河北省衡水梁集中学2018_2019学年高二数学第五次调研考试试题理

河北省衡水梁集中学2018-2019学年高二数学第五次调研考试试题
理
考试范围：选修2—2 2—3
第I 卷（选择题）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．设复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. -1 D. 1
2．有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
3．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =及曲线1x
y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（ ）
A.
1e B. 11e - C. 11e - D. 21
e e -- 4．已知随机变量X ～N (2，σ2
)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( ) A. 0.32 B. 0.68 C. 0.36 D. 0.64
5．已知()3
f x x ax =-在(]
,1-∞-上是单调函数，则a 的取值范围是（ ）
A. ()3,+∞
B. [)3,+∞
C. (),3-∞
D. (]
,3-∞
6．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有
A. 36种
B. 24种
C. 22种
D. 20种
7．已知()()()4
2
0122111x a a x a x -=+-+- ()()3
4
3411a x a x +-+-，则2a =（ ）
A. 18
B. 24
C. 36
D. 56 8.若直线y x =与曲线x m
y e
+=（m R ∈， e 为自然对数的底数）相切，则m =（ ）
A. 1
B. 2
C. -1
D. -2 9．若函数
在
内无极值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10．已知当x ∈时,a ≤+ln x 恒成立,则a 的最大值为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
11．一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于 ( )
A. 1021012
3588C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 92
912
353888C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C. 9
2
9115388C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 10
2
9113588C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
12．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值
是
A. B. C. D.
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，共20分）
13．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是_____________． ①若K 2
的观测值满足K 2
≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；
③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
14．关于变量,x y 的一组样本数据()11,a b ， ()22,a b ，……， (),n n a b （2n ≥， 12,,,n a a a ⋅⋅⋅不全相等）的散点图中，若所有样本点(),i i a b （1,2,,i n =⋅⋅⋅）恰好都在直线21y x =-+上，则根据这组样本数据推断的变量,x y 的相关系数为_____________．
15．现有A B 、两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分. A 队中每人答对的概率均为2
3
， B 队中3人答对的概率分别为
221
,,332
，且各答题人答题正确与否之间互无影响，若事件M 表示” A 队得2分“，事件N 表示” B 队得1分“，则()P MN =__________．
16．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在8次试验中，成功次数ξ的期望是______________
三、解答题（共70分）
17．（10分）设函数()3
44f x ax x =-+过点()3,1P ．
（Ⅰ）求函数的极大值和极小值．
（Ⅱ）求函数()f x 在[]
1,3-上的最大值和最小值．
18．（12分）已知函数()22m x f x x m
=-，且0m ≠．
（Ⅰ）当1m =时，求曲线()y f x =在点()00，处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
19．（12分）某中学准备在开学时举行一次高三年级优秀学生座谈会，拟请20名来自本校高三(1)(2)(3)(4)班的学生参加，各班邀请的学生数如下表所示；
(1)从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一班级的概率；
(2)从这20名学生中随机选出3 名学生发言，设来自高三（3）的学生数为X，求随机变量X 的概率分布列和数学期望.
20．（12分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了100位顾客购物的相关数据如下表：
一次购物款（单位：元）[)
0,50[)
50,100[)
100,150[)
150,200[)
200,+∞
顾客人数20a3020b
统计结果显示100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%，该商场每日大约有4000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于100元的顾客发放纪念品.
（Ⅰ）试确定a，b的值，并估计每日应准备纪念品的数量；
（Ⅱ）现有4人前去该商场购物，求获得纪念品的数量ξ的分布列与数学期望.
21．（12分）在某校矩形的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在范围内，规定分数在80以上（含80）的同学获奖，按文理科用分层抽样的放发抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图.
(Ⅰ)填写下面的列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”；(Ⅱ)将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为,求的分布列及数学期望.
附表及公式：，其中
22．（12分）在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x (单位：分)与物理偏差y (单位：分)之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学偏差x 20 15 13 3 2 －5 －10 －18 物理偏差y 6.5
3.5
3.5
1.5
0.5
－0.5
－2.5
－3.5
(1)已知x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；
(2)若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩.
参考公式： 122
1,ˆˆˆn
i i i n i
i x y nxy b
a
y bx x nx
==-==--∑
∑
. 参考数据： 8
8
21
1
324,1256i i
i i i x y
x ====∑∑.
参考答案
1．C
【解析】,虚部为,故选C.
2．A
【解析】若甲猜对，当第一名为3号时，则乙、丙、丁都猜错；
若乙猜对，由于只有一个猜对，则丙猜错，即1,2,3都不可能，那么丁就猜对了，不符合题意；
若丙猜对，则乙也猜对了，不符合题意； 若丁猜对，则乙也猜对了，不符合题意； 所以只有一个人猜对，应该是甲。

