高中数学人教A版选修12课时跟踪检测：(九) 复数代数形式的加减运算及其几何意义 Word版含解析.doc

课时跟踪检测（九） 复数代数形式的加减运算及其几何意义
层级一 学业水平达标
1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( )
A ．z －1
B ．z ＋1
C ．－10＋18i
D ．10－18i
解析：选C 1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.
2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )
A ．－ 2
B ．4
C ．3
D ．－4
解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.
3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．
4．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－1
解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.
5．设向量OP ――→，PQ ――→，OQ ――→对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )
A ．z 1＋z 2＋z 3＝0
B ．z 1－z 2－z 3＝0
C ．z 1－z 2＋z 3＝0
D ．z 1＋z 2－z 3＝0
解析：选D ∵OP ――→＋PQ ――→＝OQ ――→，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0.
6．已知x ∈R ，y ∈R ，(x i ＋x )＋(y i ＋4)＝(y －i)－(1－3x i)，则x ＝__________，y ＝__________.
解析：x ＋4＋(x ＋y )i ＝(y －1)＋(3x －1)i
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4＝y －1，x ＋y ＝3x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6，y ＝11. 答案：6 11
7．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝
32＋42＝5.
答案：5
8．已知z 1＝
32
a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33
b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________. 解析：∵z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， 由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.∴a ＋b ＝3. 答案：3
9．计算下列各式．
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．
解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i ＝1 008－1 009i.
10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.
解：∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，
∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝8， ∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，
∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
层级二 应试能力达标
1．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )
A ．0
B ．1 C.22 D.12
解析：选C 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离即为22
. 2．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量Z 1Z 2――→对应的复数
为( )
A ．3＋4i
B ．5－2i
C ．－2＋6i
D ．2－6i
解析：选D Z 1Z 2――→＝OZ 2――→－OZ 1――→，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－ (3
＋4i)＝2－6i.
3．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．
4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA ――→，OB ――→对应
的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD ――→对应的复数是( )
A ．2＋4i
B ．－2＋4i
C ．－4＋2i
D ．4－2i
解析：选D 依题意有CD ――→＝BA ――→＝OA ――→－OB ――→.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，故
CD ――→对应的复数为4－2i ，故选D.
5．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.
解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|z |＝
x 2＋y 2. ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i.
∴⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝34，y ＝1.∴z ＝34＋i. 答案：34
＋i 6．在复平面内，O 是原点，OA ――→，OC ――→，AB ――→对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋
5i ，那么BC ――→对应的复数为________．
解析：BC ――→＝OC ――→－OB ――→＝OC ――→－(OA ――→＋AB ――→)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋
2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.
答案：4－4i
7．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.
(1)求向量AB ――→，AC ――→，BC ――→对应的复数；
(2)判断△ABC 的形状．
(3)求△ABC 的面积．
解：(1)AB ――→对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，
BC ――→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，
AC ――→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.
(2)∵|AB ――→|＝2，|BC ――→|＝10，|AC ――→|＝8＝22，
∴|AB ――→|2＋|AC ――→|2＝|BC ――→|2，∴△ABC 为直角三角形．
(3)S △ABC ＝12×2×22＝2.
8．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 的值和|z －ω|的取值范围．
解：∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，∴6a ＋2b i ＝33＋i ，
∴⎩⎨⎧ 6a ＝33，2b ＝1，∴⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12.∴z ＝32＋12
i ， ∴z －ω＝⎝⎛⎭⎫32＋12i －(sin θ－icos θ) ＝⎝⎛⎭⎫32－sin θ＋⎝⎛⎭⎫12
＋cos θi ∴|z －ω|＝ ⎝⎛⎭⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎫12＋cos θ2 ＝
2－3sin θ＋cos θ ＝ 2－2⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ＝ 2－2sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π6， ∵－1≤sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π6≤1， ∴0≤2－2sin ⎝⎛⎭
⎫θ－π6≤4，∴0≤|z －ω|≤2， 故所求得z ＝
32＋12i ，|z －ω|的取值范围是[0,2]．。