上海市第三女子中学21-22学年高一上学期期末数学试卷(含答案解析)

上海市第三女子中学21-22学年高一上学期期末数学试卷
班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________
一、单选题（本大题共4小题，共12分）
1、“α=π4”是“sinα=√22”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
2、下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. f(x)=√(x −1)2，g(x)=x −1
B. f(x)=x −1，g(t)=t −1
C. f(x)=log 3x 2，g(x)=2log 3x
D. f(x)=x ，g(x)=x 2
x
3、函数f(x)=log 22−x 2+x 的图象（ ）
A. 关于原点对称
B. 关于直线y =−x 对称
C. 关于y 轴对称
D. 关于直线y =x 对称
4、在同一坐标系中，函数y =ax +1与y =a |x−1|(a >0且a ≠1)的图象可能是（
）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共36分）
5、函数y =log 3(x −1)的定义域为______．
6、函数y =2x −3的零点是______．
7、已知cosα=13，−π
2<α<0，则sinα=______．
8、已知函数f(x)={log 2x,x >2
f(x +3),x ≤2，则f(1)的值等于______．
9、函数y =1
x 2+1的值域是______． 10、函数f(x)=4x 3+k ⋅√x 3+1(k ∈R)，若f(2)=8，则f(−2)的值为______．
11、已知实数a >0且a ≠1，不论a 取何值，函数y =a x−4+2的图像恒过一个定点，这个定点的坐标为______．
12、已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=2x +x ，则当x >0时，
f(x)=______． 13、已知tanα=2，则sin(α+π)+cosα
cosα−cos(π2+α)的值为______． 14、若函数f(x)={log a x,x ≥13a −x,x <1
(a >0,a ≠1)是R 上的严格减函数，则实数a 的取值范围是______．
15、已知函数f(x)=x 2−2ax +5(a >1)的定义域和值域均是[1,a]，则实数a =______．
16、已知M 是满足下列性质的所有函数y =f(x)组成的集合：对任意x 1，x 2∈D f (其中D f 为函数f(x)的定义域)，均有|f(x 1)−f(x 2)|≤|x 1−x 2|成立．若函数y =a x+2，x ∈[−1,+∞)属于集合M ，则实数a 的取值范围为______．
三、解答题（本大题共5小题，共52分）
17、(本小题8.0分)
设常数a >0且a ≠1，若函数y =log a (x +1)在区间[0,1]的最大值为1，最小值为0，求实数a 的值．
18、(本小题10.0分)
已知幂函数f(x)=x −m
2+4m (m ∈Z)的图像关于y 轴对称，且在区间(0,+∞)上是严格增函数． (1)求m 的值；
(2)求满足不等式f(2a −1)<f(a +1)的实数a 的取值范围．
19、(本小题10.0分)
已知函数f(x)=a −
22x +1是R 上的奇函数，a ∈R ．
(1)求a 的值．
(2)用定义证明：函数f(x)是R 上的严格增函数．
20、(本小题10.0分)
某辆汽车以x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x ≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15(x −100+4500x
)升． (1)欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；
(2)求该汽车行驶100公里的油耗y 关于汽车行驶速度x 的函数，并求y 的最小值．
21、(本小题14.0分)
已知函数f(x)=ax 2+bx +1(a,b 为实数)，x ∈R ．
(1)若函数f(x)的最小值是f(−1)=0，求a ，b 的值；
(2)在(1)的条件下，关于x 的不等式f(x)+3≥kx 在区间[−3,−1]上恒成立，求实数k 的取值范围；
(3)若a >0，f(x)为偶函数，实数m ，n 满足m ⋅n <0，m +n >0，定义函数F(x)={f(x)x ≥0−f(x)x <0
