中考专题复习第39课时 操作探究型问题

第39课时┃ 操作探究型问题
∴∠DAQ＝∠DAB， ∴∠ADQ＝∠DAQ， ∴AQ＝DQ. 在 Rt△CPQ 中，PQ＝5x， ∵PD＝PC＝3x，∴DQ＝2x. ∵AQ＝12－4x， ∴12－4x＝2x，解得 x＝2. ∴CP＝3x＝6. (3)当点 E 落在 AB 上时，如图②：
第39课时┃ 操作探究型问题
第39课时┃ 操作探究型问题
解答折叠问题的一般思路：分清折叠前后的对应边、对应角 、对称轴，利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找 相等的线段或角，进行相关的计算或证明．
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探究2
平移旋转操作探究问题
例 2 [2015· 南 通 ] 如 图 39 － 2 ， 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点 P、 Q 分别在 BC、 AC 上， CP＝3x， CQ＝4x(0＜x＜3)． 把 △PCQ 绕 P 旋转，得到△PDE，点 D 落在 PQ 上． (1)求证：PQ∥AB； (2)若点 D 在∠BAC 的平分线上， 求 CP 的长； (3)若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为 T，且 12≤T≤16，求 x 的取值范围．
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解：(1)在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2－BC2＝12. ∵CP＝3x，CQ＝4x，BC＝9， ∴CP∶CB＝CQ∶CA. ∴PQ∥AB.
(2)如图①，连接 AD，延长 AD 交 BC 于点 M，则 AM 平分 ∠BAC. ∵PQ∥AB，∴∠ADQ＝∠DAB. ∵点 D 在∠BAC 的平分线上，
∵PQ∥AB，∴∠DPE＝∠PEB. ∵∠CPQ＝∠DPE，∠CPQ＝∠B， ∴∠B＝∠PEB，∴PB＝PE＝5x， 9 ∴3x＋5x＝9，解得 x＝ . 8 以下分两种情况讨论： 9 ①当 0＜x≤ 时，T＝PD＋DE＋PE＝3x＋4x＋5x＝12x.此 8 27 时，0＜T≤ . 2 9 ②当 ＜x＜3 时，设 PE 交 AB 于点 G，DE 交 AB 于点 F. 8
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1 1 1 则 (AB＋BQ)d＝ (CQ＋CD)d＝ (a＋b)d， 2 2 2 ∴S 四边形 ABQP＝S 四边形 CDPQ， ∴当 BQ＝b 时，直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两 部分.
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(1) 如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部 分？利用两条直线如何把一个圆分成四个面积相等的部分 呢？利用了圆的什么性质？ (2) 利用两条直线如何把一个正方形分成四个面积相等 的部分呢？利用了正方形的什么性质？如果正方形内有一点 M，要求其中一条直线必须过点 M，如何分割呢？ (3)把正方形改为菱形呢？
第39课时┃ 操作探究型问题
此类问题通过平移、旋转等动态过程创建了一个探究问 题的情景和一个思维空间．解答中常常需要分类讨论、自主 探究、叙述推理．关键是掌握好平移前后，旋转前后的图形 是全等形．平移前后，每一个点移动的方向相同、距离相等； 旋转前后图形上每一个点的旋转角度都相同．
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图 39－1
第39课时┃ 操作探究型问题
解：(1)图①中，将矩形 ABCD 沿 DE 折叠，使顶点 A 落在 DC 上的点 A′处， 可得四边形 AEA′D 为正方形， 所以 AE＝A′E＝BC. 由图②中的折叠可得△AEF≌△GEF，△CBE≌△CHE，所以 EG ＝AE＝A′E＝BC＝CH. (2)由(1)可得四边形 AEA′D 为正方形，且△AEF≌△GEF，所 以△DGF 为等腰直角三角形，AF＝FG＝ 2.由勾股定理得 DF＝ 2 FG＝2，因此 AD＝AF＋DF＝2＋ 2. 由(1)可得四边形 AEA′D 为正方形，且△AEF≌△GEF，△CBE ≌△CHE，可得 BE＝AF＝ 2，AE＝AD＝2＋ 2，所以 AB＝AE＋BE ＝2＋ 2＋ 2＝2＋2 2.
