湖北省襄阳市高三数学调研三月统一测试 文

机密★启用前 试卷类型：A
2013年3月襄阳市普通高中调研统一测试
高三数学（文科）
注意事项：
1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。

非网评考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡密封线内，将考号最后两位填在登分栏的座位号内。

网评考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好条形码或将考号对应数字涂黑。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择答题用0．5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的清洁。

考试结束后，监考人员将答题卡收回，按小号在上，大号在下的顺序封装。

一、选择题（本大题10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．已知集合A={x |0< x <3}，B={x |x 2
≥4}，则A ∩B=
A ．{ x |-2<x <0}
B ．{x |2<x <3}
C ．{ x |2≤x <3}
D ．{ x |x ≤-2或2≤x <3}
2．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n 的值为 A ．100 B ．1000 C ．90 D ．900 3．设向量a =（1，0），b =（1，1），则下列结论正确的是 A ．|a |=| b | B ．a ·b =
2
2
C
． a -b 与a 垂直 D ．a ∥b 4．若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+≤0201y x y x y ，则z =x -2y 的最大值为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．已知条件p ：k =3；条件q ：直线y = kx +2与x 2+y 2
=1相切，则p 是q 的
A ．充分必要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．充分不必要条件
D ．必要不充分条件
6．在等差数列{a n }中，若a 4+ a 6+ a 8+ a 10+ a 12=90，则a 10-3
1
a 14的值为 A ．12 B ．14 C ．16 D ．18
7．若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为2
1
，则该几何体的俯视图可以是
8．若F 1、F 2为双曲线C ：4
2x -y 2
=1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上∠F 1P F 2=60°，则P 到x
轴的距离为 A ．
55 B ．515 C ．5152 D ．20
15 9．设不等式组⎩⎨
⎧≤≤≤≤2
02
0y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点，则此点到坐标原点
的距离大于1的概率为 A ．
21 B ．1-4
π C ．41 D ．1-16π
10．已知定义在R 上的偶函数，f （x ）满足f （x+1）=- f （x ），且当x ∈[0，1]时f （x ）= x ，
则函数y = f （x ）-㏒3|x |的零点个数是
A ．多于4个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。

将答案填在答题卡相应位置上。

） 11．如果：
i
-12
=1+mi （m ∈R ，i 是虚数单位），那么m = ． 12．已知x >0，y >0，
x 1+1
2+y =2，则2x+y 的最小值为 ． 13．某中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0．19．
高一 高二 高三 女生 373 x
y
男生 377 370 z
（Ⅰ）x = ▲ ；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取 ▲ 名．
14．若命题“存在实数x ，使x 2
+ax +1<0”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为 ．
15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边，若b =5，∠B=
4
π，tan A =2，则
（Ⅰ）sinA= ▲ ； （Ⅱ）a = ▲ ．
16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S= ▲ ．
17．观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102
，…，根据上述规律，第五个等式为 ▲ ．
三、解答题（本大题共5小题，满分65分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 18．（本大题满分12分）
已知△ABC 的面积S 满足半23≤S≤2
3
，且AB ·BC =3，AB 与BC 的夹角为θ． （1）求θ的取值范围； （2）求函数f （θ）=3sin
2
θ+23sin θ·cos θ+cos 2θ的最大值及最小值．
19．（本大题满分12分）
已知数列{a n }，如果数列{b n }满足b 1= a 1，b n = a n + a n-1（n ≥2，n ∈N *
），则称数列{b n }是数列{a n }的“生成数列”．
（1）若数列{a n }的通项为a n =n ，写出数列{a n }的“生成数列” {b n }的通项公式； （2）若数列{c n }的通项为c n =2 n +b （其中b 是常数），试问数列{c n }的“生成数列” {q n }是否是等差数列，请说明理由；
（3）已知数列{d n }的通项为d n =2n
+n ，求数列{d n }的“生成数列” {p n }的前n 项和T n ． 20．（本大题满分13分） 在等腰梯形PDCB 中，DC ∥PB ，PB=3DC=3，PD=2，DA ⊥PB ，垂足为A ，将△PAD 沿AD 折起，使得PA ⊥AB ，得到四棱锥P-ABCD ．
（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；
（2）点M 在棱PB 上，平面AMC 把四棱锥P-ABCD 分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比
ABC M ACD PM V V --=4
5
时，证明：PD//平面AMC ．
21．（本大题满分14分）
设椭圆22a x +22
b
y =1（a>b>0）的左、右顶点分别为A （-2，0）、B （2，0），
离心率e =
2
3．过该椭圆上任一点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且|QP|=|PC|． （1）求椭圆的方程；
（2）求动点C 的轨迹E 的方程；
（3）设直线AC （C 点不同于A 、B ）与直线x =2交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．
22．（本大题满分14分）
若函数f （x ）满足：在定义域内存在实数x 0，使f （x 0+k ）= f （x 0）+ f （k ）（k 为常数），则称“f （x ）关于k 可线性分解”．
（1）函数f （x ）=2x + x 2
是否关于1可线性分解？请说明理由；
（2）已知函数g （x ）=lnx -ax +1（a >0）关于a 可线性分解，求a 的范围；
（3）在（2）的条件下，当a 取最小整数时，求g （x ）的单调区间，并证明不等式：
（n ！）2≤e n （n -1）
（n ∈N *）．
2013年3月襄阳市高中调研统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。

