2025届河北省石家庄市复兴中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2025届河北省石家庄市复兴中学高三第三次模拟考试数学试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，1|B x y x ⎧
⎫==⎨⎬⎩
⎭则()U A B =（ ）
A ．(1,)+∞
B ．(0,1)
C ．(0,)+∞
D ．[1,)+∞
2．复数2i
z i
=
-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．设不等式组030
x y x y +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：22
4x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的
概率为（ ） A ．
524
B ．
724
C ．
1124
D ．
1724
4．8
21x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的展开式中12
x y -的系数是（ ）
A ．160
B ．240
C ．280
D ．320
5．如图，设P 为ABC ∆内一点，且11
34
AP AB AC =
+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为
A ．1
4 B ．
13 C ．23
D ．16
6．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）
A ．
1233
BA BC + B ．
57
99
BA BC + C ．
110
99
BA BC + D ．
27
99
BA BC + 7．已知数列{}n a 中，12a =，1
1
1n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．1-
D ．2
8．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．20π
9．集合{}
2,A x x x R =>∈，{
}
2
230B x x x =-->，则A B =（ ）
A ．(3,)+∞
B ．(,1)
(3,)-∞-+∞
C ．(2,)+∞
D ．(2,3)
10．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= (
)·cos ?cos AB AC AB B
AC C
+
，
(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
12．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）
A ．
55
B ．
306
C ．
66
D ．
25
5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25,30)的一等品，在区间[20,25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.
15．在平面直角坐标系中，已知，若圆上有且仅有四个不同的点C ，使得△ABC 的面
积为5，则实数a 的取值范围是____.
16．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱111,AA D A 的中点，则直线EF 与直线1A B 所成角的正切值为_________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.
18．（12分）设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率是e ，动点()00,P x y 在椭圆C 上运
动，当2PF x ⊥轴时，001,x y e ==.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）延长12,PF PF 分别交椭圆于点,A B （,A B 不重合）.设1122,AF F P BF F P
λμ==，求λμ+的最小值. 19．（12分）已知椭圆T ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为12，直线l ：60x y +-=与以原点为圆心，以椭圆C
的短半轴长为半径的圆相切.A 为左顶点，过点()1,0G 的直线交椭圆T 于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线4x =于M ，N 两点.
（1）求椭圆T 的方程；
（2）以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由. 20．（12分）已知数列{}n a 满足：()1
2
3
1
123222212
2n
n n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+对一切n *∈N 成立.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列21n n a a +⎧⋅⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
21．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
，且1F 与短轴两端点的连线相互垂直.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若圆222
:O x y a +=上存在两点M ，N ，椭圆C 上存在两个点,P Q 满足：1,,M N F 三点共线，1,,P Q F 三点
共线，且0PQ MN ⋅=，求四边形PMQN 面积的取值范围. 22．（10分）已知函数2
()sin 2x
f x e x ax x =+--.
（1）当0a =时，判断()f x 在[
)0,+∞上的单调性并加以证明； （2）若0x ≥，()1f x ≥，求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】
{}()10,1A x x =->=-∞，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞，
()[)1,U A B ∴=+∞.
故选：D . 【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 2、B
利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【详解】 解：()()()21212222555
i i i i z i i i i +-+=
===-+--+， 则复数2i z i =
-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】
本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题. 3、B 【解析】
画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】
作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示， 因为直线0x y +=，30x -=的倾斜角分别为
34
π，6π
， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3746224
ππ
π-
=.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题. 4、C 【解析】
首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2
y 的系数，再求7
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的展开式中1x -的系数，二者相乘
【详解】
由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181r
r r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则7
12281T C x y
x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，又7
1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为727
17
71r
r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=.
