新高三-(交大附中)2021年重点高中摸底考数学仿真模拟卷(上海专用)(一)(解析版)

（交大附中）2021年重点高中摸底考数学仿真模拟卷（上海
专用）（一）
考试范围：入学摸底；考试时间：120分钟
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题(共46分)
1．(本题4分)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________． 【答案】25
【分析】
用列举法列举出所有可能的情况，利用古典概型概率计算公式求得所求的概率. 【详解】
1,2,3,4,5,6这两个数字，任选两个可能的组合如下：()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，
()()()()()2,3,2,4,2,5,2,6,3,4，()()()()()3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，共15种，其中和
为偶数的有()()1,3,1,5，()()2,4,2,6，()()3,5,4,6，共6种，故和为偶数的概率是
62155
=. 【点睛】
本小题主要考查古典概型概率计算，考查列举法，属于基础题. 2．(本题4分)复数1z 2i
i
+=
-（i 为虚数单位）的实部为______. 【答案】
15
【分析】
由复数除法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】
由已知1z 2i i +=
-2(1)(2)2213(2)(2)
555i i i i i i i i +++++===+-+，其实部为1
5． 故答案为：1
5
． 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查复数的概念，属于基础题．
2
3．(本题4分)已知集合{|12}A x x =-≤≤，{|1}B x x =>，则A B =_____．
【答案】{|12}x x <≤ 【分析】 直接求A B 即可.
【详解】 由题知{|12}A
B x x =<≤．
故答案为：{|12}x x <≤ 【点睛】
本题主要考查集合的交集运算，属于简单题.
4．(本题4分)已知一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，则这组数据的方差是______. 【答案】2 【分析】
由一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8，先求出m =10，由此能求出这组数据的方差. 【详解】
∵一组数据6，7，8，9，m 的平均数是8， ∵1(6789)85
m ++++=，解得m =10， ∵这组数据的方差S 2=1
5
[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2. 故答案为：2 【点睛】
本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用.
5．(本题4分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________
【答案】
163
【分析】
根据几何体的三视图，得出该几何体，结合图中数据求出它的体积． 【详解】
根据几何体的三视图，还原该几何体，过A ，B 两点在平面ABCD 内分别引AG∵CD 于G,BH∵CD 于H,
则该几何体的体积为111
2222221232
AEG BFH D AEG C BFH V V V ---++=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯ 16
3
=
， 故答案为
163
【点睛】
求解空间几何体体积的常用策略：
（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；
（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；
（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.
（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何体的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题. 6．(本题4分)已知1x >，则函数4
311
y x x =++-的最小值是_________________.
【答案】4+【分析】
变形后，利用基本不等式可得结果. 【详解】
因为1x >，所以10x ->，
4
4311y x x =+
+-43(1)41x x =-++
-44≥=，
当且仅当13
x =+
时，等号成立. 所以函数4
311
y x x =+
+-
的最小值是4+.
故答案为：4+ 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
7．(本题4分)设函数)2((2)
(){10(2)ln x a e x f x x
a x x
-+≤=++> (e 是自然对数的底数),若()2f 是函数()f x 的最小值，则a 的取值范围为________. 【答案】[2,6] 【解析】
当2x ≤时，x a < 时函数单调递减，若()2f 是函数的最小值，所以2a ≥ ，当2x >时，()()
2
ln 1
0ln x f x x -'=
=时，x e = ，()2,e 0f
x
函数单调递减，(),e +∞
0f x
函数单调递增，当x e =时取得极小值()10f e e a =++ ，若()2f 是函数
的最小值，需满足()2
102e a a e ++≥-+ ，解得：16a -≤≤ ，又因为2a ≥，故
26a ≤≤，故填：2,6 .
【点睛】分段函数的考查是高考的热点，本题考查了分段函数的一些性质，求分段函数的最小值，分别求两段函数的最小值然后再比较，根据分段函数的单调性求参数取值，两段函数需分别满足函数的单调性，分界点处也需满足单调性，具备这两点才能正确求出参数取值.
