福建省厦门第一中学2017届高三上学期期中考试理数试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.在复平面内，复数z 与
5
2i
-对应的点关于实轴对称，则z 等于（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 【答案】B 【解析】 试题分析：
()()()
i i i i i +=+-+=-2222525，由复数z 与52i -对应的点关于实轴对称可得i z -=2，故选B.
考点：复数的运算性质.
2.已知集合{}{}
2|20,|2,x
A x x x
B y y x R =+-≤==∈，则A B 等于（ ）
A ．∅
B ．[)1,+∞
C ．(]0,2
D ．(]0,1 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得{}12≤≤-=x x A ，{}0>=y y B ，则{}
10≤<=x x B A ，故选D. 考点：集合的运算.
3.陈老师常说“不学习就没有出息”，这句话的意思是：“学习”是“有出息”的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
考点：充分条件、必要条件的判定.
4.若11
3
2
1
sin 2,log 2,log 3
a b c ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．b c a >> 【答案】B 【解析】
试题分析：()1,02sin ∈=a ，01log 2log 3
13
1=<=b ，121
log 31log 2
12
1
=>=c ，
则c a b >>，故选B.
考点：不等式与不等关系.
5.若函数(
)()
1cos ,3
6
f x x x x π
π
=-
≤≤
，则()f x 的最大值为（ ）
A ．1
B ．2 C
1 【答案】
C
考点：同角三角函数基本关系的应用. 6.将函数()()sin f x x ωϕ=+的图像向左平移2
π
个单位，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能等于（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12 【答案】B 【解析】
试题分析：因为将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象向左平移2
π
个单位．若所得图象与原图象重合，所以
2
π是已知函数周期的整数倍，即22π
ωπ=⋅
k （Z k ∈），解得k 4=ω（Z k ∈），A ，C ，D 正确．故选B ．
考点：函数()ϕω+=x A y sin 的图象变换.
7.设()y f t =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中024t ≤≤，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：
经长期观察，函数()y f x =的图像可以近似的看成函数()sin y k A t ωϕ=++的图像．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ） A ．[]123sin
,0,246y t t π
=+∈ B ．[]123sin ,0,246
2y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭
C ．[]123sin ,0,2412y t t π
=+∈ D ．[]123sin ,0,2412
2y t t ππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭ 【答案】A
考点：由()b x A y ++=ϕωsin 的部分图象确定其解析式.
【方法点睛】本题考查由()b x A y ++=ϕωsin 的部分图象确定其解析式以及应用，通过对实际问题的分析，转化为解决三角函数问题，属于基础题．在该题中通过排除法进行求解，由
()y f x =可以近似看成()sin y k A t ωϕ=++的图象，故可以把已知数据代入()sin y k A t ωϕ=++中，分别按照周期和函数值排除，即可求出答案．
8.已知12F F 、分别为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，若双曲线C 右支上
一点P 满足123PF PF =且212PF PF a =
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．3
B ．2 D 【答案】D
【解析】
试题分析：设t PF =2，则t PF 31=，∴a t t 23=-，∴a t =，由余弦定理可得
222222213253249cos a c a a a c a a PF F -=⨯⨯-+=∠，∵212PF PF a = ，∴22
223253a a
c a a a =-⋅⋅，∴a c 2=
，∴2=e ．故选D ．
考点：双曲线的简单性质.
