2019届高考数学(理)倒计时模拟卷(6)含答案解析

2019高考数学（理）倒计时模拟卷（6）
1、已知集合{|(1)0},{1}U x x x A =-≤=,则U A =ð( ) A. [0,1] B. [0,1) C. (0,1) D. (,0](1,)-∞⋃+∞
2、在ABC △中，45A ∠=︒，4AB AC ==，D 是ABC △所在平面上的一点，若3BC DC =，则
DB AD ⋅=( )
16232
+ C. 162 D. 329-
3、复数z 满足1i 4i ()z +=-，则z =( ) A ．22i +
B ．12i +
C ．12i -
D ．22i -
4、具有线性相关关系的变量 ,x y ,满足一组数据如表所示,若y 与
x 的回归直线方程为ˆˆ3
32
y x =-,则 m 的值是( )
A. 4
B.
92
C. 5
D. 6
5、函数()ln sin f x x x =+ (x ππ-≤≤且0x ≠)的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
6、一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积是（ ）
A ．2π
B ．4π
C ．8π
D ．16π 7、已知 3353sin 5cos 1414ααππ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则5tan 14απ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
( )
A. 5 3-
B. 35-
C. 35
D. 53
8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2
22(1),a
n n n n
S a n b S -=-=,则数列{}n b 的最小项为( )
A.第3项
B.第4项
C.第5项
D.第6项
9、已知,?a b 是两条不重合的直线, ,αβ是两个不重合的平面,则下列命题中正确的是( ) A. //,//a b b α,则//a α B. ,,//a b αβαβ⊂⊂,则//a b C. //,a b a α⊥,则b α⊥
D.当a α⊂,且b α⊄时,若//b α,则//a b
10、如图,平行四边形ABCD 的四个顶点在双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>上,直线AB 的斜率11k =,
直线AD 的斜率21
2
k =
,则双曲线的离心率是( )
B.
62
31
6
11、函数()()sin ,0,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫
=+∈><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示,如果1223
x x π+=
,则()()12f x f x += ( )
B. C. 0 D.
12
12、已知()0,x
x xe
a f x e a
>=
+,若() f x 的最小值为1?-,则a = ( ) A. 21e B. 1e
C. e
D. 2e
13、已知二项式2
()n
x x
的二项式系数之和为1024,则展开式中的常数项是__________ 14、已知()2,1M -,设()0,1N x ,若22:1O x y +=上存在点P ,使得60MNP ∠=︒,则0x 的取值范围是
__________.
15、若函数2log y x =的图象上存在点(,)x y ，满足约束条件30220x y x y y m +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，则实数m 的最大值为______．
16、过抛物线2
2y x =焦点F 的直线交该抛物线于,?A B 两点,若2AF FB =,则AF =__________ 17、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 23a =(23)(sin sin )()sin b A B c b C -=-． 1.求角A 的大小；
2.求ABC △的面积的最大值．
18、如图,在四面体ABCD 中, 2
90,ABC ADC BC BD ∠=∠=︒
==
.
1.求证: AD BD ⊥
2.若AB 与平面BCD 所成的角为60,点E 是AC 的中点,求二面角C BD E --的大小.
19、某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:
1. 根据以上数据,能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
2.现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人,再随机抽取3人赠送礼品,记这3人中“微信控”的人数为X ,试求X 的分布列和数学期望.
参考公式: ()
()()()()
2
2
n ad bc k a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.
参考数据:
20、设直线:(1)(0)l y x k =+≠与椭圆2224(0)x y m m +=>相交于,?A B 两个不同的点,与 x 轴相交于点,C O 为坐标原点.
1.证明: 2
2
2
414k m k >+;
2.若3AC CB =,求△OAB 的面积取得最大值时椭圆的方程. 21、已知函数()1x f x ae lnx =--.
1.设2x =是()f x 的极值点,求a ,并求()f x 的单调区间;
2.若()0f x ≥,求a 的取值范围,
22、在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1231x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数).以坐标原点为极点, x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2sin p θ= 1.判断直线l 与圆C 的交点个数
2.若圆C 与直线l 交于,A B 两点,求线段AB 的长度
23、选修4-5:不等式选讲 已知函数()53f x x x =--+. 1.解关于 x 的不等式()1f x x ≥+;
2.记函数f ()x 的最大值为 m ,若0,0,a b >>44a b ab m e e e -⋅=,求ab 的最小值.