8．(本题4分)函数()3sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象为C ，
以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112
π
=
x 对称； ①图象C 关于点2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称； ①函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
内是增函数； ①由3sin 2y x =的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C . 【答案】∵∵∵ 【分析】
利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】
由题：()3sin 23x f x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，令2,3
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，5,122
k x k Z ππ=
+∈， 当1k =时，1112
π
=
x 即函数的一条对称轴，所以∵正确； 令2,3x k k Z ππ-=∈，,62k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23
x π
=，
所以2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数的一个对称中心，所以∵正确； 当5,1212x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
内是增函数，所以
∵正确；
3sin 2y x =的图象向右平移
3π个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，与函数()3sin 23x f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭不相等，所以∵错误.
故答案为：∵∵∵ 【点睛】
此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调
6 区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.
9．(本题4分)已知数列{}n a 中，11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则1299
a a a ++
+的值为 _____． 【答案】1275 【分析】
根据递推关系式可求得2211n n a a n ++=+，从而利用并项求和的方法将所求的和转化为
()()()12345989912350a a a a a a a +++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+，利用等差数列求和公
式求得结果. 【详解】
由211n n a a +=+得：211n n a a +=- 则2121n n a n a +-=-，即2211n n a a n ++=+
()()()129912345989912350
a a a a a a a a a a ∴++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+()
5015012752
⨯+=
=
本题正确结果：1275 【点睛】
本题考查并项求和法、等差数列求和公式的应用，关键是能够利用递推关系式得到数列相邻两项之间的关系，从而采用并项的方式来进行求解.
10．(本题5分)定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}
n f a 仍是等比数列，则()f x 称为“保等比数列函数”.现有定义在
()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数：①()3f x x =；①()x f x e =；①(
)f x =
①
()2log f x x =.
则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为______. 【答案】∵∵ 【分析】
根据新定义“保等比数列函数”.结合等比数列的定义，逐个判断四个函数，即可得到结论. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则
1
n n
a q a +=， 对于∵，()3
f x x =，因为
1()()n n f a f a +3
331
13()n n n n
a a q a a ++===，即(){}n f a 仍为等比数列，所以()3
f x x =为“保等比数列函数”；
对于∵，()x
f x e =，因为1()()n n f a f a +1
1n n n n a a a a e e e
++-==不为常数，所以(){}n f a 不为等比
数列，所以()x
f x e =不为“保等比数列函数”；
对于∵，(
)f x =
因为1()()n n f a f a
+===所以(){}n f a 仍为等比数列，所以(
)f x =
“保等比数列函数”；
对于∵，()2log f x x =，因为
1()
()n n f a f a +21222222log ||log ||log ||log ||
1log ||log ||log ||
n n n n n a a q q a a a ++=
==+不为常数，所以(){}n f a 不为等比
数列，所以()2log f x x =不为“保等比数列函数”. 故答案为：∵∵ 【点睛】
本题考查了对新定义的理解能力，考查了等比数列的定义，属于基础题.
11．(本题5分)在四棱锥P ABCD -中，PAB
是边长为ABCD 为矩形，2AD =
，PC PD ==若四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的球面上，则
球O 的表面积为_____． 【答案】28π 【分析】
做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由已知条件可求出
3,PF PG ==运用余弦定理可求120PFG ∠=，从而在平面PFG 中建立坐标
系，则 ,,P F G 以及PAD ∆的外接圆圆心为1O 和长方形ABCD 的外接圆圆心为 2O 在该平面坐标系的坐标可求，通过球心O 满足12,OO PF OO FG ⊥⊥，即可求出 O 的坐标，从而可求球的半径，进而能求出球的表面积.
8
【详解】
解：如图做AD 中点F ，BC 的中点G ，连接,,PF PG FG ，由题意知
,PF AD PG BC ⊥⊥
，则sin 603,PF PG ====设PAB ∆的外接圆圆心为1O ，则1O 在直线 PF 上且123
PO PF =
设长方形ABCD 的外接圆圆心为2O ，则2O 在 FG 上且22FO GO =.设外接球的球心为O
在PFG ∆ 中，由余弦定理可知2232191
cos 2322
PFG +-∠==-⨯⨯， 120PFG ∴∠=.
在平面PFG 中，以F 为坐标原点，以FG 所在直线为x 轴，以过F 点垂直于 x 轴的直
线为y 轴，如图建立坐标系，由题意知，O 在平面PFG 中且12,OO PF OO FG ⊥⊥
设()1,O y ，
则113,,2222O P ⎛⎛⎫
-- ⎪⎝⎭⎝⎭，
因为 1OO PF ⊥，
所以2213122
y -
=+
解得y =
则2PO ==
所以球的表面积为2
428ππ⨯=⎝⎭
.
