2018-2019学年高一数学第二学期期末试卷及答案(一)

2018-2019学年高一数学第二学期期末试卷及答案（一）
一.选择题
1.两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）
A. 4
B.
C.
D.
2.将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）
A. 1
B.
C.
D.
3.下列命题正确的是（）
A. 两两相交的三条直线可确定一个平面
B. 两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行
C. 过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
D. 和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
4.在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（）
①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；
②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；
③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5.已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（）
A. 0或1
B. 1或
C. 0或
D.
6.如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（）
A. （﹣3，﹣1）∪（1，3）
B. （﹣3，3）
C. [﹣1，1]
D. [﹣3，﹣1]∪[1，3]
7.若圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=m（m＞0）上有且只有一点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，则实数m的值为（）
A. 4
B. 16
C. 4或
16 D. 2或4
8.已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（）
A. B. C.
D.
9.如图，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
10.点P是双曲线﹣=1的右支上一点，M是圆（x+5）2+y2=4上一点，点N 的坐标为（5，0），则|PM|﹣|PN|的最大值为（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
11.m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）
A. m⊥l，n⊥l，则m∥n
B. α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β
C. m∥α，n∥α，则m∥n
D. α∥γ，β∥γ，则α∥β
12.曲线y=1+ 与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）
A. B. C. D.
二.填空题
13.如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为________．
14.若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．
15.若点P在圆上，点Q在圆上，则|PQ|的最小值是________．
16.直线x+7y﹣5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值为________．
三.解答题
17.已知△ABC三边所在直线方程：l AB：3x﹣2y+6=0，l AC：2x+3y﹣22=0，l BC：3x+4y﹣m=0（m∈R，m≠30）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）当BC边上的高为1时，求m的值．
18.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．
（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；
（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；
（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．
答案解析部分
一.<b >选择题</b>
1.【答案】D
【考点】两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，
∴，解得m=2．
因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，
即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．
∴两条直线之间的距离为d= = = ．
故答案为：D
【分析】根据两条直线平行的一般式的系数关系可求出m=2，进而得到两条直线的方程，再利用两条平行线间的距离公式可得结果。

2.【答案】D
【考点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：∵边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，
∴=1，AC=2，
取AC中点O，连结DO，BO，则DO=BO= =1，
且DO⊥平面ABC，
∴V D﹣ABC= = ，
BD= = ，AB=BC=AD=DC= ，
∴= ，
=1，
∴四面体ABCD的表面积S=S△ADC+S△ABC+S△ABD+S△BCD
=2+ ，
∴四面体ABCD的内切球的半径r= = =2﹣．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件把V D﹣ABC转化为四个小三棱锥的体积之和，每个小三棱
锥的高就是内切球的半径，故得r= ，即得结果。

3.【答案】C
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】解：对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故A错误；
对于B，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；
对于C，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故C正确；
对于D，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故D错误．故答案为：C．
【分析】根据平面的基本性质及推论得到A、B、C选项的反例即可。

4.【答案】A
【考点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：当过平面α外的两点在垂直于平面α的直线上时，命题①不成立；
不共线三点在平面α，β的两侧时，②不成立；
无数条直线平行时，③不成立；
在正方体中ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1与B1C1是异面直线，AA1在面ABCD中的射影是点，故④错．
故选A．
【分析】根据平面的性质以及推论可得到命题①②③④的反例，故不正确。

5.【答案】C
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，
它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．
当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，
由≠ ，解得：a= ．
综上，a=0或，
故答案为：C．
【分析】分情况讨论当a=0时，两直线的斜率都不存在，但两直线平行是成立
的。

当a≠0时，两条直线平行斜率相等可得a的值，故a=0或.
6.【答案】D
【考点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：圆（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2=8的圆心（a ，a ）到原点的距离
为| a|，半径r=2 ，
由圆（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2=8上总存在点到原点的距离为
，
∴2 ﹣ ≤| a|≤2 + ，
∴1≤|a|≤ 3解得 1≤a≤3或﹣3≤a≤﹣1．
∴实数a 的取值范围是[﹣3，﹣1]∪[1，3]．
故答案为：D 【分析】由题意可知，当圆心到直线的距离位于：半径减去到半径加上这
个范围内时，总会存在这样的点到原点的距离为。

7.【答案】A
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆C ：（x ﹣5）2+（y+1）2=m （m ＞0）
上有且只有一点到直线4x+3y ﹣2=0的距离为1，
∴圆心（5，﹣1）到直线4x+3y ﹣2=0的距离d=r+1，
∴d= = +1， 解得m=4．
故答案为：A ．
【分析】利用圆心到直线的距离d=r+1可求出m 的值。

