安徽省阜阳市2020新高考高一数学下学期期末检测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠所对的边，且a ，b ，c 成等差数列，3ac =，3
cos 4
B =,则b =（ ） A ．
72
B ．
142
C ．7
D ．14
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．7616π+
B ．6012π+
C ．4416π+
D ．4412π+
3．已知点(2,3)A ，(3,2)B --，则直线AB 的斜率是（ ） A ．5-
B ．1-
C ．5
D ．1
4．已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且6AB =x 的值是（ ） A ．6或2-
B ．6或2
C ．3或4-
D ．3-或4
5．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，若222,44b a c S =+-=，则ABC 外接圆的半径为（ ） A 2
B ．22
C ．2
D ．4
6．A 为三角形ABC 的一个内角,若12
sin cos 25
A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
7．若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未被击毁的概率为（ ） A ．0.8
B ．0.6
C ．0.5
D ．0.4
8．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP 交
单位圆O 于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则tan θ的值为( ) A ．
35
B ．
45
C ．43
-
D ．34
-
9．函数的图象可能是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积等于（ ） A ．36π
B ．480
C ．
2563
π
D ．
5003
π
11．下列关于四棱柱的说法： ①四条侧棱互相平行且相等； ②两对相对的侧面互相平行； ③侧棱必与底面垂直； ④侧面垂直于底面.
其中正确结论的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．为了得到函数sin 22y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象，可以将函数sin2y x =的图象（ ） A ．向右平移
4π
个单位长度 B ．向左平移
4
π
个单位长度 C ．向右平移
2
π
个单位长度 D ．向左平移
2
π
个单位长度 二、填空题：本题共4小题
13．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，设1OA =，则阴影部分的面积是__________.
14．已知11
sin sin ,cos cos 43
αβαβ+=
+=，则()tan αβ+的值为_____________ 15．已知数列{}n a 满足11a =，若
111
4()n n n
n N a a *+-=∈，则数列{}n a 的通项n a =______. 16．函数arctan y x =，(0,1)x ∈的反函数为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1
）计算：(
)
22sin 150cos90tan135cos 120sin 90︒︒︒︒
︒
++-+-;
（2）化简：3sin()sin cos(2)
2sin(2)cos(3)
ππααπαπαπα⎛⎫
-+-+ ⎪⎝⎭
-+. 18．已知数列{}n a 满足11a =，且122n
n n a a -=+（2n ≥，且*n N ∈）.
（1）求证：数列2n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式
（3）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求证：232n
n S n >-. 19．（6分）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB= –1
7
．
（Ⅰ）求∠A ；
（Ⅱ）求AC 边上的高．
20．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点.
（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求证：EF ∥平面PAD ； （Ⅲ）求证：AF ⊥平面POD . 21．（6分）设函数2
()4sin (
)sin cos 24
2
x
f x x x π
ωωω=+
+.
（1）已知()f x 图象的相邻两条对称轴的距离为π，求正数ω的值； （2）已知函数()f x 在区间2[,]43
ππ
-
上是增函数，求正数ω的最大值.
22．（8分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2
A C
a b A +=． （1）求B ；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
利用,,a b c 成等差数列可得2b a c =+,再利用余弦定理构造a c +的结构再代入3ac =求得b 即可. 【详解】
由,,a b c 成等差数列可得2b a c =+,由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-, 即()2
2
2721422b a c ac b =+-
=-,解得272b =,即14b =. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了等差中项与余弦定理的运算,需要根据题意构造a c +与ac 的结构代入求解.属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】
先还原几何体，再根据形状求表面积. 【详解】
由三视图知，该几何体的直观图如图所示，
∴其表面积为21
34453422242
ππ⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯4412π=+，故选D .
【点睛】
本题考查三视图以及几何体表面积，考查空间想象能力以及基本求解能力，属中档题. 3．D
【分析】
根据直线的斜率公式，准确计算，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，根据直线的斜率公式，可得直线AB 的斜率23
132
k --==--，故选D.