故选：C 【点睛】
本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题. 5、A 【解析】
作//PD AC 交AB 于点D ，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP S ∆与ABC S ∆的比例，再由ADP S ∆与APB S ∆的比例，可得到结果. 【详解】
如图，作//PD AC 交AB 于点D ，
则AP AD DP =+，由题意，13AD AB =，1
4
DP AC =，且180ADP CAB ∠+∠=， 所以11111
||||sin ||||sin 223412
ADP
ABC S AD DP ADP AB AC CAB S ∆∆=∠=⨯⨯∠= 又13AD AB =，所以，134APB ADP ABC S S S ∆∆∆==，即
14APB ABC
S S ∆∆=， 所以本题答案为A. 【点睛】
本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 6、B 【解析】
23
PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将1
3BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA =-代入化简即
可. 【详解】
2
3PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-
2
()3BA BC BA AQ =+-+
1233BA BC =+-⨯1
3
AC 1257
()3999
BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题. 7、A 【解析】
分别代值计算可得，观察可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，问题得以解决. 【详解】
解：∵12a =，1
1
1n n a a -=-
(2n ≥)， 211122
a ∴=-
=， 3121a =-=-， 41(1)2a =--=，
511122
a =-
=， …，
∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，
201836722=⨯+， 2018212
a a ∴==
， 故选：A. 【点睛】
本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题. 8、C 【解析】
如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则
()
2
22PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.
【详解】
如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，
223BD AB =
=，故1
32
BE BD =
=，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()2
22PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==. 故选：C .
【点睛】
本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 9、A 【解析】
计算()(),13,B =-∞-+∞，再计算交集得到答案.
【详解】
{}
()()2230,13,B x x x =-->=-∞-⋃+∞，{}2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞.
故选：A . 【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题. 10、C 【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=
时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别
使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】
当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，
当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 11、B 【解析】
解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论． 【详解】
AP OP OA =-=λ（
AB AC AB cosB
AC cosC
+
⋅⋅），
∴()
...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫
⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭
， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心． 故选B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键．
12、C 【解析】
以D 为原点，DA ，DC ，DD 1 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角的正弦值． 【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则()2,1,0E ，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--， 取平面11AA D D 的法向量为()0,1,0n =，
设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ，则sinθ＝|6cos ,|6
EF n EF n EF n
⋅=
=
⋅， ∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为66
.
故选C ．
【点睛】
本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、100. 【解析】
分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数． 详解：由题意得，三等品的长度在区间[)10,15，[)15,,20和[]
35,40内， 根据频率分布直方图可得三等品的频率为()0.01250.02500.012550.25++⨯=， ∴样本中三等品的件数为4000.25100⨯=.
点睛：频率分布直方图的纵坐标为频率
组距
，因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的高视为频率时常犯的错误． 14、-3 【解析】
根据ABCD 是平行四边形可得出22
AC BD AD AB ⋅=-，然后代入AB ＝2，AD ＝1即可求出AC BD ⋅的值． 【详解】
∵AB ＝2，AD ＝1，
∴()()
AC BD AB AD BA BC ⋅=+⋅+
()()AB AD AD AB =+⋅-
22
AD AB =-
＝1﹣4 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题． 15、（
，）
【解析】
求出AB 的长度，直线方程，结合△ABC 的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可． 【详解】 解：AB 的斜率k
，|AB |
5，
设△ABC 的高为h ， 则∵△ABC 的面积为5， ∴S
|AB |h
h ＝5，
即h ＝2，
直线AB 的方程为y ﹣a
x ，即4x ﹣3y +3a ＝0
若圆x 2+y 2＝9上有且仅有四个不同的点C ， 则圆心O 到直线4x ﹣3y +3a ＝0的距离d ，
则应该满足d ＜R ﹣h ＝3﹣2＝1， 即
1，
得|3a |＜5 得
a
，
故答案为：（
，）
