苏尼特左旗第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

苏尼特左旗第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ）
A ．抽签法
B ．随机数表法
C ．系统抽样法
D ．分层抽样法
2． 方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（
）
A ．两个点
B ．四个点
C ．两条直线
D ．四条直线
3． 已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象如图所示．x ﹣10234f （x ）
1
2
2
当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 的零点的个数为（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4． 双曲线E 与椭圆C ：＋＝1有相同焦点，且以E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积
x 29y 2
3
为π，则E 的方程为（ ）A.－＝1 B.－＝1x 23y 2
3x 24y 22
C.－y 2＝1
D.－＝1
x 2
5
x 22
y 24
5． 三角函数的振幅和最小正周期分别是（ ）
()sin(2)cos 26
f x x x π
=-+
A B C D 2
π
π
2
π
π
6． 函数y=x+xlnx 的单调递增区间是（ ）
A ．（0，e ﹣2）
B ．（e ﹣2，+∞）
C ．（﹣∞，e ﹣2）
D ．（e ﹣2，+∞）
7． 数列{a n }满足a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，A n 表示{a n }前n 项之积，则A 2016的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣1
D ．1
8． 《九章算术》
是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。

问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD ＝3丈，长AB ＝4丈，上棱EF ＝2丈，EF ∥平面ABCD .EF 与平面ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ）
A ．4立方丈
B ．5立方丈
C ．6立方丈
D ．8立方丈
9． 执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（
）
A ．（11，12）
B ．（12，13）
C ．（13，14）
D ．（13，12）10．下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）
A ．y=x+1
B ．y=﹣x 2
C ．
D ．y=﹣x|x|
11．已知奇函数是上的增函数，且，则的取值范围是（ ）
()f x [1,1]-1
(3)()(0)3f t f t f +->t A 、 B 、 C 、 D 、1163t t ⎧⎫-
<≤⎨⎬⎩
⎭2
43
3t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭16t t ⎧
⎫>-⎨⎬⎩
⎭2
13
3t t ⎧⎫-≤≤⎨⎬
⎩⎭12．设抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（ ）
A ．y 2=4x 或y 2=8x
B ．y 2=2x 或y 2=8x
C ．y 2=4x 或y 2=16x
D ．y 2=2x 或y 2=16x
二、填空题
13．设函数有两个不同的极值点，，且对不等式3
2
()(1)f x x a x ax =+++1x 2x 12()()0f x f x +≤恒成立，则实数的取值范围是
．
14．定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ）满足f （x+1）=﹣f （x ），且f （x ）在[﹣1，0]上是增函数，下面五个关于f （x ）的命题中：①f （x ）是周期函数；
②f （x ） 的图象关于x=1对称；③f （x ）在[0，1]上是增函数；④f （x ）在[1，2]上为减函数；⑤f （2）=f （0）．
正确命题的个数是 ．　
15．函数f （x ）=log a （x ﹣1）+2（a ＞0且a ≠1）过定点A ，则点A 的坐标为 ．　
16．下列结论正确的是
①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.7；
②以模型y=ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny ，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e 4；
③已知命题“若函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是增函数，则m ≤1”的逆否命题是“若m ＞1，则函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是减函数”是真命题；
④设常数a ，b ∈R ，则不等式ax 2﹣（a+b ﹣1）x+b ＞0对∀x ＞1恒成立的充要条件是a ≥b ﹣1．　
17．若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3，则点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是 ．　
18．在中，有等式：①；②；③；④
ABC ∆sin sin a A b B =sin sin a B b A =cos cos a B b A =.其中恒成立的等式序号为_________.sin sin sin a b c
A B C
+=+三、解答题
19．已知函数．
()()2
1+2||02
()1(102
x x x x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（1）画出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间和值域；
()f x ()f x （2）根据图像求不等式的解集（写答案即可）
3
(x)2
f ≥
20．（本题满分13分）已知函数.x x ax x f ln 22
1)(2
-+=（1）当时，求的极值；
0=a )(x f （2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围.
)(x f ]2,3
1
[a 【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.
21．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(不等式选做题)设，且，则的最小值为
（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则
22．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
23．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1，且f（x）的周期为2．（Ⅰ）当时，求f（x）的最值；
（Ⅱ）若，求的值．
24．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值．
苏尼特左旗第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由题意知，这个抽样是在传送带上每隔10分钟抽取一产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，
∴是系统抽样法，
故选：C．
【点评】本题考查了系统抽样．抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．属于基础题．
2．【答案】B
【解析】解：方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0
则x2﹣4=0并且y2﹣4=0，
即，
解得：，，，，
得到4个点．
故选：B．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．
3．【答案】C
【解析】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：
因为f （0）=f （3）=2，1＜a ＜2，
所以函数y=f （x ）﹣a 的零点的个数为4个．故选：C ．
【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．　
4． 【答案】
【解析】选C.可设双曲线E 的方程为－＝1，
x 2
a 2y 2
b 2
渐近线方程为y ＝±x ，即bx ±ay ＝0，
b a
由题意得E 的一个焦点坐标为（，0），圆的半径为1，
6∴焦点到渐近线的距离为1.即＝1，
|6b |
b 2＋a 2
又a 2＋b 2＝6，∴b ＝1，a ＝，5∴E 的方程为－y 2＝1，故选C.
x 2
5
5． 【答案】B
【解析】()sin
cos 2cos
sin 2cos 26
6
f x x x x
π
π
=-+
31
cos 222sin 2)22
x x x x =-=-
，故选B ．
)6
x π
=+6． 【答案】B
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得f ′（x ）=lnx+2，令f ′（x ）＞0，可得x ＞e ﹣2，∴函数f （x ）的单调增区间是（e ﹣2，+∞）故选B ．　
7． 【答案】D
【解析】解：∵a 1=3，a n ﹣a n •a n+1=1，
∴，得
，
，a 4=3，
…
∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且a 1a 2a 3=﹣1，∵2016=3×672，
∴A 2016 =（﹣1）672=1．故选：D ．　
8． 【答案】【解析】解析：
选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E ­AGHD 与四棱锥F ­MBCN 与直三棱柱EGH ­FMN .
由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2，EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，
所求的体积为V ＝（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝×（2×3）×1＋×3×1×2＝5立方丈，故选
131312
B.
9． 【答案】 A
【解析】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2，当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3，当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4，当n=4时，不满足进行循环的条件，故输出的数对为（11，12），故选：A
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．　
10．【答案】D
【解析】解：y=x+1不是奇函数；y=﹣x 2不是奇函数；
是奇函数，但不是减函数；y=﹣x|x|既是奇函数又是减函数，故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题．　
11．【答案】A
【解析】
考点：函数的性质。