【点睛】
本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】
直接利用两点间距离公式得到答案. 【详解】
已知点(),1,2A x 和点()2,3,4B
126,2AB x x ====-
故答案选A 【点睛】
本题考查了两点间距离公式，意在考查学生的计算能力. 5．A 【解析】 【分析】
出现面积S ，可转化为1
sin 2
S ac B =
观察22442sin a c S ac B +-==，和余弦定理很相似，但是有差别，差别就是条件是224a c +-形式，而余弦定理中是222a c b +-形式，但是我们可以注意到：2b =,所以可以完成本题. 【详解】
由2
2
2,44b a c S =+-=，222
222
2sin sin cos 2a c b a c b ab B B B ab
+-⇒+-=⇒==
所以在三角形中4
B π
=
,
再由正弦定理
2sin 2
b R R B =
===所以答案选择A.
本题很灵活，在常数4的处理问题上有点巧妙，然后再借助余弦定理及正弦定理，难度较大. 6．B 【解析】
试题分析：由12
sin cos 25A A +=
,两边平方得14412sin cos 625A A +=,即481sin 20625
A =-
<,又0A π<<,则022A π<<,所以2A 为第三、四象限角或y 轴负半轴上的角,所以A 为钝角．故正确答案为B ． 考点：1．三角函数的符号、平方关系;2．三角形内角． 7．D 【解析】 【分析】
由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解． 【详解】
由于一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4； 所以目标受损的概率为：10.40.6-=；
目标受损分为击毁和未被击毁，它们是对立事件；
所以目标受损的概率=目标受损被击毁的概率+目标受损未被击毁的概率；
故目标受损但未被击毁的概率=目标受损的概率-目标受损被击毁的概率，即目标受损但未被击毁的概率
0.60.20.4=-=；
故答案选D 【点睛】
本题考查概率的求法，注意对立事件概率计算公式的合理运用，属于基础题． 8．C 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，角θ的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边OP 交单位圆O 于点
34,55P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，根据三角函数的定义可得4
45tan 335
y x θ===--.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了三角的函数的定义，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，着重考查了推理与计
算能力，属于基础题.
9．D
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．
【详解】
函数是奇函数，排除选项A，C；
当时，，对应点在x轴下方，排除B；
故选：D．
【点睛】
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．
10．A
【解析】
【分析】
由题意知，此球是棱长为6的正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为6，再由球的体积公式求解即可．
【详解】
解：由已知可得球的直径为6，故半径为3，
其体积是
3
4
336
3
Vππ=⨯=，
故选：A．
【点睛】
本题考查长方体内切球的几何特征，以及球的体积公式，属于基础题．
11．A
【解析】
【分析】
根据棱柱的概念和四棱锥的基本特征，逐项进行判定，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，
侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，
由四棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等，①正确；
②两对相对的侧面互相平行，不正确，如下图：
左右侧面不平行.
本题题目说的是“四棱柱”不一定是“直四棱柱”，所以，③④不正确， 故选A. 【点睛】
本题主要考查了四棱柱的概念及其应用，其中解答中熟记棱柱的概念以及四棱锥的基本特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 12．A 【解析】 【分析】 先将sin 22y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
转化为sin 24y x π⎡⎤
⎛⎫=-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
,再判断""4
π
-
的符号即可得出结论.
【详解】
解：因为sin 22y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭sin 24x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦, 所以只需把sin2y x =向右平移4
π
个单位. 故选：A 【点睛】
函数左右平移变换时,一是要注意平移方向：按“左加右减",如由()f x 的图象变为()(0)f x a a +>的图象,是由""x 变为""x a +,所以是向左平移a 个单位；二是要注意x 前面的系数是不是1,如果不是1,左右平移时,要先提系数1,再来计算. 二、填空题：本题共4小题 13．
2
4
π-
【解析】 【分析】
：设两个半圆交于点,O C ,连接OC BC 、,可得直角扇形OAB 的面积等于以OA OB 、为直径的两个半圆
的面积之和，OC平分AOB
∠, 可得阴影部分的面积.
【详解】
解：设两个半圆交于点,O C，连接OC BC
、,
22
11
1()
42
ππ
⨯⨯=⨯,
∴直角扇形OAB的面积等于以OA OB
、为直径的两个半圆的面积之和，由对称性可得：OC平分AOB
∠, 故阴影部分的面积是：22
11122
2[()(]
22224
S
π
π
-
=⨯⨯-⨯=.
故答案为：
2
4
π-
.
【点睛】
本题主要考查扇形的计算公式，相对不难.
