高中数学 复习课(三)概率教学案 新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学教学案

复习课(三) 概 率 古典概型
古典概型是命题的热点，主要考查古典概型概率的求法，常与互斥事件、对立事件结合在一起考查．也有时与抽样方法交汇命题．主要以选择题、填空题为主．有时也出解答题，属中低档题．
[考点精要]
1．互斥事件与对立事件的概率
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
(2)当事件A 与B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，当事件A 与B 对立时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．
(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解．
2．古典概型的求法 对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P (A )＝m n 求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．
[典例] 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)假设从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)假设从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
[解] 甲校两名男教师分别用A ，B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E ，F 表示．
(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．
从中选出的2名教师性别相同的结果有：
(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，
所以选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49
. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．
从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．
所以，选出的2名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25
. [类题通法]
解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
[题组训练]
1．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为( )
A.13
B.110
C.25
D.310
解析：选D 设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．其中挑选出2名金
鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P ＝310
. 2．随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3 000名学生的体重发育评价情况，得下表：
(1)求x 的值； (2)假设用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？
(3)y ≥243，z ≥243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．
解：(1)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15，可知x 3 000
＝0.15，所以x ＝450. (2)由题意，可知肥胖学生人数为y ＋z ＝500(人)．设应在肥胖学生中抽取m 人，那么m 500＝603 000
.所以m ＝10. 即应在肥胖学生中抽10名．
(3)由题意，可知y ＋z ＝500，且y ≥243，z ≥243，满足条件的基本事件如下： (243,257)，(244,256)，…，(257,243)，共有15组．
设事件A ：“肥胖学生中男生不少于女生〞，即y ≤z ，满足条件的(y ，z )的基本事件有：
(243,257)，(244,256)，…，(250,250)，共有8组，所以P (A )＝815
. 所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为815
. 几何概型
题型多为选择题和填空题，主要涉及长度型、面积型以及体积型的几何概率模型．属低档题．
[考点精要]
(1)几何概型满足的两个特点：①等可能性；②无限性．
(2)几何概型的概率求法公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度面积、体积试验的全部结果长度面积、体积
. [典例] (1)平面区域
D 1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y | ⎩⎪⎨⎪⎧ |x |＜2，|y |＜2，D 2＝{}x ，y |x －22＋y －22＜4.在区域D 1内随机选取一点P ，那么点P 恰好取自区
域D 2的概率是( )
A.14
B.π4
C.π16
D.π32 (2)把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，那么“其中一段长度大于另一段长度2倍〞的概率为________．
[解析] (1)因区域D 1和D 2的公共部分是一个半径为2的圆的14
，从而所求概率P ＝14×22π42＝π16
，应选C. (2)将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于13
木棒长度的区域内，故所求概率为2×13＝23
. [答案] (1)C (2)23
[类题通法]
几何概型问题的解题方法
(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P (A )＝m n 求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．
[题组训练]
1．如图，两个正方形的边长均为2a ，左边正方形内四个半径为a 2
的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a 的内
切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P 1，P 2，那么P 1，P 2的大小关系是( )
A ．P 1＝P 2
B ．P 1＞P 2
C ．P 1＜P 2
D ．无法比较
解析：选A 由题意知正方形的边长为2a.左图中圆的半径为正方形边长的
1
4
，故四个圆的面积和为πa2，右图中圆的半径为正方形边长的一半，圆的面积也为πa
2，故P
1＝
P2.
2．在区间[0,2]上随机地取一个数x，那么事件“－1≤log
1
2
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
x＋
1
2
≤1〞发生的概率为( )
A.
3
4
B.
2
3
C.
1
3
D.
1
4
解析：选A 不等式－1≤log
1
2
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
x＋
1
2
≤1可化为log
1
2
2≤log
1
2
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
x＋
1
2
≤log
1
2
1
2
，即
1
2
≤x ＋
1
2
≤2，解得0≤x≤
3
2
，故由几何概型的概率公式得P＝
3
2
－0
2－0
＝
3
4
.
