人教版数学八年级下册18

18.2 特殊的平行四边形
前事不忘，后事之师。

《战国策·赵策》
圣哲学校蔡雨欣
18.2.2 菱形
第1课时菱形的性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
了解菱形的有关概念，理解并掌握菱形的有关性质．
【过程与方法】
经过探索菱形的性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．
【情感态度与价值观】
经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。

二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握菱形的性质．
【教学难点】
用菱形的性质解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P55～P56的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)菱形的性质
1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．
3．菱形的四条边都相等．
4．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
5．菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？
(2)有哪些特殊的三角形？
解：(1)相等的线段：AB＝CD＝AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD.
相等的角：∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠CDA，
∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8.
(2)等腰三角形：△ABC、△DBC、△ACD、△ABD，
直角三角形：Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA.
(二)菱形的面积
阅读、理解、归纳总结教材P56内容及例3，证明菱形的面
积＝对角线的乘积的一半．
已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
求证：S菱形ABCD＝1
2 BD·AC.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S△ABD＝1
2 BD·AO，
S△BCD＝1
2BD·OC，∴S菱形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝
1
2
BDAC.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知菱形ABCD的周长为12，∠A＝60°，则BD的长为________．
【互动探索】(引发学生思考)由菱形ABCD的周长→得菱形的边长．由菱形的性质及∠A＝60°→BD＝AB.
【分析】∵菱形ABCD的周长为12，
∴菱形ABCD的边长为12÷4＝3.
∵∠A＝60°，AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∴BD＝3.
【答案】3
【互动总】(学生总结，老师点评)菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，且四条边都相等是菱形特有的性质，该性质经常用来构造等腰三角形解题．
【例2】如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC ＝8，BD＝6，求菱形的周长．
【互动探索】(引发学生思考)由菱形的性质，AC＝8，BD＝6→得到直角三角形△AOD→菱形的边长→菱形的周．
【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，AD＝DC＝BC＝AB，
∴∠AOD＝0°.
又∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝OC＝4，BO＝OD＝3.
∴AD＝AO2＋OD2＝42＋32＝5，
∴菱形ABCD的周长为5×4＝20.
【互动总结】(学生总结，老师点评)菱形的对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等直角三角形，所以菱形有关计算问题常转化到直角三角形中求解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( B )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
2．如图，在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，则菱形的边长为10.
3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为23cm2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O 在原点，点C的坐标为(4,0)，点B的纵坐标是－1，求顶点A的坐标．
【互动探索】观察发现OC为一条对角线，连结AB能得另一条对角线．要确定点A的坐标，需要确定横坐标和纵坐标．【解答】如图，连结AB交OC于点D.
∵四边形OACB是菱形，
∴AB⊥OC，OD＝CD，AD＝BD.
∵点C的坐标是(4,0)，点B的纵坐标是－1，
∴OC＝4，BD＝AD＝1，
∴OD＝CD＝2，
∴点A的坐标为(2,1)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)菱形的对角线互相垂直，在平面坐标系问题中，如果其中一条对角线在坐标轴上，作出另一条对角线，那么它与坐标轴垂直，这为我们求点的坐标提供了重要条件．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
菱形的性质
⎩
⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 菱形的定义菱形的性质⎩⎪⎨⎪⎧ 菱形具有平行四边形的一切性质菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直，并且每一条 对角线平分一组对角
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 菱形的判定
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握菱形的判定方法．
【过程与方法】 经历探究菱形的判定方法的过程，使学生能应用菱形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分
析能力．
【情感态度与价值观】
鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性。

二、重难点目标
【教学重点】
菱形的两个判定方法．
【教学难点】
能用菱形的性质与判定方法解决相关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P57～P58的内容，完成下面练习．【3 min反馈】
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3．四条边相等的四边形是菱形．
4．判断下列说法是否正确：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形．()
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形．()
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形．()
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．()
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
【例1】求证：四条边都相等的四边形是菱形．
【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→证四边形为平行四边形→根据菱形的定义证明平行四边形为菱形．【解答】已知：四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.
求证：四边形ABCD为菱形．
证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明四边形是菱形，一般可以先证这个四边形是平行四边形．
【例2】下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分
B．AB＝BC＝CD＝DA
C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD
D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD
【互动探索】(引发学生思考)迄今学过的菱形判定方法有哪
些？
【分析】
选
项
分析
A
∵AC与BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故正确，不符合题意
B
∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD为菱形，故正确，不符合题意
C
AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故错误，符合题意
D
∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故正确，不符合题意
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评) 菱形的判定方法有多种，可以从边、对角线、对角等多角度进行判断．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在□ABCD中，添加下列条件不能判定□ABCD是菱形的是( D )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．BD平分∠ABC D．AC＝BD
2．如图所示，在□□ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若
OE ＝3，则□ABCD 的周长是24.
3．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是E 、F ，并且DE ＝DF .求证：
(1)△ADE ≌△CDF ；
(2)四边形ABCD 是菱形．
证明：(1)∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C .∵在△AED 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠AED ＝∠CFD ，∠A ＝∠C ，
DE ＝DF ， ∴△AED ≌△CFD (AAS)．
(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AD ＝CD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，EF 垂直平分AD 交AB 于点E ，交AC 于点F .求证：四边形AEDF 是菱形．
【互动探索】要证明四边形AEDF 是菱形，结合已知条件“EF 垂直平分AD 交AB 于点E ”，因此需先证明四边形AEDF 是平行四
边形，从而可证得结论．
【证明】∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD ＝∠CAD .
又∵EF ⊥AD ，
∴∠AOE ＝∠AOF ＝90°.
∵在△AEO 和△AFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠EAO ＝∠FAO ，AO ＝AO ，
∠AOE ＝∠AOF ，
∴△AEO ≌△AFO (ASA)，
∴EO ＝FO .
∵EF 垂直平分AD ，
∴EF 、AD 相互平分，
∴四边形AEDF 是平行四边形，
又EF ⊥AD .
∴平行四边形AEDF 为菱形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在几何题中，如果垂直平分线段恰为四边形的对角线，那么适宜考虑先证这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直得菱形．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应训练！
【素材积累】
指豁出性命，进行激烈的搏斗。

比喻尽最大的力量，极度的努力，去实现自己的目标。

逆水行舟，不进则退。

人生能有几回搏，此时不搏何时搏。

——容国团 .生当作人杰，死亦为鬼雄。

——李清照贝多芬拼搏成长大作曲家贝多芬小时候由于家庭贫困没能上学，十七岁时患了伤寒和天花之后，肺病、关节炎、黄热病、结膜炎等又接踵而至，二十六岁不幸失去了听觉，爱情上也屡遭挫折，在这种境遇下，贝多芬发誓“要扼住生命的咽喉”。

在与生命的顽强拼搏中，他的意志占了上风，在乐曲创作事业上，他的生命之火燃烧得越来越旺盛了。