故答案为: 28π.
【点睛】
本题考查了几何体外接球的问题，考查了球的表面积.关于几何体的外接球的做题思路有：一是通过将几何体补充到长方体中，将几何体的外接球等同于长方体的外接球，求出体对角线即为直径，但这种方法适用性较差；二是通过球的球心与各面外接圆圆心的连线与该平面垂直，设半径列方程求解；三是通过空间、平面坐标系进行求解.
二、单选题(共20分)
12．(本题5分)下列各式中，表示y 是x 的函数的有（ ） ①(3)y x x =--；
①y =；
①1,0
1,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；①0,1,x y x ⎧=⎨⎩
为有理数为实数． A ．4个 B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】C 【分析】
根据构成函数的两要素分析定义域是否为空集及对应法则是否对定义域内每一个元素都有唯一实数值与之对应，即可求解. 【详解】
∵(3)y x x =--,定义域为R ,化简解析式为3y =，定义域内每个值按对应法则都有唯
一实数3与之对应，是函数；
∵y =，定义域为20
10x x -≥⎧⎨-≥⎩
，解得x ∈∅，
所以不是函数；∵1,0
1,0
x x y x x -<⎧=⎨
+≥⎩，定义域为R ，对应法则对于定义域内每一个值都有
唯一实数与之对应，所以是函数；∵0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数
为实数
，定义域为R ，当1x =时，y
有两个值0,1与之对应，所以不是函数. 故选C. 【点睛】
本题主要考查了函数的概念，构成函数的两个要素，属于中档题. 13．(本题5分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A
．(3π+ B
．(4π+ C
．(3π+ D
．(4π+
【答案】A 【详解】
10 分析：由三视图可知，该几何体由一个半球与两个共同顶点圆锥组成，根据三视图中数据，求出球半径、圆锥的底面半径与母线长，从而可得结果.
详解：由三视图可知，该几何体由一个半球与两个共同顶点圆锥组成， 其中球半径为1，半球的表面积为2π， 圆锥底面半径为1，底面积为π，
圆锥的母线l ==，
，
∴
几何体表面积为(223ππππ++=+，故选A.
点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
14．(本题5分)在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项 D ．第18项
【答案】B 【解析】
因为第6项的二项式系数为5
20C ，又1552020C C =，所以第16项符合条件,故选B.
15．(本题5分)如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数
log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【分析】
由题意求得1a >，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解. 【详解】
因为函数(0,1)x
y a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数x
y a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
三、解答题(共84分)
16．(本题16分)已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且BC BD =，
1DD ⊥平面ABCD ，11AA =，BE CD ⊥于点E .
（1）试问在线段11A B 上是否存在一点F ，使得//AF 平面1BEC ？若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由；
（2）在（1）的条件下，求平面ADF 和平面1BEC 所成锐二面角的余弦值.
12 【答案】（1）存在，F 为线段11A B 的中点；理由见解析；（2
）7
. 【分析】
（1）当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC .取AB 的中点G ，证得1//AF B G ，
11//B G C E ，故1//AF C E ，从而证得//AF 平面1BEC ；
（2）以DG ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，分别求得平面ADF 和平面1BEC 的法向量，由法向量的夹角求得二面角夹角的余弦值. 【详解】
（1）当F 为线段11A B 的中点时，//AF 平面1BEC . 下面给出证明：
取AB 的中点G ，连接EG ，1B G ，则1//FB AG ，且1FB AG =，
所以四边形1AGB F 为平行四边形，所以1//AF B G . 因为BC BD =，BE CD ⊥，所以E 为CD 的中点，
又G 为AB 的中点，//AB CD ，AB CD =，所以//BG CE ，且BG CE =， 所以四边形BCEG 为平行四边形，所以//EG BC ，且EG BC =，又11//BC B C ，
11BC B C =，
所以11//EG B C ，且11EG B C =，所以四边形11EGB C 为平行四边形， 所以11//B G C E ，所以1//AF C E ，
又AF ⊄平面1BEC ，1C E ⊂平面1BEC ，所以//AF 平面1BEC ，
（2）连接DG ，因为BD BC AD ==，G 为AB 的中点，所以DG AB ⊥， 又//AB CD ，所以DG CD ⊥，
因为1DD ⊥平面ABCD ，DC ，DG ⊂平面ABCD ，所以1DD DC ⊥，1DD DG ⊥， 所以DG ，DC ，1DD 两两垂直，以DG ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -（如图所示），由题意知
2BD BC CD AB AD =====，所以60DAB BDC ∠=∠=︒，又1AA =1，所以()0,0,0D
，)1,0A
-，()10,0,1D ，()0,1,0E ，()10,2,1C
，)
B
，
)
F
，
所以)
EB →
=
，()10,1,1EC →=
，)
1,0DA →
=
-
，)
DF →
=
.