3．区域E＝{(x，y)|0≤x≤3,0≤y≤2}，F＝{(x，y)|0≤x≤3,0≤y≤2，x≥y}，假设向区域E内随机投掷一点，那么该点落入区域F内的概率为________．
解析：依区域E和区域F的对应图形如下图．
其中区域E的面积为3×2＝6，区域F的面积为
1
2
×(1＋3)×2＝4，所以向区域E内随机投掷一点，该点落入区域F内的概率为P＝
4
6
＝
2
3
.
答案：
2
3
1.同时掷3枚质地均匀的骰子，记录3枚骰子的点数之和，那么该试验的基本事件总数是( )
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选B 点数之和可以为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18，共16个
基本事件．
2．某娱乐栏目中的“百宝箱〞互动环节是一种竞猜游戏，游戏规那么如下：在20个商标中，有5个商标的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一X 苦脸，假设翻到带苦脸的商标就不获奖．参加这个游戏的观众有三次翻商标的机会．某观众前两次翻商标均获假设干奖金，如果翻过的商标不能再翻，那么这位观众第三次翻商标获奖的概率是( )
A.14
B.16
C.15
D.320
解析：选B 该观众翻两次商标后，还有18个商标，其中有3个含奖金，所以第三次
翻商标获奖的概率为P ＝318＝16
. 3．欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元〞，卖油翁的技艺让人叹为观止．铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔．假设你随机向铜钱上滴一滴油，那么这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )
A.9π4
B.94π
C.
4π9D.49π 解析：选D 此题显然是几何概型，用A 表示事件“这滴油正好落入孔中〞，可得P (A )＝正方形的面积圆的面积＝12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫322π＝49π. 4．掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M ＝{一次正面向上，一次反面向上}，事件N ＝{至少一次正面向上}．那么以下结果正确的选项是( )
A ．P (M )＝13，P (N )＝12
B ．P (M )＝12，P (N )＝34
C ．P (M )＝13，P (N )＝34
D ．P (M )＝12，P (N )＝12
解析：选B 掷一枚质地均匀的硬币两次，所有基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，
正)，(反，反)，所以P (M )＝24＝12，P (N )＝34
. 5．在全运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．假设从中任选3人，
那么选出的火炬手的编号相连的概率为( )
A.310
B.58
C.
710D.25 解析：选A 从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相
连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，所以选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310
. 6．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么点P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的概率为( )
A.2536
B.16
C.14
D.112
解析：选D 基本事件为6×6＝36，P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的有(1,1)，(1,2)，
(2,1)，所以P ＝36×6＝112
. 7．为了调查某某阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只做过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中做过标记的有2只，估算该保护区共有鹅喉羚________只．
解析：设保护区内共有鹅喉羚x 只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以400x ≈2800
，解得x ≈160 000.
答案：160 000
8．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{}0，1，2，…，9.假设|a －b |≤1，那么称甲、乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，那么他们“心有灵犀〞的概率为________．
解析：当a 为0时，b 只能取0,1两个数；当a 为9时，b 只能取8,9两个数；当a 取其他数时，b 都可以取3个数，所以他们“心有灵犀〞的情况共有28种，又基本事件总数
为100，所以所求的概率为28100
＝0.28. 答案：0.28
9．在一棱长为6 cm 的密闭的正方体容器内，自由飘浮着一气泡(大小忽略不计)，那么
该气泡距正方体的顶点不小于1 cm 的概率为________．
解析：距离顶点小于1 cm 的所有点对应的区域可构成一个半径为1 cm 的球，其体积为4π3，正方体的体积为216，故该气泡距正方体的顶点不小于1 cm 的概率为1－π162
. 答案：1－π162
10．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2
＝0.假设a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根〞，当a ≥0，b ≥0时，此方程有实根的条件是a ≥b .
从两组数中各取数一个数的所有的基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个(其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值)，事件A 包含的基本事件有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，
(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共9个．故P (A )＝912＝34
. 11．一个盒子里装有三X 卡片，分别标记有数字1,2,3，这三X 卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一X ，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c 〞的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同〞的概率．
解：(1)由题意，(a ，b ，c )所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c 〞为事件A ，
那么事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，
所以P (A )＝327＝19
， 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c 〞的概率为19
. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同〞为事件B ，
那么事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P (B )＝1－P (B )＝1－3
27
＝89，因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同〞的概率为89
. 12．如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0，0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．
(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
(2)求这3点与原点O 共面的概率．
解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种；y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种；z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．
所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共4＋4＋4＋8＝20种．
(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.
