高考数学 考点突破——直线与圆：直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率、直线的方程
【考点梳理】
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式
(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α.
(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
. 3．直线方程的五种形式
考点一、直线的倾斜角和斜率
【例1】(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，2π3
(2)若直线l 过点P (－3，2)，且与以A (－2，－3)，B (3，0)为端点的线段相交，则直线l
的斜率的取值范围是________．
[答案] (1) B (2) ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13
[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1，3].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].
又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π3. (2)因为P (－3，2)，A (－2，－3)，B (3，0)，则k PA ＝
－3－2
－2－－
＝－5，
k PB ＝
0－23－－＝－13
.
如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13.
【类题通法】
1．(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R .
(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．第(2)问求解要注意两点： (1)斜率公式的正确计算；
(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k ≤－5或k ≥－1
3.
【对点训练】
1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π)
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π
C ．⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4
D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫π2，π [答案] B
[解析] 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π
4
≤θ<π，故选B.
2．直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.
[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞)
[解析] 法一 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).
当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].
故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).
法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0， 即(k －1)(k ＋3)≥0， 解得k ≥1或k ≤－ 3.
即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞).
考点二、求直线的方程
【例2】(1)已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )
A ．4x －3y －3＝0
B ．3x －4y －3＝0
C ．3x －4y －4＝0
D ．4x －3y －4＝0
(2)若A (1，－2)，B (5，6)，直线l 经过AB 的中点M 且在两坐标轴上的截距相等，则直线
l 的方程是 ．
[答案] (1) D (2) 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0
[解析] (1)由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝1
2，
所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α
＝2×
12
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝4
3(x －1)，
即4x －3y －4＝0.
(2)法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3，2).
若a ＝0，即l 过点(0，0)和(3，2)， 所以直线l 的方程为y ＝2
3x ，即2x －3y ＝0.
若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a
＝1， 因为直线l 过点M (3，2)，所以3a ＋2
a
＝1，
所以a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y
5＝1，即x ＋y －5＝0.
综上，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.
法二：易知M (3，2)，由题意知所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3).
令y ＝0，得x ＝3－2
k
；令x ＝0，得y ＝2－3k .
所以3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝2
3
.
所以直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝2
3(x －3)，
即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. 【类题通法】
1．截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．
2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要． 【对点训练】
1．过点A (－1，－3)且倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍的直线方程是 ． [答案] 3x ＋4y ＋15＝0
[解析] 由已知设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，
∴tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，
因此所求直线方程为y ＋3＝－3
4
(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.
2．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________. [答案] 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 [解析] 若直线过原点，则k ＝－4
3，
所以y ＝－4
3
x ，即4x ＋3y ＝0.
若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a
＝1， 即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.
考点三、直线方程的综合应用
【例3】已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求
S 的最小值并求此时直线l 的方程.
[解析] (1)直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，
令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.
∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1). (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－
1＋2k
k
，在y 轴上的截距为1＋2k ，要
使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，
解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞).
(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫－1＋2k k
，0，B (0，1＋2k ).
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，
1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |
＝12·（1＋2k ）2
k ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4
≥1
2
×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝1
2
，
∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 【类题通法】
1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.
2．求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. 【对点训练】
1．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________. [答案] (2，－2)
[解析] 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2).
2．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] C
[解析] 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－C B
>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.
3．已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.
[解析] 法一 设直线方程为x a ＋y b
＝1(a ＞0，b ＞0)， 点P (3，2)代入得3a ＋2
b ＝1≥2
6
ab
，得ab ≥24，
从而S △ABO ＝1
2
ab ≥12，
当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－2
3，
从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0. 法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)，
且有A ⎝
⎛⎭
⎪⎫3－2k
，0，B (0，2－3k )，
∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭
⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡
⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4（－k ）≥12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12＋2
（－9k ）·4（－k ）
＝1
2×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝
4－k ，即k ＝－2
3
时，等号成立， 即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.。