=+++
得
121n n S S n n
+-=+， ……3分 所以数列n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是首项为2，公差为2的等差数列，
所以
()2212n
S n n n
=+-=，即22n S n =， ………4分 当2n ≥时，()2
2122142n n n a S S n n n -=-=--=-，由于12a =也满足此式， 所以{}n a 的通项公式42n a n =-． ………6分
（2）由42n a n =-得2
242222n n n a +=⨯-=-， 所以 ………8分
248n b a a a =+++…2n a +()()()345222222=-+-+-+…()
222n ++-
(3
4
5
222=+++…)2
2
2n n ++-()33212222812
n n n n +-=
-=---． ……12分
19.解：（1）证明：是菱形，
AD DC ∴=, ………1分 中，,
又是
中点，1
6,2
OM AB MD ∴=
==ABCD Q OD AC ⊥ADC ∆12,120AD DC ADC ==∠=o ∴6OD =M BC
222,OD OM MD DO OM +=∴⊥Q ………3分 面面 ………5分
又 Q OD ⊂平面ODM
∴平面ODM ⊥平面ABC ………6分
（2）由题意，,OD OC OB OC ⊥⊥, 又由（Ⅰ）知OB OD ⊥ 建立如图所示空间直
角坐标系，由条件易知()()()
6,0,0,0,63,0,0,33,3D A M - ……7分
故)0,36,6(),3,39,0(==AD AM 设平面MAD 的法向量),,(z y x m =，则
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
0AM m 即330
6630z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令3y =3,9x z == 所以，)9,3,3(-= ………9分
由条件易证OB ⊥平面ACD ，故取其法向量为 )1,0,0(=n ………10分
所以，3193
3|
|||,cos =<n m n m n m ………11分
由图知二面角M AD C --393
………12分 20．解：（1）以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,0,0,0,0,2,0,1,1A B C D S M
()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ∴==-=--u u u u r u u u r u u u r
， ………1分
设平面SCD 的一个法向量为n (),,x y z =
,OM AC ⊂,,ABC OM AC O OD =∴⊥I ABC
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0020
20x z x y -=⎧∴⎨--=⎩
，令1z =，得)1,1,2(-=n ，
∴0=⋅，即⊥ ………3分 ∵AM ⊄平面SCD ∴AM ∥平面SCD ． ………4分 （2）取平面SAB 的一个法向量)0,0,1(=m ， ………5分
则||||,cos n m n m
<3== ………7分 ∴平面SCD 与平面SAB
…………8分 （3）设(),22,0N x x -(12)x ≤≤，则)1,32,(--=x x MN ，平面SAB 的一个法向量为
)0,0,1(=m ∴|,cos |sin ><=m MN θ
sin θ∴=
=
=
……11分 当
135x =，即53x =时，sin θ取得最大值，且(
)max sin 7
θ=． …………12分 21.解（1）)2)(1()1(2)1()('a e x x a e x x f x x ++=+++= ………1分
（ⅰ）0≥a 时，当)1,(--∞∈x 时，0)('
<x f ；当),1(+∞-∈x 时，0)('
>x f 所以f(x)在)1,(--∞单调递减，在),1(+∞-单调递增； ……2分 （ⅱ）0<a 时
若e
a 21-
=，则))(1()('x
x e e x x f --+=，所以f(x)在),(+∞-∞单调递增；……3分
②若e
a 21-
>，则1)2ln(-<-a ，故当),1())2ln(,(+∞---∞∈Y a x 时，0)('
>x f ， )1),2(ln(--∈a x ，0)('<x f ；所以f(x)在),1()),2ln(,(+∞---∞a 单调递增，在 )1),2(ln(--a 单调递减； ………5分
③若e
a 21-
<，则1)2ln(->-a ，故当)),2(ln()1,(+∞---∞∈a x Y ，0)('
>x f ， ))2ln(,1(a x --∈，0)('<x f ；所以f(x)在)),2(ln(),1,(+∞---∞a 单调递增，在 ))2ln(,1(a --单调递减； ………6分
（2）（ⅰ）当a>0,则由（1）知f(x)在)1,(--∞单调递减，在),1(+∞-单调递增，
又01
)1(<-
=-e
f ，0)0(>=a f ，取b 满足1-<b ，且2ln 2a b <-，
则0)2
3
()1()2(2)2(22>-=-+->
-b b a b a b a b f ，所以f(x)有两个零点；………8分 （ⅱ）当a=0,则x
xe x f =)(，所以f(x)只有一个零点 ………9分
（ⅲ）当a<0,①若e
a 21
-
≥,则由（1）知，f(x)在),1(+∞-单调递增。

又当1-≤x 时，0)(<x f
故f(x)不存在两个零点， ………10分
②e
a 21
-
<，则由（1）知，f(x)在))2ln(,1(a --单调递减，在)),2(ln(+∞-a 单调递增 又当1-≤x ，f(x)<0,故f(x)不存在两个零点。

………11分 综上，a 的取值范围为),0(+∞. ………12分
22．解：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=， ………3分
直线l 的极坐标方程ρ＝4
sin θ＋cos θ. ………5分 (2)设,,P Q R 的极坐标分别为12(,),(,),(,)ρθρθρθ，
因为124
,2sin cos ρρθθ
=
=+ ………6分
又因为2
OP OR OQ =⋅，即
212ρρρ=⋅ ………9分
212
2161(sin cos )2
ρρρθθ∴==⨯+， …………10分
23. 解：（1）由题意，不等式1g x ≤（
），即21x m +≤，所以2
1
21+-≤≤--m x m ， 又由11
54322
m m ---+<
≤-≤<--，解得79m <<， 因为Z m ∈，所以8m =， ………2分 当2k =时，⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤≤--<-=++-=)2(2)22(4)
2(2|2||2|)(x x x x x x x x f ，
不等式8f x ≤（
）等价于228x x <-⎧⎨-≤⎩，或2248x -≤≤⎧⎨≤⎩，或2
28
x x >⎧⎨≤⎩，
即42x -≤<-，或22≤-x ，或24x <≤，
综上可得44x -≤≤，故不等式8f x ≤（
）的解集为[-4，4] . ………5分 （2）因为|2|2|2|f x x k x x k x k =-++≥--+=+（
）（）（）， 由22
2312h x x x x =-+=-+（）（），0x ∈+∞（，），可得12min h x h ==（）（）
， ………7分
又由120x R x ∀∈∃∈+，（，）∞，使得12f x h x ≥（）（）成立，则22k +≥， ………9分
解得4k ≤-或0k ≥，故实数k 的取值范围为(,4][0,)-∞-+∞U . ………10分。