(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共
面的概率为P 2＝1220＝35
.
(时间120分钟 总分值150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品〞的概率为0.65，“抽到二等品〞的概率为0.3，那么“抽到不合格品〞的概率为( )
A ．0.95
B ．0.7
C ．0.35
D ．0.05
解析：选D “抽到一等品〞与“抽到二等品〞是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品〞的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品〞与“抽到一等品或二等品〞是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.
2．总体容量为203，假设采用系统抽样法进行抽样，当抽样间距为多少时不需要剔除
个体( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
解析：选D 由于203＝7×29，即203在四个选项中只能被7整除，故间隔为7时不需剔除个体．
3．如下图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ≤－1，0，－1＜x ≤2，
x 2，x ＞2
的值的程序框图，那么在①、②、③处应分别填入的是( )
A ．y ＝－x ，y ＝0，y ＝x 2
B ．y ＝－x ，y ＝x 2，y ＝0
C ．y ＝0，y ＝x 2，y ＝－x
D ．y ＝0，y ＝－x ，y ＝x 2
解析：选B 框图为求分段函数的函数值，当x ≤－1时，y ＝－x ，故①y ＝－x ，当－1＜x ≤2时，y ＝0，故③为y ＝0，那么②y ＝x 2.
4．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：
kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如下图)．根据
一般标准，高三男生的体重超过65 kg 属于偏胖，低于55 kg 属于偏
瘦．图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05,0.04,0.02,0.01，第二小组的频数为400，那么该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为( )
A ．1 000,0.50
B ．800,0.50
C ．800,0.60
D ．1 000,0.60
解析：选D 第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为4000.40
＝1 000(人)；体重正常的频率为0.40＋0.20＝0.60.
5．现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是16
，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a ，b 时，那么满足a ＜|b 2－2a |＜10a
的概率为( ) A.118B.112 C.19D.16
解析：选B ∵试验发生包含的总的基本事件有36种，满足条件的事件需要进行讨论． 假设a ＝1时，b ＝2或3；假设a ＝2时，b ＝1； ∴共有3种情况满足条件， ∴概率为P ＝336＝112
.
6．为积极倡导“学生每天锻炼一小时〞的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，假设记分员计算无误，那么数字x 应该是( )
评委给高三(1)班打出的分数
A.2 B ．3 C ．4 D ．5
解析：选A ∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，即
89＋88＋92＋90＋x ＋93＋92＋91
7＝91.
∴635＋x ＝91×7＝637，∴x ＝2.
7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，那么动点P 到定点A 的距离|PA |＜1的概率为( )
A.14
B.12
C.π
4
D ．π 解析：选C 如下图，动点P 在阴影部分满足|PA |＜1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝
π
4
，又正方形的面积是S ＝1，那么动点P 到定点A 的距离|PA |＜1的概率为
S ′S ＝π4
. 8.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示(如右图)．s 1，s 2
分别表示甲、乙选手分数的标准差，那么s 1与s 2的关系是( )
A ．s 1＞s 2
B ．s 1＝s 2
C ．s 1＜s 2
D ．不确定
解析：选C 由茎叶图可知：甲得分为78,81,84,85,92；乙得分为76,77,80,94,93.那么x 甲＝84，x 乙＝84，那么s 1＝1
5
[78－842
＋…＋92－84
2
]＝22，同理s 2＝62，
故s 1＜s 2，所以选C.
9．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，那么取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.310
B.1
5 C.
110D.112
解析：选A 随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{}1，2，{}1，5，{}2，4，共3种，故所求概率为3
10
.
10．将二进制数110 101(2)转化为十进制数为( ) A ．106 B ．53 C ．55 D ．108
解析：选B 110 101(2)＝1×25
＋1×24
＋0×23
＋1×22
＋0×2＋1×20
＝53.
11．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8,9～16，…，153～160)，假设第16组得到的为126，那么第1组中用抽签的方法确定的是( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
解析：选B ∵160
20＝8，∴抽样间隔为8，
∴第1组中为126－15×8＝6.