14．
24
7
【解析】
【分析】
利用和差化积公式将两式化简，然后两式相除得到tan
2
αβ
+
的值，再利用二倍角公式即可求出．
【详解】
由
11
sin sin,cos cos
43
αβαβ
+=+=得，
1
2sin cos
224
αβαβ
+-
=，
1
2cos cos
223
αβαβ
+-
=，
两式相除得，
3
tan
24
αβ
+
=，则
()
2
2
3
2tan224
24
tan
7
3
1tan1
24
αβ
αβ
αβ
+
⨯
+===
+⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
．
【点睛】
本题主要考查和差化积公式以及二倍角公式的应用．
15．
3
41
n-
【解析】
【分析】
直接利用数列的递推关系式和叠加法求出结果． 【详解】
因为
1114n n n
a a +-=，所以当2n ≥时， 112211
11111111n n n n n a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
2
1441
4
4
41143
n n n n ----=++
++==
-. 1n =时也成立. 所以数列{}n a 的通项3
41
n n a =-. 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 16．tan ,(0,)4
y x x π
=∈
【解析】 【分析】
将函数变形为()x f y =的形式，然后得到反函数，注意定义域. 【详解】
因为arctan y x =，所以tan x y =，则反函数为：tan y x =且(0,)4
x π
∈.
【点睛】
本题考查反三角函数的知识，难度较易.给定定义域的时候，要注意函数定义域. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）-2 （2）cos α- 【解析】 【分析】
（1）利用特殊角的三角函数值求得表达式的值. （2）利用诱导公式化简所求表达式. 【详解】
（1）(
)
2
2
sin 150cos90tan135cos 120sin 90︒
︒
︒
︒
︒
++-+-
11
011244
=
+---=-. （2）3sin()sin cos(2)
2sin(2)cos(3)
ππααπαπαπα⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭
-+
sin (cos )cos cos sin (cos )
ααα
ααα-=
=---.
【点睛】
本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查诱导公式，属于基础题. 18．（1）详见解析；（2）122n
n a n ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
；
（3）详见解析. 【解析】 【分析】 （1）用定义证明
1
1
122n n n n a a ---=得到答案. （2）
122n n
a n =-推出122n n a n ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
（3）利用错位相减法和分组求和法得到1
3232n n S n +⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
，再证明不等式. 【详解】
解：（1）由122n
n n a a -=+，得
11122n n n n a a --=+，即1
1122
n n n n a a ---=. ∴数列2n n
a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以12为首项，1为公差的等差数列. （2）∵数列2n n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是以12为首项，1为公差的等差数列， ∴
122n n a n =-，∴122n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭.
（3）1231n n n S a a a a a -=++++
123
11353122222222
22n n n n -⎛⎫⎛⎫=
⨯+⨯+⨯+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2341135
3122222222222n n n S n n +⎛⎫⎛
⎫=⨯+⨯+⨯+
+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2311122222n n n S n +⎛
⎫-=+++
-- ⎪⎝
⎭
13322n n +⎛⎫
=-+-+ ⎪⎝⎭
.
∴1
3232n n S n +⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭
，
∴
3232322
n n n S n n =-+>-. 【点睛】
本题考查了等差数列的证明，分组求和法，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 19． (1) ∠A=π3 (2) AC 边上的高为33
2
【解析】
分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程
11
sin 22
ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高． 详解：解：（1）在△ABC 中，∵cosB=–
17，∴B ∈（π2，π），∴sinB=243
1cos B -=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =43，∴sinA=3．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3． （2）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）=sinAcosB+sinBcosA=
311432727⎛⎫⨯-+⨯
⎪⎝⎭=33
14
． 如图所示，在△ABC 中，∵sinC=
h BC ，∴h=sin BC C ⋅=33337⨯=，∴AC 边上的高为33
．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】
（I ）通过证明CD ⊥平面PAD 来证得平面PAD ⊥平面PCD .（II ）取PD 中点G ，连接,FG AG ，通过证明四边形AEFG 为平行四边形，证得//EF AG ，由此证得EF ∥平面PAD .（III ）通过证明OD ⊥平面PAC 证得OD AF ⊥，通过计算证明证得AF PO ⊥，由此证得AF ⊥平面POD . 【详解】
证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA CD ⊥.