，
试判断F(m)+F(n)值的正负，并说明理由．
参考答案及解析
1.答案：A
解析：
本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．
先判定“α=π
4
”是否能推出“sinα=√2
2
”，以及“sinα=√2
2
”能不能推出“α=
π
4
”，从而判定它
们的条件关系．
当α=π
4
时，则sinα=√2
2
当sinα=√2
2时，α=
π
4
+2kπ或3π
4
+2kπ，k∈Z
故“α=π
4
”⇒“sinα=√2
2
”
“sinα=√2
2”不能推出“α=
π
4
”
所以“α=π
4
”是“sinα=√2
2
”的充分不必要条件
所以选：A．
2.答案：B
解析：A.∵f(x)=√(x−1)2=|x−1|，与g(x)的对应关系不同，∴不是同一函数；
B.f(x)与g(x)的定义域、对应关系和值域都相同，所以是同一函数；
C.∵f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，∴不是同一函数；
D..∵f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，∴不是同一函数；
所以选：B．
根据函数的定义域、对应关系和值域进行判断即可．
只有两函数的定义域、对应关系和值域完全相同时才能是同一函数，属于基础题．3.答案：A
解析：∵函数f(x)=log22−x
2+x ，∴2−x
2+x
>0，求得−2<x<2，可得函数的定义域为(−2,2)，关于原点
对称．
再根据f(−x)=log2+x
2−x
=−f(x)，可得函数f(x)为奇函数，故函数的图象关于原点对称，所以选：A．
先根据函数的奇偶性的定义判断函数f(x)为奇函数，再根据奇函数的性质可得函数f(x)的图象关于原点对称．
本题主要考查求函数的定义域，函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，属于基础题． 4.答案：C
解析：当a >1时，直线y =ax +1的斜率大于1，函数y =a |x−1|(a >0且a ≠1)在(1,+∞)上是增函数，选项C 满足条件．
当1>a >0时，直线y =ax +1的斜率大于0且小于1，函数y =a |x−1|(a >0且a ≠1)在(1,+∞)上是减函数，没有选项满足条件．
所以选C ．
当a >1时，直线y =ax +1的斜率大于1，函数y =a |x−1|(a >0且a ≠1)在(1,+∞)上是增函数；当1>a >0时，直线y =ax +1的斜率大于0且小于1，函数y =a |x−1|(a >0且a ≠1)在
(1,+∞)上是减函数，结合图象得出结论．
本题主要考查函数的单调性，函数图象的特征，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 5.答案：(1,+∞)
解析：要使函数有意义，则x −1>0，得x >1，
即函数的定义域(1,+∞)，
所以答案为：(1,+∞)．
根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．比较基础．
6.答案：log 23
解析：令2x −3=0，即2x =3，所以x =log 23，
故函数的零点是：log 23.
所以答案为：log 23.
由函数零点的定义，令2x −3=0，求解出x 的值即为答案．
本题考查了函数零点的求解，解题的关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．
7.答案：−2√23
解析：因为cosα=13
，−π2<α<0， 所以sinα=−√1−cos 2α=−√1−(13)2=−2√23．
所以答案为：−2√23
． 根据同角三角函数的平方关系与三角函数在各象限的符号，即可得解．
本题考查同角三角函数的平方关系，三角函数在各象限的符号，考查运算求解能力，属于基础题． 8.答案：2
解析：∵函数f(x)={log 2x,x >2f(x +3),x ≤2
， ∴f(1)=f(4)=log 24=2，
所以答案为：2．
直接根据函数的解析式得到f(1)=f(4)，进而求解结论．
本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键要注意不同的x 对应的函数解析式，属于基础试题．
9.答案：(0,1]
解析：因为x 2+1≥1，
所以0<1
x 2+1
≤1， 函数的值域为：(0,1]．
求出分母的范围，然后求解函数的值域．