故选A 。

3．D
【解析】试题分析：由几何概型可知，所求概率为.
考点：几何概型、定积分． 4．C
【解析】如图，由正态曲线的对称性可得
.
故选C. 5．D
【解析】因为()3f x x ax =-在(],1-∞-上是单调函数，所以()2
30f x x a '=-≥在(]
,1
-∞-上恒成立，即()
2
min
33a x ≤=；故选D.
6．B
【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排222
32212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.
7．B 【解析】
()
()4
4
21121x x ⎡⎤-=+-⎣⎦，故()()()2
2
2
2
2
24
41C 214C 1a x x x ⎡⎤-=-=-⎣⎦，
2244C 24a ==.
8．C
【解析】设切点坐标为(
)00x m
x e
+，，
x m
y e
+=， ´
x m
y e
+=，则切线方程为
()000y x m x m e e x x ++-=-，又因为切线为y x =过()00，代入得01x =，将()11，代入x m
y e +=中得1m =-，故选C . 9．D
【解析】由函数的解析式可得：， 函数在
内无极值，则
在区间
内没有实数根，
当
时，
恒成立，函数无极值，满足题意，
当时，由可得，故：，解得：，
综上可得：实数的取值范围是.
本题选择D 选项. 10．A
【解析】令f (x )=+ln x ,
则f'(x )=.
当x ∈时,f'(x )<0;
当x ∈(1,2]时,f'(x )>0.
∴f (x )在区间内单调递减,在(1,2]上单调递增,
∴在x ∈
上,f (x )min =f (1)=0,∴a ≤0,即a 的最大值为0.
选A. 11．D
【解析】由题意得:取到红球的概率3
8
P =
; 停止时共取了12次球,其中前11次红球出现9次,第12次为红球;
由二项分布公式，所以()12P x ==9
2
911353C 888⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=10
2
91135C 88⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 本题选择D 选项.
12．A 【解析】函数
可视为动点M(x,2lnx)与动点N(a,2a)之间距离的平方,动点M 在函数y=2lnx
上,动点N 在直线y=2x 上,即直线上的动点到曲线的最小距离,由y=2lnx 得,解得x=1,
所以曲线上的点(1,0)到直线y=2x 的距离最小,距离平方的最小值为,则,又存在使得
成立,则
,此时N 为垂足, ,解得a=,故选A.
13．③
【解析】推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除①，有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，与99%的可能患有肺病是两个不同概念,排除②，故填③． 14．-1
【解析】所有样本点都在直线上，说明这两个变量间完全负相关，故其相关系数为-1，故填-1． 15．
1081
【解析】 “A 队总得分为2分”为事件M ， A 队总得分为2分，即A 队三人有一人答错，
其余两人答对，其概率()2
23224
1339
P M C ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，记“B 队得1分”为事件N ，事件N
即为B 队三人2人
答
错
，
其
余
一
人
答
对
，
则
()2212212215
11133233233218
P N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
A 队得2分
B 队得一分，即事件,M N 同时发生，则()()()4510
91881
P MN P M P N ==⨯=，
故答案为
1081
. 16．
409
【解析】在一次实验中，成功的概率为225
1339
-⨯=； ξ 的分布列是二项分布，故在10次试验中，成功的次数的期望为5501099⨯
=，故答案为40
9
. 17．(Ⅰ) ()f x 的极大值
283,极小值43- (Ⅱ) ()()4
23
min f x f ==-
()()2313
max f x f =-=
【解析】试题分析： （Ⅰ）由题意求得1
3
a =
，根据导函数的符号判断出函数()f x 的单调性，结合单调性可得函数的极值情况。

（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的结论可知，函数()f x 在区间[
)1,2-上单调递减，在区间[]
2,3上单调递增，故()()2min f x f =，再根据()1f -和()3f 的大小求出()max f x 即可。

试题解析：
（Ⅰ）∵点()3,1P 在函数()f x 的图象上， ∴ ()3271242781f a a =-+=-=， 解得 1
3
a =
， ∴ ()3
1443
f x x x =
-+， ∴ ()()()2
422f x x x x =-=+-'，
当2x <-或2x >时， ()0f x '>， ()f x 单调递增； 当22x -<<时， ()0f x <， ()f x 单调递减。

∴ 当x 2=-时， ()f x 有极大值，且极大值为()()128
288433
f -=⨯-++=
， 当x 2=时， ()f x 有极小值，且极小值为()14288433
f =⨯-+=-． （Ⅱ）由（I ）可得：
函数()f x 在区间[)1,2-上单调递减，在区间[]
2,3上单调递增。