因为CD AD ⊥，AD PA=A ⋂，
所以CD ⊥平面PAD . 因为CD ⊂平面PCD ， 所以平面PAD ⊥平面PCD .
（Ⅱ）取PD 中点G ，连结FG AG ，，因为F 为PC 的中点
所以FG//CD ，且1
FG=
CD 2. 因为E 为AB 的中点，底面ABCD 为正方形， 所以AE//CD ，且1
AE=
CD 2
. 所以FG//AE ，且FG=AE . 所以四边形AEFG 为平行四边形. 所以EF//AG .
因为EF ⊄平面PAD 且AG ⊂平面PAD ， 所以EF//平面PAD .
（Ⅲ）在正方形ABCD 中，OD AC ⊥，
因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA OD ⊥. 因为AC PA A ⋂=， 所以OD ⊥平面PAC . 所以OD AF ⊥.
在△PAC 中，设PO 交AF 于H . 因为PA AC ⊥，
且,O F 分别为,AC PC 的中点，
所以AF FC =.所以FAC FCA ∠=∠. 设1PA =，由已知PA AB =，
所以AC =
所以tan tan 2
APO ACP ∠=∠=
. 所以APO ACP ∠=∠.
所以APO ACP ∠=∠，且AOP ∠为公共角， 所以△APO ∽△HAO . 所以90AHO ∠=. 所以AF PO ⊥. 因为PO OD=O ⋂， 所以AF ⊥平面POD . 【点睛】
本小题主要考查线面垂直、面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 21．（1）1；（2）3
4
. 【解析】 【分析】
（1）由二倍角公式可化函数()f x 为2sin 1x ω+，结合正弦函数的性质可得； （2）先求得()f x 的增区间22,22k k ππππωωωω⎡⎤
-+⎢
⎥⎣⎦
，其中k Z ∈，此区间应包含2[,]43ππ-，这样可得,k ω之间的不等关系，利用ω＞0，得k 的范围，从而得0k =，最终可得ω的最大值． 【详解】 解法1：
（1）1cos()
2()4sin cos 22x f x x x
π
ωωω-+=⨯⨯+ 22sin 2sin cos 2x x x ωωω=++ 2sin 1x ω=+
因为()f x 图象的相邻两条对称轴的距离为π， 所以()f x 的最小正周期为2π，所以正数1ω=. （2）因为0>ω，所以由222
2
k x k π
π
πωπ-≤≤+
得()f x 单调递增区间为22,22k k ππππω
ωωω⎡⎤
-+⎢
⎥⎣⎦，其中k Z ∈.
由题设222,,2243k k ππππππωωωω⎡⎤⎡⎤-+⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，于是224
2223k k ππ
πωωπππω
ω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，得82334k k ωω≤-+⎧⎪⎨≤+⎪⎩ 因为0>ω，所以820
3
304k k -+>⎧⎪
⎨+>⎪⎩
，1144k -<<，因为k Z ∈，所以0k =，所以304ω<≤， 正数ω的最大值为34
. 解法2： （1）同解法1. （2）当2,43x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，2,43x ωπωπω⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
因为2sin 1y x =+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
单调递增，因为0>ω，所以2,,4322ωπωπππ⎡⎤⎡⎤
-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 于是4223
20ωπ
πωππ
ω⎧-≥-⎪⎪
⎪≤⎨⎪>⎪⎪⎩
，解得304ω<≤，故正数ω的最大值为34. 【点睛】
本题考查二倍角公式，考查三角函数的性质．解题关键是化函数为一个角的一个三角函数形式，即
()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数的性质求解．
22． (1) 3
B π
=
;(2). 【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3
B π
=.(2)
根据三角形面积公式1
sin 2
ABC
S
ac B =
⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABC
S 关于C 的函数，由于ABC
是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2
π
来计算C 的定义域，最后求解()ABC
S C 的值域.
【详解】 (1)根据题意sin
sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2
A C
A B A +=，因为0A π<<，故
sin 0A >，消去sin A 得sin
sin 2
A C
B +=． 0<B π<，02A
C π+<<因为故2A C B +=或者2
A C
B π++=，而根据题意A B
C π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A C
B +=，又因为A B
C π++=，代入得3B π=，所以3
B π=. (2)因为AB
C 是锐角三角形，由（1）知3
B π=，A B
C π++=得到2
3A C π+=，
故022032C C πππ
⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，解得62C ππ<<.