答案
1.B
2.A
解析：由题可知，22
()33DB CB AB AC =
=- 212
()333
AD AB BD AB AB AC AB AC =+=--=+
所以22212242
()()333999
DB AD AB AC AB AC AB AC AB AC ⋅=-⋅+=-+⋅
24216232
161616cos 459999
=⨯-⨯+⨯⨯︒=
故选A 3.D
解析：(1i 4)z +=，4
22i 1i
z ==-+. 4.A 5.C 6.C 7.A
解析：335553sin 3sin 23sin 5cos 14141414ααααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=π++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则55tan 143απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
,故选:A
8.A
解析：∵1(1)n n n a S S n -=->,
∴1n n n S a S --=,则21(1)n S n -=-,即2*
(N )n S n n =∈, ∴22
(1)21n a n n n =--=-.
易知0n b >,∵2121244
1442222,((1)n n n n n n n b b n b n -++====+,
当
11
n >+时, 21n >,∴当13n ≤<时, 1n n b b +>,当3n ≥时, 1n n b b +<,又23132
,281
b b ==,∴当3n =时, n b 由最小值.
9.C
解析：在A 中,有可能a α⊂,也可能a α⊄,故A 错; 在B 中,直线,?a b 可能平行,也可能异面,故B 错;
在C 中, //,a b a α⊥,则由线面垂直的性质定理得b α⊥,故C 正确; 在D 中,直线,?a b 也可能异面,故D 错. 故选:C .
在A 中,有可能a α⊂,也可能a α⊄;在B 中,直线,?a b 可能平行,也可能异面;在C 中,由线面垂直的性质定理得b α⊥;在D 中,直线,?a b 也可能异面.
本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 10.B
解析：由双曲线的对称性可知,,B D 关于原点对称,设
()00,A x y ,()11,B x y ,()11,D x y --,01101y y k x x -=
-,01
201
y y k x x +=+,把,A B 两点的坐标分别代入双曲线C 的方
程22221x y a b -=中,并相减,整理得2220122201y y b x x a -=-.∴2
220101011222
201010112
y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅===-+-.∴()222222a b c a ==-,∴6
2
e =
. 11.C
解析：由所给图像可得,该函数的图象关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称, 所以,当1223
x x π
+=时, ()()12f x f x =-,即()()120f x f x +=. 12.A
解析：由()x
x xe f x e a =+,得()()()()()()
22'x x x x x x x x x e xe e a xe e e e ax a f x e a e a ++-⋅++==++, 令()x g x e ax a =++,则()'0x g x e a =+>,则()g x 在(),-∞+∞上为增函数,又()1
10g e
-=>, ∴存在01x <-,使()00g x =,即()00f x '=,
000x e ax a ∴++=,①
函数() f x 在0(,)x -∞上为减函数,在()0,x +∞上为增函数,则() f x 的最小值为()0
0001x x x e f x e a
==-+,即
000x x x e e a =--,②
联立①②可得02x =-,把02x =-代入①,可得21
a e
=,故选A. 13.11520
14.3⎡⎢⎣ 15.1
解析：作出约束条件30
220x y x y y m +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
表示的平面区域，得到如图的三角形，
再作出对数函数2log y x =的图象，可得该图象与直线30x y +-=交于点(2,1)M ， 当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y 满足不等式组，且此时m 达到最大值， 即m 的最大值为1 故答案为：1．
作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，观察图形可得函数2log y x =的图象与直线30x y +-=交于点(2,1)，当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y 满足不等式组，且此时m 达到最大值，由此即可得到m 的最大值．
本题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题 16.
38
解析：
2,1cos 1cos p p θθ=⋅--可得1cos 3θ=,故3
1cos 8
p AF θ==-
17.1.在ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 3a =(23)(sin sin )()sin b A B c b C -=-． 整理得：()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-， 利用正弦定理得：222a b c bc -=-，
即：2221cos 22
b c a A bc +-==，
由于：0πA <<， 解得：π3
A =
． 2.由于π23,3
a A ==
， 所以：2222cos a b c bc A =+-，
整理得：22122b c bc bc bc bc =+-≥-=， 所以：113sin 1233222
ABC S bc A =
≤⋅⋅=△． 18.1. 由已知得222BC BD CD += BD BC ∴⊥
又,AB BC BD AB B ⊥⋂=
BC ∴⊥平面ABD
又CD AD ⊥,BC CD C ⋂=
AD ∴⊥平面BCD
AD BD ∴⊥
2.结合空间向量计算可得二面角C BD E --的大小为60.