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和AB 的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键． 163 【解析】
由中位线定理和正方体性质得1//EF BC ，从而作出异面直线所成的角，在三角形中计算可得． 【详解】
如图，连接1AD ，1BC ，11A C ，∵,E F 分别为棱111,AA D A 的中点，∴1//EF AD ，
又正方体中1111//,AB C D AB C D =，即11ABC D 是平行四边形，∴11//AD BC ，∴1//EF BC ，11A BC ∠（或其补角）就是直线EF 与直线1A B 所成角，11A BC ∆是等边三角形，∴11A BC ∠＝60°3． 3
【点睛】
本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）3(1,2,)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n -=+=；（2）3(1)212
n
n n ++-
【解析】
试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和． 试题解析：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得 d=
=
= 1．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1n
设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则 q 1=
=
=8，∴q=2，
∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=1n+2n ﹣1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =1n+2n ﹣1， ∵数列{1n}的前n 项和为n （n+1），
数列{2n ﹣1}的前n 项和为1×= 2n ﹣1，
∴数列{bn}的前n 项和为；
考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和．
18、（1）2212x y +=；（2）23
【解析】
（1）根据题意直接计算得到1b =，2222a b c =+=，得到椭圆方程. （2）不妨设(,)P m n ，且0n >，设()()1122,,,A x y B x y ，代入 数据化简得到
[(32)1](1)0m λλ+-+=，故2
116
323294m m m
λμ+=
+=+--，得到答案. 【详解】
（1）c e a =，所以1,,1c P c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2222
11c a a b +=，化简得22
22211b c a b b
+==， 所以1b =，2
2
2
2a b c =+=，所以方程为2
212
x y +=；
（2）由题意得，P 不在x 轴上，不妨设(,)P m n ，且0n >，设()()1122,,,A x y B x y ， 所以由11AF F P λ=，得()111,(1,)x y m n λ---=+， 所以111,x m y n λλλ-=++-=，
由2
21112x y +=，得22(1)()12m n λλλ+++=，代入2
212
m n +=， 化简得：[(32)1](1)0m λλ+-+=，
由于10λ+≠，所以132m λ=+，同理可得1
32m
μ=-，
所以2
116
323294m m m λμ+=+=+--，所以当0m =时，λμ+最小为23
【点睛】
本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19、（1）22
143
x y +=；
（2）是，定点坐标为()7,0或()1,0 【解析】
（1
）根据相切得到b =
2a =，得到椭圆方程.
（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立方程得到122634
t
y y t +=-
+，
1229
34y y t =-
+，计算点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，圆的方程可化为()()244690x x y ty --++-=，得到答案.
【详解】
（1
）根据题意：b =
=
b a ==
，所以2a =， 所以椭圆T 的方程为22
143
x y +=.
（2）设直线BC 的方程为1x ty =+，点B 、C 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 把直线BC 的方程代入椭圆方程化简得到(
)
2
2
34690t y ty ++-=， 所以122634t y y t +=-
+，122
9
34
y y t =-+， 所以()2
2
1212122
412134
t x x t y y t y y t -=+++=+，1212281134x x ty ty t +=+++=+， 因为直线AB 的斜率1
12AB y k x =
+，所以直线AB 的方程
()1122
y y x x =++， 所以点M 的坐标为1164,
2y x ⎛⎫
⎪+⎝⎭，同理，点N 的坐标为2264,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，
故以MN 为直径的圆的方程为()()12126644022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫
--+--= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭
，
又因为
()()()12121212123636369
92224
36y y y y x x x x x x ⨯==-=-+++++，
()()12121212
212121212121866666223339
ty y y y y y y y t x x ty ty t y y t y y +++=+==-+++++++， 所以圆的方程可化为()()2
44690x x y ty --++-=，令0y =，则有()2
49x -=，
所以定点坐标为()7,0或()1,0. 【点睛】
本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20、（1）n a n =；（2）()()()
35412n n n S n n +=++
【解析】
（1）先通过1n =求得11a =，再由2n ≥得()123112312222222n n
n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+，和条件中的式
子作差可得答案；
（2）变形可得2111122n n a a n n +⎛⎫
=- ⎪⋅+⎝⎭
，通过裂项求和法可得答案.
【详解】 （1）
()12311232222122n n n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+①，
∴当1n =时，1122a ⋅=，
11a ∴=，
当2n ≥时，()1231
12312222
222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+②，
①-②得：22n n
n a n ⋅=⋅，
n a n ∴=，
适合11a =， 故n a n =；
（2）()211111222n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪⋅++⎝⎭，
11111111
121324352n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=
-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
111112212n n ⎛⎫
=
+-- ⎪++⎝⎭
()
()()
35412n n n n +=
++.