12．【答案】C
【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），
∴焦点F坐标为（，0），可得|OF|=，
∵以MF为直径的圆过点（0，2），
∴设A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF|==，
∴sin∠OAF==，
∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
∵|MF|=5，|AF|=
∴=，整理得4+=，解之可得p=2或p=8
因此，抛物线C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x ．故选：C ．方法二：
∵抛物线C 方程为y 2=2px （p ＞0），∴焦点F （，0），设M （x ，y ），由抛物线性质|MF|=x+=5，可得x=5﹣，
因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为
=，
由已知圆半径也为，据此可知该圆与y 轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4，即M （5﹣，4），代入抛物线方程得p 2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8．所以抛物线C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x ．故答案C ．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ，以MF 为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．　
二、填空题
13．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥
⎣
⎦
【解析】
试题分析：因为,故得不等式,即
12()()0f x f x +≤()()
()3
3
2
2
12121210x x a x x a x x ++++++≤,由于
()()
()()()2
2
1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,令得方程,因 , 故
()()2'321f x x a x a =+++()'0f x =()23210x a x a +++=()2410a a ∆=-+>
，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，()12122133x x a a x x ⎧
+=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
()1a +()2
2520a a -+≥1a ≤-122a ≤≤因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.
1a ≤-122a ≤≤()()120f x f x +≤1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数的到函数，令考虑判别式大于零，根据韦达定理求出()f x ()'0f x =的值，代入不等式，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
1212,x x x x +12()()0f x f x +≤数的取值范围.111]14．【答案】　3个　．
【解析】解：∵定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数f （x ），∴f （x ）=f （﹣x ）；
∵f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+1）=﹣f （x ），∴f （x+2）=﹣f （x+1）=f （x ），f （﹣x+1）=﹣f （x ）即f （x+2）=f （x ），f （﹣x+1）=f （x+1），周期为2，对称轴为x=1所以①②⑤正确，
故答案为：3个　
15．【答案】　（2，2）　．
【解析】解：∵log a 1=0，∴当x ﹣1=1，即x=2时，y=2，
则函数y=log a （x ﹣1）+2的图象恒过定点 （2，2）．故答案为：（2，2）．
【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a 1=0，属于基础题．　
16．【答案】　①②④　
【解析】解：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0）则正态曲线关于x=1对称．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率P=2×0.35=0.7；故①正确，②∵y=ce kx ，
∴两边取对数，可得lny=ln （ce kx ）=lnc+lne kx =lnc+kx ，
令z=lny，可得z=lnc+kx，
∵z=0.3x+4，
∴lnc=4，
∴c=e4．故②正确，
③已知命题“若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，
则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=e x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≤e x，
∵x＞0，∴e x＞1，
则m≤1．故原命题是真命题，则命题的逆否命题也是真命题，故③错误，
④设f（x）=ax2﹣（a+b﹣1）x+b，
则f（0）=b＞0，f（1）=a﹣（a+b﹣1）+b=1＞0，
∴要使∀x＞1恒成立，
则对称轴x=，
即a+b﹣1≤2a，即a≥b﹣1，
即不等式ax2﹣（a+b﹣1）x+b＞0对∀x＞1恒成立的充要条件是a≥b﹣1．故④正确，
故答案为：①②④
17．【答案】 ．
【解析】解：点（m，0）到直线x﹣y+n=0的距离为d=，
∵mn﹣m﹣n=3，
∴（m﹣1）（n﹣1）=4，（m﹣1＞0，n﹣1＞0），
∴（m﹣1）+（n﹣1）≥2，
∴m+n≥6，
则d=≥3．
故答案为：．
【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．　
18．【答案】②④
【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知，推出或，所以三角形为等腰三角
sin sin a A b B =A B =2
A B π
+=
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，，即恒成立，所以是正
sin sin a B b A =sin sin sin sin A B B A =确的；对于③中，，可得，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由cos cos a B b A =sin()0B A -=正弦定理以及合分比定理可知
是正确，故选选②④．1sin sin sin a b c
A B C
+=+考点：正弦定理；三角恒等变换．
三、解答题
19．【答案】（1）图象见答案，增区间：，减区间：，值域：；（2）。