12．某公司共有职工8 000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表： 所用时间
(分钟)
[0,20)
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100]
人数 25 50 15 5
5
y t 钟)的关系是y ＝200＋40⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20，其中⎣⎢⎡⎦⎥⎤
t 20表示不超过t
20的最大整数．以样本频率为概率，那
么公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( )
A ．0.5
B ．0.7
C ．0.8
D ．0.9
解析：选D 由题意知y ≤300， 即200＋40⎣⎢⎡⎦⎥⎤
t 20≤300，
即⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
t 20≤2.5，解得0≤t <60， 由表可知t ∈[0,60)的人数为90人， 故所求概率为90
100
＝0.9.
二、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：0 001，0 002，…，1 000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个为0 015，那么第40个为________．
解析：根据系统抽样方法的定义，得第40个对应15＋39×20＝795，即得第40个为0 795. 答案：0 795
14．有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，那么使两截的长度都大于1
8米
的概率为________．
解析：如图，将细绳八等分，C ，D 分别是第一个和最后一个等分点，那么在线段CD 的任意位置剪断此绳得到的两截细绳长度都大于1
8米．由几何概型的概率计算公式可得，两截
的长度都大于1
8米的概率为P ＝681＝34
.
答案：3
4
15．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，那么这两个球的
编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．
解析：从中任意取出两个的所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(2,3)，(2,4)，…，(6,7)共21个．而这两个球编号之积为偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(6,7)共15个．故所求的概率P ＝1521＝57
.
答案：57
16．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
由表中数据得到的线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元．
解析：由表中数据得x ＝4，y ＝9，代入回归直线方程得a ^＝4.6，∴当x ＝9时，y ^＝1.1×9＋4.6＝14.5.
答案：14.5
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题总分值10分)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下：
(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在图中画出频率分布直方图；
(2)假设以上述频率作为概率，标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批球的直径误差不超过0.03 mm的概率；
(3)统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．解：(1)频率分布表如下：
分组频数频率频率组距
[39.95,39.97)100.10 5
[39.97,39.99)200.2010
[39.99,40.01)500.5025
[40.01,40.03]200.2010
合计100 1
(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97,40.03]X围内的概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.
(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．
18.(本小题总分值12分)某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌
电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中
各随机选购一种型号的电脑，有关报价信息如图．
(1)写出所有选购方案；
(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？
解：(1)画出树状图如图：
那么选购方案为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )．
(2)A 型号电脑被选中的情形为(A ，D )，(A ，E )，即基本事件为2种，所以A 型号电脑被选中的概率为P ＝26＝1
3
.
19．(本小题总分值12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如下图.
(1)计算甲班的样本方差；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．
解：(1)甲班的平均身高为
x ＝1
10
(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，
甲班的样本方差为
s 2＝
110
[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2
＋(170－170)2
＋(171－170)2
＋(179－170)2
＋(179－170)2
＋(182－170)2
]＝57.2.
(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中〞的事件为A ，用(x ，y )表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学的身高，那么所有的基本事件有
(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，
(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，
而事件A 含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件， 故P (A )＝410＝2
5
.
20．(本小题总分值12分)甲、乙两人参加知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解：甲、乙两人各抽一题共有20种情况．把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为
p 1，p 2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题〞的情况有：(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，
(x 3，p 1)，(x 3，p 2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题〞的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，
x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题〞的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题〞的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种．
(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题〞的概率为620＝3
10，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题〞的概率为620＝3
10
，
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题〞的概率为310＋310＝3
5.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题〞的概率为220＝1
10，故“甲、乙两人至少有一人抽到选
择题〞的概率为1－110＝9
10
.
21．(本小题总分值12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：
(1)
(2)求出y 关于x 的线性回归方程； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？
注：b ^＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x 2
，a ^＝y ^－b ^
x .
解：(1)散点图如下图． (2)由表中数据得：
∑i ＝1
4
x i y i ＝52.5，x ＝3.5，
y ＝3.5，∑i ＝1
4
x 2i ＝54.
∴b ^＝52.5－4×3.5
2
54－4×3.52＝0.7，
∴a ^
＝3.5－0.7×3.5＝1.05， ∴y ^
＝0.7x ＋1.05.
(3)将x ＝10代入回归直线方程， 得y ^
＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．
22．(本小题总分值12分)(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．
图①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评
[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 分分组
频数281410 6
(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
图②
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意解：(1)如下图．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意〞；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意〞．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．。