【点睛】
本题考查n S 法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.
21、（1）2
212
x y +=；（2
）
【解析】
（1
）又题意知，a =
，a =及222a b c =+即可求得a b c 、、，从而得椭圆方程.
（2）分三种情况：直线MN 斜率不存在时，MN 的斜率为0时，MN 的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可. 【详解】
（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，b c =，
∵过点1F 且与x .22b
a
∴=
又222a b c =+，解得1a b c ===.
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=
（2）由（1）可知圆O 的方程为22
2x y +=，
（i ）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，
此时||2,||PMQN MN PQ S ===四边形
（ii ）当直线MN 的斜率为零时，|||2PMQN MN PQ S ===四边形.
（iii ）当直线MN 的斜率存在且不等于零时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，
联立22
2x y +=，得2222
(1)220(0)k x k x k +-+-=∆>，
设,M N 的横坐标分别为,M N x x ，则2222
22
,11M N M N k k x x x x k k
-+=⋅=++.
所以||M N MN x =-=
，
（注：||MN 的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.） 由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为1
(1)(0)y x k k
=-
-≠，联立椭圆C 的方程消去y ， 得2
2
2
(2)4220(0)k x x k +-+-=∆>
设,P Q 的横坐标为,P Q x x ，则2
22
422,22p p Q Q k
x x x x k k
-+=⋅=++.
22
)
||2k PQ k +∴==+
1||||2PMQN S MN PQ ===四边形
2110,1222PMQN S k <
<<<∴<<+四边形.
综上，由（i ）（ii ）（ⅲ）得PMQN S 四边形的取值范围是.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用a b c 、、的关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方程建立方程组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数解析式，运用函数知识求解；本题是难题.
22、（1）()f x 在[
)0,+∞为增函数；证明见解析（2）12
a ≤ 【解析】
（1）令()()cos 2x
g x f x e x '==+-，求出()g x '，可推得()0g x ≥，故()f x 在[)0,+∞为增函数； （2）令()()g x f x '=，则()e sin 2x
g x x a '=--，由此利用分类讨论思想和导数性质求出实数a 的取值范围.
【详解】
（1）当0a =时，()cos 2x
f x e x '=+-.
记()()g x f x '=，则()sin x
g x e x '=-，
当0x ≥时，1x e ≥，1sin 1x -≤≤.
所以()e sin 0x
g x x '=-≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，所以()(0)0g x g ≥=.
因为()()g x f x '=，所以()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞为增函数.
（2）由题意，得()cos 22x f x e x ax '=+--，记()()g x f x '=，则()e sin 2x
g x x a '=--，
令()()h
x g x '=，则()cos x h x e x '=-， 当0x ≥时，e 1x ≥，c o s 1
x ≤，所以()cos 0x
h x e x '=-≥， 所以()h x 在[)0,+∞为增函数，即()sin 2x
g x e x a '=--在[)0,+∞单调递增，
所以0
()(0)e sin 0212g x g a a ''≥=--=-. ①当120a -≥，12
a ≤
，()0g x '≥恒成立，所以()g x 为增函数，即()f x '
在[)0,+∞单调递增， 又(0)0f '=，所以()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞为增函数，所以()(0)1f x f ≥=
所以1
2a ≤
满足题意. ②当1
2
a >，(0)120g a '=-<，令()e 1x u x x =--，0x >，
因为0x >，所以()e 10x
u x '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增， 故()(0)0u x u >=，即1x e x >+.
故2(2)e sin 2221sin 220a g a a a a a a '=-->+--≥， 又()sin 2x
g x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，
由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=， 当(0,)x m ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '
单调递减，
所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数， 所以()(0)1f x f <=，不合题意，应舍去. 综上所述，a 的取值范围是12
a ≤. 【点睛】
本题主要考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点及不等式恒成立等问题，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力，属于难题.。