又应用正弦定理
sin sin a c
A C
=，1c =， 由三角形面积公式有：
222sin(
)111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC
C a A S
ac B c B c B c C C
π
-=⋅=⋅=⋅=
⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=-=+.
又因
,tan 6
2
C C π
π
<<
>
318tan C <+<
故
8
2
ABC
S <<
. 故ABC
S
的取值范围是(
,82
【点睛】
这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（ ）
A ．24
B ．48
C ．56
D ．64
2．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知角α的终边经过点()1,1-，则=sin α（ ）
A ．2
B ．12
-
C 2
D 34．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若3013C c a =︒==，，ABC ∆的面积为 A 3
B 3
C ．
34
D ．
32
5．在等比数列{}n a 中，39a =-，71a =-，则5a 的值为（ ） A ．3或-3
B ．3
C ．-3
D ．不存在
6．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1x y
>；④11x x y
<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知向量()2,0,1,1a b a b =⋅=
-=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
π3
D ．
2π3
8．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像向右平衡6π
个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来
的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的最大值为31+ B ．函数()g x 的最小正周期为
2
π
C ．函数()g x 的图象关于直线3
x π
=-
对称 D ．函数()g x 在区间2[
,]3
π
π上单调递增 9．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪≥⎩
则实数m 的最大值为
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．3
10．已知()5,2a =-，()4,3b =--，(),c x y =，若230a b c -+=，则c 等于（ ） A ．134,33⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ B ．81,3⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．138,33⎛⎫
⎪⎝
⎭ D ．144,33⎛⎫
⎪⎝
⎭ 11．甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（ ）
A ．甲、乙两人打靶的平均环数相等
B ．甲的环数的中位数比乙的大
C ．甲的环数的众数比乙的大
D ．甲打靶的成绩比乙的更稳定
12．已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且1471692a a a ，
，成等差数列，则3S =（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．9
二、填空题：本题共4小题
13．一个三角形的三条边成等比数列， 那么， 公比q 的取值范围是__________. 14．已知向量,a b 满足•0,1,2,a b a b ===，则2a b -=
1545°，则该正四棱锥的体积是________ . 16．在平面直角坐标系中，点()1,2到直线3450x y --=的距离为______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某科研小组对冬季昼夜温差大小与某反季节作物种子发芽多少之间的关系进行分析，分别记录了每天昼夜温差和每100颗种子的发芽数，其中5天的数据如下，该小组的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，再用方程对其余的2组数据进行检验.
（1）求余下的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是第2、3、4天的数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与2组检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式；线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中系数计算公式：()()()
1
2
1
ˆn i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=-∑∑()1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y n x y
x
n x
==-⋅⋅=
-⋅∑∑，
ˆˆa
y b x =-⋅，其中x 、y 表示样本的平均值） 18．已知直线1:30l x ay ++=和2:2410l x y ++=． （1）若1l 与2l 互相垂直，求实数a 的值； （2）若1l 与2l 互相平行，求与1l 与2l 间的距离，
19．（6分）已知关于x ，y 的方程C ：22
240x y x y m +--+=表示圆()m ∈R .
（Ⅰ）求m 的取值范围；
（Ⅱ）若1m =，过点()3,2M -作C 的切线，求切线方程.
20．（6分）已知数列12n n a -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以2为首项，2为公比的等比数列，
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =()n N *∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ． 21．（6分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3
455--，
）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513
，求cosβ的值． 22．（8分）某厂生产A 产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件需另投人成本()C x 万元.当年产量不足80千件时，()21103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x
=+-万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.
（1）写出年利润()L x 万元关于x 千件的函数关系式；
（2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图可知从左到右的前3个小组的频率之和，再根据频率之比可求出第二组频率，结合频数即可求解.
【详解】
由直方图可知，
从左到右的前3个小组的频率之和为1(0.01250.0375)510.250.75-+⨯=-=，
又前3个小组的频率之比为1:2:3， 所以第二组的频率为20.750.256
⨯=， 所以学生总数120.2548n =÷=，故选B.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图，频率，频数，总体，属于中档题.
2．B
【解析】
因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对B 满足函数定义，故符合；
对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；
对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．
故选B ．
3．C
【解析】
【分析】
首先根据题意求出r =
sin α的值.