19.1.由列联表可得()()()()()
()22
2
10026203024500.649 3.8415050564477n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯
所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关. 2. 3319
123105105
EX =⨯
+⨯+⨯= 解析：1.根据列表中的数据计算观测值2k ,对照数表得出结论;
2.根据题意知X 的可能取值,计算对应的概率值,即可求出X 的分布列与数学期望值. 20.1.依题意,直线l 显然不平行于坐标轴,故(1)y k x =+可化为1
1x y k
=-. 将1
1x y k
=
-代入2224x y m +=,消去
x ,
得2222(14)2(1)0k y ky k m +-+-=,① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点,
2
2
2
2
44(1)(14)0k k m k ∆=--+>,整理得2
2
2
414k m k >
+. 2.设1122(,),(,)A x y B x y .由①,得122
214k
y y k +=+,
因为3AC CB =,得1
2y 3y =-,代入上式,得2214k y k
-=+.
于是,△OAB 的面积1122221
1221442
k k S OC y y y k k =
⋅-==≤=+, 其中,上式取等号的条件是241k =,即1
2
k =±.
由22
14k
y k -=+,可得214y =±. 将211,24k y ==-及211,24
k y =-=
这两组值分别代入①,均可解出25
2
m =.所
以,△OAB 的面积取得最大值时椭圆的方程是2228
155
x y +=.
21.1. ()f x 定义域为()0,+∞,()1'x f x ae x
=- ∵2x =是()f x 极值点 ∴()21
'202f ae =-
=,∴212a e
=
∴()()22111ln 1,'22x x f x e x f x e e e x =
--=- 设()()21102x g x e x e x -->,则()2211'02x g x e e x
--> 所以()g x 在()0,+∞上单调递增
又()22112022
g e e =⨯-= 所以当()0,2x ∈时, ()0g x <即()'0f x <
所以()f x 单调递减
当时()2,x ∈+∞,()0g x >即()'0f x >
所以()f x 单调递增 综上2
12a e =,()f x 的单调递增区间为()2,+∞,单调递减区间为()0,2 2.∵()f x 定义域为()0,+∞,0x e >
∴()0f x ≥恒成立ln 1x x a e +⇔≥
在()0,+∞恒成立 令()()ln 10x
x g x x e +=>,只需()max a g x ≥ ()()()
21ln 1ln 1'x x x x e x e x x x g x e e -+⋅--== 令()()1ln 10u x x x x =-->,则()211'0u x x x
=--< ∴()u x 在()0,+∞上单调递减
而()10u =,∴当()0,1x ∈时, ()0u x >即()'0g x >,()g x 单调递增
当()1,x ∈+∞时, ()0u x <即()'0g x <,()g x 单调递减
所以()()max 11g x g e
=-, ∴1a e ≥,故a 的取值范围是1,e ⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦
22.1.∵直线l 的参数方程为1231x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数).
∴消去参数t 得直线l 310x y +-=,
∵圆C 的极坐标方程为2sin p θ=,即22sin p p θ=,
∴由222,sin p x y p y θ=+=,得圆C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.
∵圆心()0,1在直线l 上,
∴直线l 与圆C 的交点个数为2
2.由1知圆心()0,1在直线l 上,
∴AB 为圆C 的直径,
∵圆C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.
∴圆C 的半径1412
r ==, ∴圆C 的直径为2,
2AB ∴=
23.1.当3x ≤-时,由531x x x -++≥+,得7x ≤,所以3x ≤-;当35x -<<时,
由531x x x ---≥+,得13x ≤,所以133
x -<≤;当5x ≥时,由531x x x ---≥+, 得9x ≤-,无解.综上可知, 13x ≤
,即不等式()1f x x ≥+的解集为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 2.因为53538x x x x --+≤---=,所以函数f ()x 的最大值8m =.应为448a b ab e e e -⋅=,所以448a b ab +=+.又0,0a b >>,所以4244a b ab ab +≥=,所以有20ab ab -≥,0ab >,所
2>,4ab ≥,即ab 的最小值为4。