【方法点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义、余弦定理的运用，考查向量的数量积公式，综合性较强，是高考中的高频考点，属于中档题．设t PF =2，则
t PF 31=，利
用双曲线的定义，可得a t =，利用余弦定理可得
2
2
2222213253249cos a c a a a c a a PF F -=⨯⨯-+=∠，再利用数量积公式，即可求出双曲线c 的离心率．
9.ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足,2AB a AC a b ==+
，，则下列结论错误的是（ ）
A ．1b =
B ．()
a b b +⊥ C ．1a b =
D ．a b +=
【答案】C
考点：平面向量数量积的运算. 10.若函数()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)1,-+∞ C ．(],1-∞ D ．[)1,+∞ 【答案】A 【解析】
试题分析：∵()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+在区间()0,π上是增函数，∴()0sin 2cos >-='x a x x f ，∴0sin sin 212>--x a x ，即0122>+--ax x ，(]1,0∈x ，
∴x x a 12+
-<，令()x x x g 12+-=，则()01
22<--='x
x g ，∴()x g 在(]1,0∈x 递减，∴()11-=<g a ，故答案为：1-<a ．故选：A ．
考点：（1）三角函数中的恒等变换应用；（2）正弦函数的图象. 11.()()()(),00,sin x
f x x x
ππ=
∈- 大致的图像是（ ） A ．B ．C ．D ．
【答案】C 【解析】
试题分析：由()()()x f x x x x x f ==--=
-sin sin ，∴()x f 为偶函数，故可排除B ；当⎪
⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πx 时，x x sin >，即
1sin >x
x
，则排除A 、D ；故选C. 考点：函数的图象. 12.已知函数()()(),ln 24x a
a x f x x e
g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实
数0x 使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）
A ．ln 2
B ．ln 21-
C ．ln 2-
D ．ln 21-- 【答案】D
考点：函数与方程的综合运用.
【方法点晴】本题考查了导数的综合应用及基本不等式的应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系的综合应用，属于中档题．令()()()x a a x e x e x x g x f --++-+=-42ln ，运用导数求出()2ln +-=x x y 的单调性求其最小值；运用基本不等式可得44≥+--x a a
x e e ，从而
可证明()()3≥-x g x f ，由等号成立的条件，从而解得a ．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.已知θ是钝角，且1sin 3θ=
，则cos 22πθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值为__________．
【答案】
9
考点：三角函数求值.
14.如图，半径为1的扇形AOB 的圆心角为120°，点C 在AB 上，且0
30COB ∠=，若
OC OA OB λμ=+
，则λμ+=____________．
【解析】
试题分析：如图所示， 建立直角坐标系．∵
30=∠BOC ，1=OC ．∴()
30sin ,30cos C ，
即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23，C ．∵ 120=∠AOB ，∴()
120sin ,120cos A ，即⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2321，A ．又()0,1B ，OC OA OB λμ=+ ．
∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫
⎝⎛-=λμλ2
3212123，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3
3233
μλ．
∴3=+μλ，
考点：向量的线性运算及几何意义.
15.n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()()()
*
0,431,n n n n a S a a n N >=+-∈．则{}n a 的通项
公式n a =_____________． 【答案】21n +
考点：数列递推式.
16.已知[],0,x y π∈，则()y x y x cos cos cos 2+++的最小值为_____________．
【答案】94
- 【解析】
试题分析：由于2
cos 2cos
2cos cos y
x y x y x -+=+， ()22cos 412cos 22cos 222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y x y x y x ，令2cos
y x t +=，2cos y x b -=， 故原式24121222422
2--⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=-+=b b t bt t ，故其最小值为94-，故答案为94-.
考点：（1）和差化积公式；（2）三角函数的最值.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
()()
2sin 2sin 2sin a A b B c C =++．
（1）求A 的大小；
（2）若a b ==D 是BC 的中点，求AD 的长．
【答案】（1）34A π=
；（2）AD =
（2）将a b ==222a b c =++，得2
6720c c +-=，
因为0c >，所以6c =．
又()12AD AB AC =
+
，所以()
()2
2221192cos 442
AD AB AC c cb A b =+=
++= ，
所以AD = 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理；（3）向量的模长.
【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC ∆中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解，在该题中还用到了最常见的求线段的长度即求相对应向量的模长.
