三角形的各个心

三角形中心
三角形只有五种心
重心:三中线的交点，三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边
中点距离的2倍；
垂心:三高的交点；
内心:三内角平分线的交点，是三角形的内切圆的圆心的简称；
外心:三中垂线的交点；
旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.（共有三个.）是三角形的
旁切圆的圆心的简称.
当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心.
三角形重心
重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。

证明过程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O, CO 延长线交AB于F。

求证：F为AB中点。

证明：根据燕尾定理，S △ AOB=S △ AOC，又S △ AOB=S △ BOC，二S△ A OC=S △ BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 : 1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为
（（X1+X2+X3）/3,（ Y1+Y2+Y 3）/3）;空间直角坐标系——横坐标：（X1+X2+X3）/3 纵坐标：（Y1+Y2+Y3）/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。

重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为重心”重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好.
三角形垂心的性质
设/ ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角
A、B、C 的对边分别为a、b、c, p=（a+b+c）/2 .
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心
三角形的垂心；
3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

4、△ ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形，且AH HD=BH HE=CH HF。

5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一一垂心组）。

6>△ ABC , △ ABH , △ BCH , △ ACH的外接圆是等圆
7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则
AB/AP tanB+AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC 。

8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9、设0 , H分别为△ ABC的外心和垂心，则/ BAO= / HAC，/ ABH= / O BC，/ BCO= / HCA。

10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之
和的2倍。

11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形
（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。

12、
西姆松（Simson）定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形
的外接圆上。

三角形内心
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定义
三角形内心的性质
［编辑本段］
定义
在三角形中，三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心，
［编辑本段］
三角形内心的性质
设/ ABC的内切圆为。

l(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c, p=(a+b+ c)/2 .
1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心.
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
3、r=S/p .
4、在Rt△ ABC 中，/ C=90° , r=(a+b-c)/2 .
5、/ BIC=90° +A/2 .
6、点O是平面ABC上任意一点，点I是/ ABC内心的充要条件是：
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)二向量0.
7、点O是平面ABC上任意一点，点I是/ ABC内心的充要条件是：
向量OI二［a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)］/(a+b+c).
8、/ ABC 中，A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3 , y3)，那么/ ABC 内心I 的坐标是：
(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c) , ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/
(a+b+c)).
9、(欧拉定理)/ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I 分别为其外心和内心，则OI八2二R^2-2Rr .
10、(内角平分线分三边长度关系)
/ABC中，0为内心，/ A、/ B、/ C的内角平分线分别交BC、AC、AB
于Q、P、R,
则BQ/QA=a/b,CP/PA=a/c,BR/RC=c/b.
三角形外心
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定义
三角形外心的性质
［编辑本段］
定义
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心
［编辑本段］
三角形外心的性质
设/ ABC的外接圆为。

G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c , p=(a+ b+c)/2 .
1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心，
2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三
角形的外心在斜边上，与斜边中点重合
3、GA=GB=GC=R .
3、/ BGC=2 / A，或/ BGC=2(180 - / A).
4、R=abc/4S / ABC .
5、点G是平面ABC上一点，那么点G是/ ABC外心的充要条件是：
(向量GA+向量GB)向量AB=(向量GB+向量GC)向量BC=(向量GC+向量
GA)向量CA=向量0.
6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是
/ ABC外心的充要条件是:
向量PG=((tanB+tanC) 向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC) /2(ta nA+ta nB+ta nC)
7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是 / ABC外心的充要条件是：
向量PG=(cosA/2sinBsinC) 向量PA+(cosB/2sinCsinA) 向量PB+(cosC/2si nAsinB)向量PC.
8、设di，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c 仁d2d3 ，c2=d1d3 ，c3=d1d2 ；c=c1+c2+c3 。

重心坐标：((c2+c3)/2c ，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。

塞瓦(GiovanniCeva , 1648〜1734)意大利水利工程师，数学家。

塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。

编辑本段具体内容
塞瓦定理
在厶ABC内任取一点0,
直线AO BO CO分别交对边于 D E、F,则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证法简介
(I)本题可利用梅涅劳斯定理证明：
•••△ ADC被直线BOE所截，
••• (CB/BD)*(D0/0A)*(AE/EC)=1 ①
而由△ ABD被直线COF所截，• (BC/CD)*(D0/0A)*(AF/FB)=1 ②
②宁①：即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
(H)也可以利用面积关系证明
COD)=S\ AOB/S A AO(③
同理CE/EA=SA BOC/SA AOB^ AF/FB=S A AOC/SX BO(⑤
③X④X⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点：
设三边AB BG AC的垂足分别为 D E、F，
根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA )
/[(CD*ctgB )]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1 ，所以三条高CD AE、BF交于一点。

可用塞瓦定理证明的其他定理；
三角形三条中线交于一点( 重心)：如图5D,E分别为BC,AC中点所以
BD=DCAE=E所以BD/DC=1CE/EA=1
且因为AF=BF所以AF/FB必等于1所以AF=FB所以三角形三条中线交于一占
J、、、
此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：
在厶ABC的三边BC CA AB或其延长线上分别取L、M N三点，又分比是入二BL/LC a =CM/MA v二AN/NB于是AL、BM CN三线交于一点的充要条件是
入^v =1。

(注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是入av= -1 )
编辑本段塞瓦定理推论
1.设E是厶ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于 C G F,贝S
(BD/BC) • (CE/AE) • (GA/DG)=1
(BD/CD) • (CE/AE) • (AF/FB)=K ( K 为未知参数)且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)二K
(K为未知参数)又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1
2.塞瓦定理角元形式
AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：
(sin / BAD/sin / DAC)*(sin / ACF/sin / FCB)*(sin / CBE/sin / EBA)=1
由正弦定理及三角形面积公式易证
3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充
分必要条件是：
(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1
由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。

4.还能利用塞瓦定理证三角形三条高交于一点
设三边AB BG AC的垂足分别为 D E、F,根据塞瓦定理逆定理，因为
(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)二[(CD*ctgA )
/[(CD*ctgB ) ]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1 ，所以三条高CD AE、BF交于一点。