【详解】
r ==sin
2α=
=故选：C
【点睛】 本题主要考查正弦函数的定义，属于简单题.
4．A
【解析】
【分析】
根据已知求出b 的值，再求三角形的面积.
【详解】
在ABC ∆中，301C c a =︒==，，
由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅，
即2320b b -+=，
解得：1b =或2b =.
∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）.
∴ABC ∆
的面积为
111sin 1222ab C =⨯=故选A.
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．C
【解析】
【分析】
【详解】
解析过程略
6．C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，正实数,x y 是正数，且x y >，
①中，可得2xy y >，所以2xy y <是错误的；
②中，由x y >，可得22x y >是正确的；
③中，根据实数的性质，可得1x y
>是正确的； ④中，因为0x x y >->，所以
11x x y
<-是正确的， 故选C.
【点睛】 本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
先求出a 的模长，然后由cos ,a b a b a b ⋅=
可求出答案. 【详解】 由题意，2a =，1cos ,2a b a b a b ⋅=
=-，所以a 与b 的夹角为2π3
. 故选D.
【点睛】
本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题.
8．C
【解析】
【分析】
根据函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得到g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象性质，得出结论．
【详解】
将函数()226f x sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6
π个单位长度，可得y ＝2sin （2x 6π-）的图象， 再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数g （x ）＝2sin （x 6
π-）的图象， 故g （x ）的最大值为2，故A 错误；
显然，g （x ）的最小正周期为2π，故B 错误； 当3x π
=-时，g （x ）＝2-，是最小值，故函数g （x ）的图象关于直线3
x π=-对称，故C 正确； 在区间2[,]3ππ上，x 6π-∈[2
π，56π]，函数g （x ）＝2sin （x 6π-）单调递减，故D 错误， 故选：C ．
【点睛】 本题主要考查函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象性质应用，属于基础题． 9．B
【解析】
【分析】
首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值.
【详解】
不等式组表示的平面区域如下图所示，
由2230y x x y =⎧⎨--=⎩，得：12x y =-⎧⎨=-⎩
， 即C 点坐标为（－1，－2），
平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内，
所以，m≤－1，
即实数m 的最大值为－1.
【点睛】
本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.
10．A
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算法则,依据题意列出等式求解.
【详解】
由题知:()5,2a =-,()4,3b =--,(),c x y =,
因为230a b c -+=, 所以1358303263043x x y y ⎧=-⎪++=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⎩⎪=-⎪⎩
, 故c =1343
3⎛⎫-
- ⎪⎝⎭，, 故选:A.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算,属于基础题.
11．C
【解析】
甲：8,6,8,6,9,8，平均数为7.5，中位数为8，众数为8；
乙：4,6,8,7,10,10，平均数为7.5，中位数7.5，众数为10；
所以可知错误的是C 。

故选C 。

12．C
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为q ，且q 不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案． 【详解】 数列{}n a 是公比q 不为l 的等比数列，满足22a =，即12a q =，
且1471692a a a ，
，成等差数列，得41718162a a a =+，即3611198a q a a q =+，
解得121q a ==，， 则3
312S 712
-==-． 故选：C ．
【点睛】
本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题
13．515122
q -+<< 【解析】
【详解】
设三边按递增顺序排列为2
,,a aq aq ， 其中0,1a q ≥>. 则2a aq aq +>， 即210q q --<.解得151522
q -+<<. 由 q≥1 知 q 的取值范围是1≤q <15+. 设三边按递减顺序排列为2,,a aq aq ，其中0,01a q ><<.
则2
aq aq a +>，即210q q +->. 解得5112
q -<<. 综上所述，
1515q -+<<. 14．22
【解析】
试题分析：=,又0a b ⋅=，1a =，2b =代
入可得22a b -=8，所以2a b -=22
考点：向量的数量积运算.
15．43
【解析】 【分析】
过棱锥顶点S 作SE AD ⊥,SO ⊥平面ABCD ，则E 为AD 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，连结OE ，设正四棱锥的底面长为a ，根据已知求出a=2,SO=1,再求该正四棱锥的体积.