(],2-∞-[)2,-+∞(],2-∞[]3,1--【解析】
试题分析：（1）画函数的图象，分区间画图，当时，，此时为二次函数，开()f x 0x ≤()2
122
f x x x =--口向下，配方得，可以画出该二次函数在的图象，当时，()()()2
1142222
f x x x x =-
+=-++0x ≤0x >，可以先画出函数的图象，然后再向下平移1个单位就得到时相应的函数图
()1()12x f x =-1
()2
x y =0x >象；（2）作出函数的图象后，在作直线，求出与函数图象交点的横坐标，就可以求出的
()f x 3
2
y =()f x x 取值范围。

本题主要考查分段函数图象的画图，考查学生数形结合思想的应用。

试题解析：（1）函数的图象如下图所示：
()f x 由图象可知：增区间：，减区间：，值域为：。

(],2-∞-[)2,-+∞(],2-∞（2）观察下图，的解集为：。

()3
2
f x ≥
[]3,1--
考点：1.分段函数；2.函数图象。

20．【答案】
【解析】（1）函数的定义域为，因为，当时，，则),0(+∞x x ax x f ln 22
1)(2
-+=
0=a x x x f ln 2)(-=.令，得.…………2分x x f 12)('-
=012)('=-=x x f 2
1
=x 所以的变化情况如下表：
)(),(',x f x f x x )21,0(2
1)
,21
(+∞)('x f －0＋)
(x f ↘极小值↗
所以当时，的极小值为，函数无极大值.………………5分
2
1=
x )(x f 2ln 1)21
(+=f
21．【答案】
【解析】A
B
22．【答案】
【解析】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x＜30．
（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，
∴当x=15时，S取最大值．
（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），
由V′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；
∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，
此时，．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是．
23．【答案】
【解析】（本题满分为13分）
解：（Ⅰ）∵=，…
∵T=2，∴，…
∴，…
∵，
∴，
∴，…
∴，…
当时，f（x）有最小值，当时，f（x）有最大值2．…（Ⅱ）由，
所以，
所以，…
而，…
所以，…
即．…
24．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0），
∴f'（x）=e x﹣a，
由f'（x）=e x﹣a=0得x=lna，
由f'（x）＞0得，x＞lna，此时函数单调递增，由f'（x）＜0得，x＜lna，此时函数单调递减，即f（x）在x=lna处取得极小值且为最小值，
最小值为f（lna）=e lna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，
等价为f（x）min≥0，
由（1）知，f（x）min=a﹣alna﹣1，
设g（a）=a﹣alna﹣1，
则g'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，
由g'（a）=0得a=1，
由g'（x）＞0得，0＜x＜1，此时函数单调递增，由g'（x）＜0得，x＞1，此时函数单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，即g（1）=0，
因此g（a）≥0的解为a=1，
∴a=1．。