设平面1BEC 的法向量为(),,n x y z →
=，
则100
EB n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，
即0
0y z =+=⎪⎩，解得0x y z =⎧⎨=-⎩， 令1z =，得平面1BEC 的一个法向量()0,1,1n →
=-.
设平面ADF 的法向量为(),,m a b c →
=，则0,0,DA m DF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即0,
0,
b c -=+=
解得b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
令1a =
，得b =
c =，平面ADF
的一个法向量(m →
=.
设平面ADF 和平面1BEC 所成的锐二面角的大小为θ，
则cos 7m n
m n
θ→→
→
→
⋅=
=
=⋅.
所以平面ADF 和平面1BEC
. 【点睛】
关键点点睛：证得DG DC ⊥，从而以DG ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求得两平面的法向量，将二面角转化为法向量的夹角求解. 17．(本题16分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x m =+.
（1）若不等式()9f x m -≤的解集为[]1,3-，求实数m 的值；
14 （2）若0m >，函数()()21g x f x x =--的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m 的取值范围.
【答案】（1）3m =-；（2）12m >. 【解析】 试题分析：
（1）解不等式()9f x m -≤可得
9233
m
x --≤≤且9m ≥-，根据不等式的解集为[]1,3-得到
9213
m
--=-，解得3m =-，即为所求．（2）由题意可得函数()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05m B -⎛⎫
⎪⎝⎭
，2,233m m C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，于是()2
431•60215
ABC C m S AB y ∆+==>，解得12m >，即为所求的范围． 试题解析： （1）由题意得90,
39.
m x m m +≥⎧⎪
⎨
+≤+⎪⎩①②
解①得9m ≥-.
②可化为939m x m m --≤+≤+，
解得
9233
m
x --≤≤. 不等式()9f x ≤的解集为[]
1,3-， 9213
m
--∴
=-，解得3m =-，满足9m ≥-. 3m ∴=-．
（2）依题意得，()321g x x m x =+--. 又0m >，
()()2,3521,321.m x m x m g x x m x x m x ⎧⎛⎫---≤- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫
∴=+--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪++≥⎪⎩
∵()g x 的图象与x 轴围成的ABC ∆的三个顶点的坐标为()2,0A m --，2,05m B -⎛⎫
⎪⎝⎭
，
2,233m m C ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
，
()2
431
•60215
ABC
C m S AB y ∆+∴==>， 解得12m >.
∵实数m 的取值范围为()12,+∞．
18．(本题17分)已知函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫
⎛=-+ ⎪⎝
⎭，0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. （1）求()f x 的单调递增区间和最值；
（2）若函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()min max 3
0,2f x f x ==；（2）
3[0,1)2⎧⎫
⋃⎨⎬⎩⎭
【分析】
（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式和辅助角法，将函数转化为
()1sin 262f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再利用正弦函数的性质求解.
（2）将函数()()g x f x a =-有且仅有一个零点，转化为函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点，利用数形结合法求解. 【详解】
（1）函数()2sin cos cos26f x x x x π⎫
⎛
=-
+ ⎪⎝
⎭
，
1
2sin sin cos 22x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭
，
2cos sin cos 2x x x x =++，
112cos 2222
x x =
++， 1sin 262x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
16
令222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，
解得 ,3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈，
因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
， 所以函数()f x 的单调递增区间是 06,π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
， 所以1sin 2,162x π⎛
⎫⎡⎤
+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
， 所以()()min max 30,2
f x f x ==
. （2）因为()()g x f x a =-有且仅有一个零点， 所以()f x a =有且仅有一个零点，
即函数()y f x = 与y a =有且仅有一个交点， 如图所示：
由图象知：3
2
a =
或 [0,1)a ∈， 所以实数a 的取值范围是3[0,1)2⎧⎫
⋃⎨⎬⎩⎭
.