第39课时┃ 操作探究型问题
∵BE 綊 CF，BE＝BC＝a＋b， ∴四边形 EBCF 是菱形． 连接 BF 交 AD 于点 M，则△MAB≌△MDF. ∴AM＝DM， ∴P、M 两点重合， ∴P 点是菱形 EBCF 对角线的交点． 在 BC 上截取 BQ＝CD＝b，则 CQ＝AB＝a. 设点 P 到菱形 EBCF 一边的距离为 d，
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平行四边形、矩形、菱形都是中心对称图形．过对称中心的每 一条直线都把这些图形分成两个全等的图形．
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探究1
折叠剪拼操作探究型问题
例 1 [2015·衢州] 如图 39－1①， 将矩形 ABCD 沿 DE 折叠， 使顶点 A 落在 DC 上的点 A′处，然后将矩形展平，沿 EF 折叠， 使顶点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处，再将矩形 ABCD 沿 CE 折叠， 此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处，如图②. (1)求证：EG＝CH； (2)已知 AF＝ 2，求 AD 和 AB 的长．
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图 39－3
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解：(1)如图所示．
(2)如图，连接 AC、BD 相交于点 O，作直线 OM 分别交 AD、 BC 于 P、Q 两点，过点 O 作 OM 的垂线分别交 AB、CD 于 E、F 两点， 则直线 OM、 EF 将正方形 ABCD 的面积四等分．理由如下：
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∵点 O 是正方形 ABCD 的对称中心， ∴AP＝CQ，EB＝DF. 在△AOP 和△EOB 中， ∵∠AOP＝90°－∠AOE，∠BOE＝90°－∠AOE， ∴∠AOP＝∠BOE. ∵OA＝OB，∠OAP＝∠EBO＝45°， ∴△AOP≌△BOE， ∴AP＝BE＝DF＝CQ， ∴AE＝BQ＝CF＝PD. 设点 O 到正方形 ABCD 一边的距离为 d，
第39课时┃ 操作探究型问题
(1)Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，你能求出 AC 的长吗？怎么求？根据 CP＝3x，CQ＝4x 以及 CA、CB 的长度， CP∶CB 与 CQ∶CA 相等吗？据此能说明 PQ∥AB 吗？ (2)当点 D 在∠BAC 的平分线上时，根据 PQ∥AB，能得到 AQ＝ DQ 吗？如果 AQ＝DQ，你能否列出一个关于 x 的方程并求出 x，进 而求出 CP 的长？ (3)若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为 T，需要分△PDE 在△ABC 内部和△PDE 不完全在△ABC 内部两种情况讨论．
第39课时┃ 操作探究型问题
(1)①图①中将矩形 ABCD 沿 DE 折叠，使顶点 A 落在 DC 上的点 A′处，得到的四边形 AEA′D 是什么四边形？②翻折 变换有什么性质？根据这些性质能得到 EG＝CH 吗？ (2)根据(1)，你觉得△DGF 为什么样的三角形？根据三角 形的特征，你能求出 DF、FG 的长吗？
初三中考复习39
初三数学组
第39课时 操作探究型问题
第39课时┃ 操作探究型问题
操作探究型问题是通过动手测量、作图(像)、取值、计算等 试验，猜想获得数学结论的研究性活动，这类活动完全模拟
以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、
合理猜想和验证．常见类型：(1)操作设计问题；(2)图形剪 拼；(3)操作探究；(4)数学建模．解题策略：运用观察，操 作，联想，推理，概括等多种方法．
第39课时┃ 操作探究型问题
1 1 1 1 则 (AP＋AE)d＝ (BE＋BQ)d＝ (CQ＋CF)d＝ (PD＋DF)d. 2 2 2 2 ∴S 四边形 APOE＝S 四边形 BEOQ＝S 四边形 CQOF＝S 四边形 FOPD， ∴直线 OM、EF 将正方形 ABCD 的面积四等分． (3)存在．当 BQ＝CD＝b 时，PQ 所在直线将四边形 ABCD 的面 积二等分． 理由如下： 如图，延长 BA 到点 E，使 AE＝b，延长 CD 到点 F，使 DF＝a， 连接 EF.
探究339－3①中作出两条直线，使它们将圆面四等分； (2)如图②，M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图②中作出两 条直线(要求其中一条直线必须过点 M)， 使它们将正方形 ABCD 的 面积四等分，并说明理由． 问题解决 (3)如图③，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，P 是 AD 的中点，如果 AB＝a，CD＝b，且 b＞a，那么在边 BC 上是否存 在一点 Q，使 PQ 所在直线将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部 分？若存在，求出 BQ 的长；若不存在，说明理由．
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如图③，作 GH⊥PQ，垂足为 H.
∴HG＝DF，FG＝DH，Rt△PHG∽Rt△PDE， GH PG PH ∴ ＝ ＝ . ED PE PD ∵PG＝PB＝9－3x， GH 9－3x PH ∴ ＝ ＝ ， 4x 5x 3x
第39课时┃ 操作探究型问题
4 3 ∴GH＝ (9－3x)，PH＝ (9－3x)， 5 5 3 ∴FG＝DH＝PD－PH＝3x－ (9－3x)， 5 4 3 12 54 ∴T＝PG＋PD＋DF＋FG＝(9－3x)＋3x＋ (9－3x)＋[3x－ (9－3x)]＝ x＋ . 5 5 5 5 27 此时， ＜T＜18. 2 ∴当 0＜x＜3 时，T 随 x 的增大而增大． ∴T＝12 时，即 12x＝12，解得 x＝1； T＝16 时， 12 54 13 即 x＋ ＝16，解得 x＝ . 5 5 6 ∵12≤T≤16， 13 ∴x 的取值范围是 1≤x≤ . 6