18.（本题满分12分）设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()2125n n n a a a +++=，
且2
510a a =．
（1）求数列{}n a 通项公式及前n 项和为n S ；
（2）设()
*21log n n n b S a n N +=∈
，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 【答案】（1）221-=+n n S ；（2）()223n n T n n n +=-+ . 【解析】
试题分析：（1）先根据()1125n n n a a a +++=，求出q 的值，再由2510a a =求出数列{}n a 的
1a q =，故可求
出通项公式n a 和前项和n S ；（2）由（1）得出数列()()12211+-⋅+=+n n b n n ，然后利用分组求和和错位相减法相结合可得出结果．
两式相减得：
()()()()3133412322221222212212221
n n n n n n P n n n -++++--=++++-+=+
-+=-- ，
即22n n P n +=
， 又(){}12+n 的前n 项和为()()223413n n n +++++=+ ， 所以()2
2
3n n T n n n +=-+ ．
考点：数列的前n 项和.
【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于
n n n b a c +=，其中{}
n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()
11
+=
n n a n ，错位相减
法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}
n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等，在该题中利用了分组求和和错位相减法相结合的形式.
19.（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，0
//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面,1ABCD CF =． （1）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为()
90θθ≤，试求
cos θ的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）1cos 2θ⎤
∈⎥⎣
⎦.
（2）由（1）可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，
令(0FM λλ=≤≤，则())
()()0,0,0,,0,1,0,M ,0,1C A
B λ，
∴()
(),,1,1AB BM λ==-
，
∵0λ≤≤0λ=时，cos θ有最小值
7
，当λ=cos θ有最大值12．
∴1cos 72θ⎤
∈⎥⎣
⎦．
考点：（1）直线与平面垂直的判定；（2）二面角的平面角及其求法；（3）空间向量求平面的夹角.
【一题多解】对于（2）还可采用由：①当M 与F 重合时，7
7
cos =
θ．②当M 与E 重合时，过B 作CF BN //，且使CF BN =，连接EN ，FN ，则平面 MAB 平面BCF ，∵
CF BC ⊥，CF AC ⊥，∴⊥CF 平面ABC ，∴⊥BN 平面ABC ，∴θ=∠ABC ，∴
60=θ，∴2
1
cos =
θ．③当M 与E ，F 都不重合时，令30,<<=λλFM ，延长AM 交CF 的延长线于N ，连接BN ，∴N 在平面MAB 与平面BCF 的交线上，∵B 在平面
MAB 与平面BCF 的交线上，∴平面 MAB 平面BN BCF =，过C 作NB CH ⊥交NB 于
H ，连接AH ， 由（1）知，BC AC ⊥，又∵CN AC ⊥，∴⊥AC 平面BCN ，∴BN AC ⊥，
又∵BN CH ⊥，C CH AC = ，∴⊥NB 平面ACH ，∴BN AH ⊥，∴θ=∠A H C ，在
NAC ∆中，λ-=
33NC ，从而在NBC ∆中，()
3
332
+-=λCH ，∵
90=∠ACH ，∴()()334332
222+-+-⋅
=
+=λλCH AC AH ， ∴()4
31
cos 2
+-==λθAH CH ，∵
30<<λ， ∴
21
cos 77<<θ，综上所述，
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∈21,77cos θ．
20.（本题满分12分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励40慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.
（1）设闯过()
*
12n n n N ≤∈且关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为,,n n n A B C ，试求出
,,n n n A B C 的表达式；
（2）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？
【答案】（1）40n A n =，n n B n 222+=，()
122
1-=
n
n C ；（2）若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案．
（2）令n n B A >，即n n n 22402
+>，解得19<n ．由12≤n ，知n n B A >恒成立．令n n C A >，即
()140212
n
n >
-，解得10n <．故当10n <时，n A 最大；当1210≤≤n 时，n n A C >．由此能够选出最佳的选择奖励方案．
（2）令n n A B >，即2
4022n n n >+，解得19n <， ∵n N ∈且12n ≤，∴n n A B >恒成立， 令n n A C >，即()140212
n
n >
-，当1,2,3,,7,8n = 时，该不等式显然成立，当9n =时， ()9140936021255.52⨯=>-=，而当10n =时，()101
401040021511.52
⨯=<-=，
不等式n n A C <成立，同样可计算得当11,12n =时，n n A C <成立． ∴当10n <时，n A 最大；当1012n ≤≤时，n C 最大．
综上，若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案． 考点：数列的应用.