∴()min f x ()4
23
f ==-， 又()123
14433
f -=-
++=
， ()391241f =-+=， ∴()max f x ()23
13
f =-=
． 18．(1) 0x y += ;(2)详见解析;(3) 0m <
【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义进行求解；（Ⅱ）求导，利用分类讨论思想讨论导函数的符号变换，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）根据前一问直接给出答案即可.
试题解析：（Ⅰ）当1m =时，由题设知()21
x
f x x =-. 因为()()
22
2
1
1x f x x
+'=-
-，
所以()00f =， ()01f '=-.
所以()f x 在0x =处的切线方程为0x y +=.
（Ⅱ）因为()22m x f x x m =-，所以()()
22
2
2x m f x m x m '+=-- . 当0m >
时，定义域为(
(
)
,-∞⋃⋃+∞ .
且()()
22
2
2
0x m
f x m
x
m +-'=-<
故()f x
的单调递减区间为(
(
)
,,,
-∞+∞ ……5分
当0m <时，定义域为R . 当x 变化时， ()f x '， ()f x 的变化情况如下表：
故()f x 的单调递减区间为(
,-∞，
)
+∞，
单调递增区间为(． 综上所述，
当0m >时， ()f x 的单调递减区间为(
()
,,,-∞+∞；
当0m <时，故()f x 的单调递减区间为(
,-∞， )
+∞，
单调递增区间为(． （Ⅲ）0m < 19．（1）
8
19
；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）从20名学生随机选出3名的方法数为3
20C , 选出3人中任意两个均不属于同一班级的方法数，利用古典概型及其概率公式，即可求解．
(2)由X 可能的取值为0,1,2，求得随机变量X 每个值对应的概率，列出分布列，利用公式求解数学期望． 试题解析：
（1）从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为3
20C , 选出 3 人中任意两个均不属于同一班级
的方法数为111111111111464466446646C C C C C C C C C C C C +++n n n n n n n n
设 3 名学生中任意两个均不属于同一班级的事件为A
所以()1111111111114644664466463
208
19
C C C C C C C C C C C C P A C +++==n n n n n n n n (2) X 可能的取值为 0,1,2,3
()()321
1616433202057162881548
0,132019573201919C C C P X P X C C ⨯⨯⨯⨯========⨯⨯⨯⨯,
()()123164433
2020166841
2,3320199532019285
C C C P X P X C C ⨯========⨯⨯⨯⨯. 所以X 的分布列为
所以()288815730123.571995285955
E X =
⨯+⨯+⨯+⨯== 20．(1)2400;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）根据题意： 100位顾客中购物款不低于150元的顾客占30%。

得到
10b =， 20a =，每日应准备纪念品的数量大约为 60
4000100
⨯
件；（2）由（Ⅰ）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率603
1005
p ==，由二项分布得到分布列和期望. 解析：
（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于150元的顾客有2010030%b +=⨯， 10b =；
()1002030201020a =-+++=.
该商场每日应准备纪念品的数量大约为 60
40002400100
⨯
=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率603
1005
p ==， 故4人购物获得纪念品的数量服从二项分布3~4,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
()040
4
3216055625P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()13
143296155625
P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222
4
32216255625P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()31
3432216355625
P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()40
4
4
3281455625P C ξ⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ξ的分布列为：
ξ
0 1 2 3 4
P 16
625 96625 216
625 216
625 81625
ξ数学期望为312
455
E ξ=⨯=.
21．(1) 有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”(2)见解析
【解析】试题分析：（1）列出表格根据公式计算出K 2
，参考表格即可得出结论．（2）由表中
数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X 可取0，1，2，3，且X ～B （3，
）．即可得出． 解析： (Ⅰ)
联表如下：
由表中数据可得：
所以有超过 95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”
（Ⅱ）由表中数据可知，抽到获奖学生的概率为
将频率视为概率，所以可取且
期望.
方法点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.
22．(1)
11
42
ˆy x
=+；(2) 93分.
【解析】试题分析：
（1）由题意，计算平均数和回归系数，写出线性回归方程；
（2）由题意，设出该同学的物理成绩，写出物理偏差和数学偏差，利用回归方程，求出这位同学的物理成绩即可.
试题解析：
（1）由题意，
计算＝＝，
＝＝，
所以＝－＝－×＝，
所以线性回归方程为＝x＋.
(2)由题意，设该同学的物理成绩为w，则物理偏差为w－90.5，又该同学的数学偏差为126－118＝8.
由(1)中回归方程，得w－90.5＝×8＋，解得w＝93.
所以，能够预测这位同学的物理成绩为93分.。