【点睛】
方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ω
π
=
，y ＝tan(ωx ＋φ)
的最
小正周期为T πω
=
. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．
19．(本题17分)函数()y f x =的解析式满足条件()
*
2(1)()f n f n n N +=∈，且
1
(1)4
f =-．
（1）求()f n 的表达式； （2）若(1)(2)()n A f f f n =++
+，求n A ．
【答案】（1）1
11()42n f n -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
；（2）111
22
n n A +=-
+ 【分析】
（1）由(
)*
2(1)()f n f n n N
+=∈，可得()f n 是以1
4
-为首项，1
2为公比的等比数列，利用等比数列通项公式可得结果；
（2）结合（1），利用等比数列求和公式可得结果 【详解】
（1）因为函数()y f x =的解析式满是条件()
*
2(1)()f n f n n N +=∈，
所以()f n 是以14
-
为首项，1
2为公比的等比数列；
所以1
11()42-⎛⎫
=-⋅ ⎪
⎝⎭
n f n .
（2）由（1）知，(1)(2)()n A f f f n =++
+
1
11142111111222212
+⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=
=--
=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
-n
n n 【点睛】
本题主要考查等比数列的定义，通项公式和前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．(本题18分)已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的左焦点为F ，点P 为椭圆C
18
上任意一点，且PF
1
，离心率为2
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设O 为坐标原点，若动直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=︒.
（i ）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；
（ii ）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(∵)2
212x y +=；（∵）（i ）112
y x =+；（ii ）存在定点(2,0)M -.
【分析】
（I ）结合椭圆的性质，计算a,b 的值，即可．（II ）（i ）计算直线AF 的斜率，得到BF 的斜率，得到直线BF 的方程，代入椭圆方程，得到B 点坐标，计算AB 直线的斜率，结合点斜式，计算方程，即可．（ii ）设出直线AF 的方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，得到直线AB 的斜率，设出直线AB 的方程，令y=0，计算x 的值，计算点坐标，即可． 【详解】
解：（I ）设椭圆的标准方程为：22
221x y a b +=（0a b >>）
离心率为2
，2222
2212c a b e a a -∴===
，a ∴=，
点P 为椭圆C 上任意一点，且PF
1，
1c ∴=，22221a b c b ∴=+=+，
解得22a =，21b =，
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=. （II ）
（i ）由题意()0,1A ，()1,0F -，
()
10
101AF k -∴=
=--
180OFA OFB ∠+∠=︒，1BF k ∴=-，
∴直线BF 为：()11y x x =-+=--，
代入2
212
x y +=，得2340x x +=，解得0x =或43x =-，
代入1y x =--，得01x y =⎧⎨=-⎩，舍，或43
1
3x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，41,33B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭.
1
1134203AB
k -
∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，∴直线AB 的方程为：112y x =+.
（ii ）存在一个定点()2,0M -，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点. 证明：
180OFA OFB ∠+∠=︒，B ∴在于x 轴的对称点1B 在直线AF 上，
设直线AF 的方程为：()1y k x =+，
代入()2211
2
y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得22
2212102k x k x k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 由韦达定理得2
122212k x x k +=-+，21221
12
k x x k -=
+
，
由直线AB 的斜率12
12
AB y y k x x -=-，得AB 的方程为：()121112y y y y x x x x --=
-- 令0y =，得：
12
1112
x x x x y y y -=-⋅
- 211212x y x y y y -=-，
()111y k x =+，()221y k x -=+，
211212x y x y x y y -=
- ()()()()
2112121111x k x x k x k x k x ⨯++⨯+=+++ 1212
1222x x x x x x ++=++
22222212211222212
k k k k k k -⨯-
++
=-
+
2=-，
20 ∴对于动直线l ，存在一个定点()2,0M -，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定
点. 【点睛】
考查了椭圆方程计算方法，考查了点斜式直线方程计算方法，考查了直线与椭圆方程的位置关系，难度偏难．。