课件3：3.3.2 两点间的距离

【答案】2 2

9
9
解得x=- .即所求点P为 − ,0 ，
5
且|PA|=
5
9
−
5
+3
2
+
(0−4) 2
=
2 109
.
5
变式训练：已知点A(4,12)，P为x轴上的一点，且点P与
点A的距离等于13，则点P的坐标为
【解析】设点P的坐标为(x,0)，由|PA|=13，
得 (4−) 2 + (12−0) 2 =13，解得x=-1或x=9.
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【解析】易得|AB|= 17，|AC|= 17，|BC|=3 2，
故△ABC为等腰三角形.故选B.
【答案】B
)
3.设点A在x轴上,点B在y轴上，线段AB的中点P(2,-1)，则
|AB|=( A )
A.2 5
B.4 2
C.5
D.2 10
【解析】依题意设A(a,0)，B(0,b)，∵P(2,-1)为线段AB的
∴△ABC是等腰直角三角形.
7−1
解法二：∵kAC=
1−(−3)
=
3
−3−1 2
，kAB=
=- ，
2
3−(−3) 3
∴kAC·kAB=-1.∴AC⊥AB.
又|AC|= (1 + 3) 2 + (7−1) 2 = 52，
|AB|= (3 + 3) 2 + (−3−1) 2 = 52，
∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.
6
3
当且仅当x=0，y= a时，等号成立，
6
3
2
故所求最小值为a ,此时点P的坐标为 0, .
6
2
−
+y2
2
课堂检测
1.已知M(2,1)，N(-1,5)，则|MN|等于(
A.5
B. 37
C. 13
D.4
【解析】|MN|= (2 + 1) 2 + (1−5) 2 =5.
【答案】A
)
2.以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是(
建立直角坐标系，如图所示.
∵正三角形ABC的边长为a,
∴B

− ,0
2
，C

,0
2
，A 0,
3

2
.
设P(x,y),由两点间的距离公式，得
|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+ −
3

2
2
+ +
2
+y2+
2
2
2
5
3
=3x2+3y2- 3ay+ =3x2+3 − +a2≥a2，
4
|PA|=|PB|，并求|PA|的值.
【解析】利用两点间的距离公式建立关于未知数的方程
求解.
解：设点P(x,0)，
则有|PA|= ( + 3) 2 + (0−4) 2 = 2 + 6 + 25，
|PB|= (−2) 2 + (0− 3) 2 = 2 −4 + 7.
由|PA|=|PB|，得x2+6x+25=x2-4x+7，
【解析】可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的
形状.
解法一：∵|AB|= (3 + 3) 2 + (−3−1) 2 = 52,
|AC|= (1 + 3) 2 + (7−1) 2 = 52,
|BC|= (1−3) 2 + (7 + 3) 2 = 104,
∴|AB|=|AC|，且|AB|2+|AC|2=|BC|2.
5.做一做：已知点P1(4,2)，P2(2,-2)，则|P1P2|=
【解析】|P1P2|= (4−2) 2 + (2 + 2) 2 =2 5.
【答案】2 5
.
思考辨析
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内画“√”，
错误的画“×”.
(1)原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离. (
)
(2)已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当P1P2∥y轴(x1=x2)时，
3.你能结合问题1，2推导出平面上任意两点P1(x1,y1)，
P2(x2,y2)间的距离公式吗?
【答案】如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2，
所以|P1P2|= (2 −1 ) 2 + (2 −1 ) 2 .
4.填空：
(1)平面上任意两点间的距离公式：
平面上的两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)间的距离公式：
用两点间的距离公式证明.
证明：如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x
轴，建立直角坐标系.设A(0,a)，B(-b,0)，C(b,0)，
D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2，
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2，
|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2，
|P1P2|= (2 −1 ) 2 + (2 −1 ) 2 .
(2)两点间距离的特殊情况：
①原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|= 2 + 2 .
②当P1P2∥x轴(y1=y2)时，|P1P2|=|x2-x1|.
③当P1P2∥y轴(x1=x2)时，|P1P2|= |y2-y1| .
∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2，
∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
方法点睛根据图形的特点，建立适当的坐标系，可使运
算量减小，因此要注意建系方法.
变式训练：已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求
一点P，使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小，并求此最小值.
解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，
|P1P2|=|y2-y1|. (
)
(3)已知P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，当P1P2∥x轴(y1=y2)时，
|P1P2|=|x2-x1|. (
【答案】(1)√
)
(2)√
(3)√
典型例题
类型一 求两点间的距离
例1 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1) ， B(3,-3) ，
C(1,7)，试判断△ABC的形状.
解：取边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，
建立直角坐标系，如图所示，则三个顶点的坐标分别为
A(a,0)，B(0,0)，C(0,b).由中点坐标公式，得斜边AC的中
点M的坐标为

,
2 2
.
∴|MA|=
2
−
2
|MB|=
2
0−
2
|MC|=
2
0−
2
+
2
0−
2
+
2
0−
所以点P的坐标为(-1,0)或(9,0).
【答案】(-1,0)或(9,0)
.
典型例题
类型3 坐标法的应用
例3 已知Rt△ABC，∠B为直角，AB=a，BC=b，建立
适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边
AC的中点M到三个顶点的距离相等.
【解析】取直角边所在的直线为坐标轴建立坐标系，再
写出各顶点坐标，给出证明.
延伸探究：例1条件不变,求BC边上的中线AM的长和
AM所在直线的方程.
解：易知M(2,2),则|AM|= (−3−2) 2 + (1−2) 2 = 26.
−1
直线AM的方程为
2−1
=
−(−3)
2−(−3)
,即x-5y+8=0.
典型例题
类型2 求点的坐标
例2 已知点A(-3,4)，B(2, 3)，在x轴上找一点P，使
2
+
2
−
2
∴|MA|=|MB|=|MC|.
=
1
2
2 + 2 ，
=
1
2
2 + 2 ，
=
1
2
2 + 2 ，
数形结合思想的典范——坐标法
典例 如图，在△ABC中，|AB|=|AC|，D是BC边上异于B，
C的任意一点，求证：|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
【解析】建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标，应
3.3.2 两点间的距离
课标阐释
1.掌握两点间距离公
式及应用.
2.会运用坐标法证明
简单的平面几何问题.
思维脉络
问题思考
1.在x轴上两点A1(x1,0),B1(x2,0)间的距离如何计算？
【答案】|A1B1|=|x2-x1|.
2.在y轴上两点C(0,y1)，D(0,y2)间的距离如何计算？
【答案】|CD|=|y2-y1|.
中点，∴a=4，b=-2.∴A(4,0)，B(0,-2).
∴|AB|= (4−0) 2 + (0 + 2) 2 =2 5.
4.直线y=x+2被坐标轴截得的线段长为
.
【解析】令x=0，得y=2；令y=0，得x=-2，则点(0,2)和
点(-2,0)间的距离为 (0 + 2) 2 + (2−0) 2 =2 2.