本题考查函数的值域的求法，是基础题． 10.答案：−6
解析：∵f(x)=4x 3+k ⋅√x 3+1，
∴f(x)−1=4x 3+k ⋅√x 3
，则f(x)−1为奇函数，
∴f(−2)−1=−[f(2)−1]，
即f(−2)=−f(2)+1+1=−8+2=−6，
所以答案为：−6．
由f(x)=4x 3+k ⋅√x 3+1得f(x)−1=4x 3+k ⋅√x 3为奇函数，然后利用奇函数的性质即可得到结论．
本题主要考查函数值的计算，利用条件构造函数f(x)−1，利用函数的奇偶性是解决本题的关键，本题也可以直接解方程进行求解．
11.答案：(4,3)
解析：∵常数a >0且a ≠1，无论a 取何值，对于函数y =a x−4+2，
令x −4=0，求得x =4且y =3，故函数的图像恒过定点(4,3)，
所以答案为：(4,3)．
令幂指数等于零，求得x 、y 的值，可得函数的图像恒过定点的坐标．
本题主要考查指数函数的图像经过定点问题，属于基础题．
12.答案：x −(12)x
解析：设x >0，则−x <0，
因为x <0时，f(x)=2x +x ，且f(x)为奇函数，
所以f(−x)=2−x −x =−f(x)，
所以f(x)=x −(12
)x ． 所以答案为：x −(12)x ．
x >0，则−x <0，结合已知x <0时的函数解析式及奇函数的定义可求．
本题主要考查了函数解析式的求解，奇函数定义的应用是求解问题的关键． 13.答案：−13
解析：因为tanα=2，
所以sin(α+π)+cosαcosα−cos(π2+α)=−sinα+cosαcosα+sinα=−tanα+11+tanα=−2+11+2=−13． 所以答案为：−13．
由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
本题主要考查了诱导公式及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 14.答案：[13,1)
解析：因为f(x)={log a x,x ≥13a −x,x <1
(a >0,a ≠1)是R 上的严格减函数， 所以{0<a <10≤3a −1
， 解得，13
≤a <1． 所以答案为：[13
,1). 由已知结合分段函数单调性要求可得{0<a <10≤3a −1
，从而可求． 本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数的性质，属于基础题． 15.答案：2
解析：∵二次函数f(x)=x 2−2ax +5的图象是抛物线，开口向上，对称轴是x =−
−2a 2×1=a >1，
∴f(x)=x 2−2ax +5在[1,a]上是减函数，
又f(x)在[1,a]上的值域也是[1,a]，
∴{f(1)=a f(a)=1，即{6−2a =a −a 2+5=1
， 解得，a =2；
所以答案为：2． 由二次函数的图象与性质可以判定f(x)在[1,a]内是减函数，由值域也是[1,a]，可求出a 的值． 本题考查了二次函数的单调性以及定义域和值域的问题，是容易题．
16.答案：[−1,1]
解析：因为对任意x 1，x 2∈D f ，均有|f(x 1)−f(x 2)|≤|x 1−x 2|成立，
若函数y =a x+2，x ∈[−1,+∞)属于集合M ，则|a 2+x 1−a
2+x 2|≤|x 1−x 2|，x ∈[−1,+∞) 化简得，|a|≤|(2+x 1)(2+x 2)|恒成立，
因为|(2+x 1)≥1，(2+x 2)|≥1，
所以|(2+x 1)(2+x 2)|≥1，
故|a|≤1，
解得−1≤a ≤1．
所以答案为：[−1,1]．
由已知不等式代入整理可得，|a|≤|(2+x 1)(2+x 2)|恒成立，结合已知x 的范围可求．
本题主要考查了不等式的恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
17.答案：y =log a (x +1)(a >0，且a ≠1)在区间[0,1]上为单调函数，
当a >1时，有log a 2=1，且log a 1=0，解得a =2，
当0<a <1时，有log a 2=0，且log a 1=1，此时a 不存在，
所以答案为：2．
解析：讨论a 的取值分别求解即可．
本题考查的知识点是函数单调性的应用，熟练掌握对数型函数的单调性是解答的关键，属于基础题． 18.答案：(1)由于f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x)是偶函数，
即−m 2+4m 是偶数，
由于f(x)在(0,+∞)内单调递增，所以−m 2+4m >0，
即0<m <4，。