【详解】
过棱锥顶点S 作SE AD ⊥,SO ⊥平面ABCD ，
则E 为AD 的中点，O 为正方形ABCD 的中心，连结OE ，
则SEO ∠为侧面SAD 与底面ABCD 所成角的平面角，即45SEO ∠=，设正四棱锥的底面长为a ，则2a AE OE SO ===，所以222
SE EO a ==， 在Rt SAE ∆中，∵222SA AE SE =+
∴22342
a a =+，解得2a =， ∴1SO =
∴棱锥的体积211421333ABCD V S SO =
⋅=⨯⨯=. 故答案为
43
【点睛】
本题主要考查空间线面角的计算，考查棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
16．2
【解析】
【分析】
利用点到直线的距离公式即可得到答案。

【详解】
由点到直线的距离公式可知点()1,2到直线3450x y --=
的距离2d =
= 故答案为2
【点睛】
本题主要考查点到直线的距离d =，熟练掌握公式是解题的关键，属于基础题。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）
35
；（2）38y x =-；（3）线性回归方程是可靠的. 【解析】
【分析】
（1）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；
（2）由已知数据求得b 与a ，则线性回归方程可求；
（3）利用回归方程计算10x =与8时的y 值，再由已知数据作差取绝对值，与1比较大小得结论．
【详解】
解：（1）设“余下的2组数据恰好是不相邻2天数据为事件A ”，
从5组数据中选取3组数据，余下的2组数据共10种情况： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．
其中事件A 的有6种，
()63105
P A ∴==； （2）由数据求得12x =，28y =，
且311014i i i x y ==∑，
321
434i i x ==∑． 代入公式得：313
2
221310143122834343123i i i i i x y xy
b x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， 283128a y bx =-=-⨯=-．
∴线性回归方程为：38y x =-； （3）当10x =时，310822y =⨯-=，22231-，
当8x =时，38816y =⨯-=，16161-．
故得到的线性回归方程是可靠的．
【点睛】
本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，考查古典概型的概率计算问题，属于中档题．
18．（1）12a =-
（2 【解析】
【分析】
(1)根据直线垂直的公式求解即可.
(2)根据直线平行的公式求解a ,再利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】
解（1）∵1l 与2l 互相垂直,∴1240a ⨯+=,解得12
a =-． （2）由1l 与2l 互相平行,∴1420a ⨯-=,解得2a =．
直线1l 化为：2460x y ++＝,
∴1l 与2l 间的距离
2
d =
=． 【点睛】
本题主要考查了直线平行与垂直以及平行线间的距离公式.属于基础题.
19．（Ⅰ）(),5-∞；
（Ⅱ）3x =或3410x y +-=.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据圆的一般方程表示圆的条件,可得关于m 的不等式,即可求得m 的取值范围.
（Ⅱ）将1m =代入,可得圆的方程,化为标准方程.讨论斜率是否存在两种情况.当斜率不存在时,可直接求得直线方程;当斜率存在时,由点斜式设出直线方程,结合点到直线的距离即可求得斜率,即可得直线方程.
【详解】
（Ⅰ）若方程22:240C x y x y m +--+=表示圆
则41640m +->
解得5m <
故实数m 的取值范围为(),5-∞
（Ⅱ）若1m =,圆C ：()()22124x y -+-=
①当过点()3,2M -的直线斜率不存在时,直线方程为3x =
圆心()1,2C 到直线3x =的距离等于半径2,此时直线3x =与C 相切
②当过点()3,2M -的直线斜率存在时,不妨设斜率为k
则切线方程为()23y k x +=-,即320kx y k ---=
由圆心到直线的距离等于半径可知
2= 解得34
k =-,即切线方程为3410x y +-= 综上所述,切线方程为3x =或3410x y +-=
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系的应用,圆的一般方程与标准方程的关系和转化,属于基础题.
20．（1）212n n
a -=；（2）21n n T n =+ 【解析】
【分析】
（1）按等比数列的概念直接求解即可；（2）先求出n b 的表达式，再利用裂项相消法即可求得数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
【详解】
（1）由等比数列通项公式得： 112222
n n n n a --=⋅= 212n n a -∴=
（2）由（1）可得：212log 2
21n n b n -==- ()()111111212122121-⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭
b n b b n n n n 11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=
-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式问题及利用裂项相消法求和的问题，属常规考题.
21．（Ⅰ）
45；（Ⅱ）5665- 或1665 . 【解析】
【分析】
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，。