8.【答案】B
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】解：如图，过A 点做AE ⊥l ，使BE ⊥β，垂足为E ，过点A 做
AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，
∵AE⊥l∴∠EAC=90°
∵CD∥AF又∠ACD=135°
∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°
在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE= a，
在Rt△AEF中，则EF=a，AF= a，
在Rt△BEF中，则BF=2a，
∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，
∴cos∠BAF= = = ．
故答案为：B．
【分析】由已知作出辅助线，找到两条异面直线所成的角是∠BAF，根据三个直角三角形的边的关系，由余弦定理可求出cos∠BAF的值。

9.【答案】B
【考点】弦切角
【解析】【解答】解：由已知及弦切角定理可得：∠DCF=∠DAC①
又∠DAC=∠DBC，
所以：∠DCF=∠DBC②．
又AC平分∠BAD，
∠DCF=∠BAC③，
又∠BDC=∠BAC，
所以：∠DCF=∠BDC④，
又由弦切角定理可得：∠BAC=∠BCE，
所以：∠DCF=∠BCE⑤，
综上，图中与∠DCF相等的角的个数是5．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件以及弦切角定理推导可得。

10.【答案】D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线﹣=1的右支中，∵a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0），
∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，
∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，
所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2||
=6+2
=8．
故选D
【分析】利用双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a=6故|MP|≤|PF1|+|MF1|即
|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2||=8
11.【答案】D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；
若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行与可能相交，故错误；
m∥α，n∥α，则m、n可能平行、相交或异面，故错误；
α∥γ，β∥γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α∥β，正确．
故答案为：D．
【分析】利用空间中直线与平面之间的位置关系可得出A、B、C选项的反例。

12.【答案】D
【考点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得：直线l过A（2，4），B（﹣2，1），
又曲线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，
当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，
解得：k= ；
当直线l过B点时，直线l的斜率为= ，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．
故答案为：
【分析】根据题意作出图像，由已知可得：当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即得k的值；当直线l过B点时，直线l的斜率为，故直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围在这两个值之间即可。

二.<b >填空题</b>
13.【答案】10
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个俯视图为底面的三棱锥，
底面面积S= ×5×4=10，
高h=3，
故体积V= =10，
故答案为：10．
【分析】根据三视图可得该几何体是一个三棱锥,由已知利用三棱锥的体积公式可求出结果。

14.【答案】（0，）
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+y2=9，
∴圆心坐标为（﹣2，0），半径r=3，
令x=0，则，
设A（0，），又M（﹣1，0），
∴，
又∵直线过第一象限且过（﹣1，0）点，
∴k＞0，又直线与圆在第一象限内有交点，
∴k＜= ，
则k的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）
【分析】首先求出圆与y轴的交点，即得k MA = ，根据题意直线与圆在第一象限内的部分有交点，故直线的斜率0<k＜.
15.【答案】2
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：据题意易求，又两圆的半径分别为1和2，
故|PQ|的最小值为：|C1C2|﹣2﹣1=2．
故答案为2．
【分析】先求出两个圆的圆心之间的距离，最小值就是这个距离减去两个圆的半径之和。

16.【答案】π
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）到直线x+7y﹣5=0的距离为：
d= = ，
故弦长为2 =2 = ，
故弦所对的圆心角为，两段弧长之比为3：1，
两段弧长之差的绝对值是=π．
故答案为：π．
【分析】根据弦长和圆心到直线的距离可求出弦所对的圆心角为，由圆心角的大小进而得到两段弧的长度之比，故得到两部分弧长之差为π。

三.<b >解答题</b>
17.【答案】（1）解：直线AB的斜率为，直线AC的斜率为，所以k AB•k AC=﹣1，
所以直线AB与AC互相垂直，
因此，△ABC为直角三角形
（2）解：解方程组，得，即A（2，6）．
由点到直线的距离公式得
当d=1时，，即|30﹣m|=5，
解得m=25或m=35．
【考点】三角形的形状判断
【解析】【分析】1、由已知的直线方程可分别求出直线的斜率，可求出k AB•k AC=﹣1，即得三角形的形状。

2、联立两条直线的方程先求出顶点A的坐标，再利用点到直线的距离公式求出d的表达式，令d=1求出m的值即可。

18.【答案】（1）证明：如图所示，
连接B1C交BC1于O，连接OD，
因为四边形BCC1B1是平行四边形，
所以点O为B1C的中点，
又因为D为AC的中点，
所以OD为△AB1C的中位线，
所以OD∥B1A，
又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，
所以AB1∥平面C1BD．
（2）证明：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，
又因为AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BD，
根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，
又因为BD⊂平面C1BD，
所以平面C1BD⊥平面A1ACC1
（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3 ，
∴S△BCD= ×3×3 = ，
∴= = • •6=9 ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】1、根据已知条件作辅助线：连接B1C交BC1于O，连接OD，由题意可得OD∥B1A，利用线面平行的判定定理可得证。

2、利用线面垂直的性质定理和判定定理可得证。

3、利用等体积法转化顶点和底面可求出体积。