21.（本题满分12分）已知椭圆()22
122:10x y C a b a b
+=>>右焦点F 是抛物线22:4C y x =的
焦点，M 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且53
MF =． （1）求1C 的方程；
（2）已知菱形ABCD 的顶点A C 、在椭圆1C 上，顶点B D 、在直线7710x y -+=上，求直线AC 的方程．
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）10x y ++=. 【解析】
试题分析：（1）由抛物线的定义结合3
5
2=
MF 求出M 的坐标，由椭圆的定义可得a MF MF 221=+求得椭圆方程；（2）直线BD 的方程为：7710x y -+=，在菱形ABCD
中，BD AC ⊥，设直线AC 的方程为y x m =-+，联立直线的方程与椭圆的方程可得
22784120x mx m -+-=．由点A 、C 在椭圆1C 上，知0)124(286422>--=∆m m ，以
及A 、C 中点在BD 上，由此能导出直线AC 的方程．
（2）因为直线BD 的方程为7710x y -+=，ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，设直线AC 的方程为y x m =-+，
代入椭圆1C 的方程为22
143
x y +=，得22784120x mx m -+-=，
由题意知，()
22
64284120m m m ∆=-->⇔<<
设()()1122,,,A x y C x y ，则()121212886,22777
m m m x x y y m x x m +=+=-+=-+=， 所以AC 中点坐标为43,77m m ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由ABCD 为菱形可知，点43,77m m ⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线BD 上，
所以(437710177
m m
m -+=⇒=-∈
． ∴直线AC 的方程为1y x =--，即10x y ++=．
考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的综合问题.
【方法点晴】本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了“设而不求，整体代换”的解题思想方法，训练了特值验证法，考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力，是高考试卷中的压轴题．在圆锥曲线与直线的位置关系中，联立直线的方程与椭圆的方程构成方程组结合韦达定理属于最常见的题型，在该题中，同时也考查了菱形的性质.
22.（本题满分12分）已知函数()()2
ln ,01,x
f x a x x a b b R a a e =+--∈>≠且是自然对
数的底数．
（1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；
（2）当1a >时，若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，求实数a 的取值范围．（参考公式：()ln x
x
a a
a '=）
【答案】（1）()f x 在()0,+∞上单调递增；（2）[),e +∞.
试题解析：（1）()()
ln 2ln 21ln x x
f x a a x a x a a '=+-=+-．
当1a >时，ln 0a >，当()0x ∈+∞，时，20,1x x a >>，∴10x
a ->，
所以()0f x '>，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增；
当01a <<时，ln 0a <，当()0,x ∈+∞时，20,1x x a ><，∴10x
a -<，
所以()0f x '>，故函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 综上，()f x 在()0,+∞上单调递增，
（2）()2ln x f x a x x a b =+--，因为存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，所以当[]1,1x ∈-时，()()()()max min max min 1f x f x f x f x e -=-≥-．
()()ln 2ln 21ln x x f x a a x a x a a '=+-=+-，
①当0x >时，由1a >，可知10,ln 0x a a ->>，∴()0f x '>； ②当0x <时，由1a >，可知10,ln 0x a a -<>，∴()0f x '<； ③当0x =时，()0f x '=，∴()f x 在[]1,0-上递减，在[]0,1上递增， ∴当[]1,1x ∈-时，()()()()(){}
min max 01,max 1,1f x f b f x f f ==-=-， 而()()()11111ln 1ln 2ln f f a a b a b a a a a ⎛⎫
--=+---++-=--
⎪⎝⎭
，
考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）导数在最大、最小值问题中的应用.。