当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

一．选择题：CACBC ACBDB
二．填空题：11．1 12．3 13．（Ⅰ）380 （Ⅱ）12 14．a <－2或a > 2
15．（Ⅰ） 16．20132014 17．13 + 23 + 33 + 43 +53 + 63 = 212
三．解答题： 18．（1）解：因为3
AB BC ⋅=u u u r u u u r
，
AB
u u u r 与
BC
u u u r 的夹角为θ与的夹角为θ
所以
||||cos 3
AB BC θ⨯⨯=u u u r
2分
113
||||sin()||||sin tan 222S AB BC AB BC πθθθ
=⨯⨯-=⨯⨯=⨯u u u r u u u r u u u r u u u r 4分
又32S ≤，所以33tan 22θ≤，即tan 1θ≤，
又[0]θπ∈，
，所以[]
6
4ππ
θ∈，． 6分
（2）解：
22()3sin cos cos 2cos 22
f θθθθθθθ=+⋅+-+
2sin(2)2
6
π
θ=-
+ 8分
因为6
4π
πθ≤≤
，所以26
6
3π
π
π
θ-
≤≤
， 10分
从而当
6π
θ=
时，()f θ的最小值为3，当4π
θ=
时，()f θ2． 12分
19．（1）解：当n ≥2时，bn = an + an －1 = 2n －1 2分 当n = 1时，b1 = a1 = 1适合上式，
∴bn = 2n －1 4分
（2）解：
214222n b
n q n b n +=⎧=⎨
+-⎩≥ 6分 当b = 0时，qn = 4n －2，
由于qn + 1－qn = 4，所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列 当b ≠0时，由于q1 = c1 = 2 + b ，q2 = 6 + 2b ，q3 = 10 + 2b
此时q2－q1≠q3－q2，所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列。

8分
（3）解：1
3
132211
n n n p n n -=⎧=⎨⋅+->⎩ 9分
当n > 1时，21
3(323)(325)(3221)n n T n -=+⋅++⋅+++⋅+-L
2312
33(2222)(35721)324n n n n -++++++++++-=⋅+-L L 11分
又n = 1时，T1 = 3，适合上式
∴
2
324n n T n =⋅+- 12分 20．（1）证：因为在等腰梯形PDCB 中，DA ⊥PB ，
所以在四棱锥P －ABCD 中，DA ⊥AB ，DA ⊥PA 1分 又PA ⊥AB ，且DC ∥AB ，所以DC ⊥PA ，DC ⊥DA 2分
而DA ⊂ 平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，PA ∩DA = A ， 所以DC ⊥平面PAD ． 3分 因为DC ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD 4分 （2）解：因为DA ⊥PA ，且PA ⊥AB 所以PA ⊥平面ABCD ， 又PA ⊂ 平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABCD 过M 作MN ⊥AB ，垂足为N
则MN ⊥平面ABCD 5分
在原等腰梯形PDCB 中，DC ∥PB ，
PB = 3DC = 3，
，DA ⊥PB
∴PA = 1，AB = 2
，1AD ==
6分
设MN = h ，则
1133MABC ABC V S h h ∆=
⋅= 7分
11
32P ABCD ABCD V S PA -=⋅=
∴123PM ACD P ABCD M ABC h
V V V ---=-=-
8分
A B
D
C
O P M N
∵
54PM ACD M ABC
V V --=，∴15
2343h h -
=，解得
23h = 9分
在△PAB 中，23BM MN BP PA ==，∴21
33BM BP MP BP ==，
故
1
2PM MB = 10分 在梯形ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，连结OM
易知△AOB ∽△DOC ，∴
1
2DO DC OB AB == 11分 故
DO PM
OB MB =，所以在平面PBD 中，有PD ∥MO 12分
又因为PD ⊄平面AMC ，MO ⊂平面AMC ， ∴PD ∥平面AMC ． 13分
21．（1）解：由题意可得a = 2
，
c e a =
=
，∴c 2分
∴222
1b a c =-=，
因此椭圆的方程为2
21
4x y +=．
4分
（2）解：设C （x ，y ），P （x0，y0），由题意得：0000122x x
x x y y y y =⎧=⎧⎪
⇒⎨⎨==⎩⎪⎩
6分
又2
2
0014x y +=，代入得：221()142x y +=，即22
4x y +=．
∴动点C 的轨迹E 的方程为
224x y +=． 8分
（3）解：设C （m ，n ），点R 的坐标为（2，t ），则22
4m n +=
∵A 、C 、R 三点共线，∴AC AR
u u u r u u u r
∥
而
(2)
AC m n =+u u u r
，，
(4)
AR t =u u u r
，，因此4n = t （m + 2），∴
42n
t m =
+，
∴点R 的坐标为
4(2)2n m +，，点D 的坐标为2(2)
2n m +， 10分 ∴直线CD 的斜率为
22224n
n mn m k m m -
+=
=--， 而22
4m n +=，∴
2mn m k n n ==--， 12分
∴直线CD 的方程为
()m
y n x m n -=-
-，化简得mx + ny －4 = 0，
圆心O 到直线CD 的距离2d r
=
==，
所以直线CD 与圆O 相切． 14分
22．（1）解：函数f （x ） = 2x + x2关于1可线性分解
令h （x ） = f （x + 1）－f （x ）－f （1） = 2x + 1 + （x + 1）2－2x －x2－2－1 即h （x ） = 2（2x －1 + x －1） 2分
∵h （0） = 1，h （1） = 2，且h （x ）在[－1，2]是连续的 ∴h （x ） 在（－1，2）上至少存在一个零点 即存在x0∈（－1，2），使f （x0 + 1） = f （x0） + f （1） 4分 另解：函数f （x ） = 2x + x2关于1可线性分解
由f （x + 1） = f （x ） + f （1）得：
1222(1)23x x x x +++=++ 即222x
x =-+
2分
作函数()2x
g x =与h （x ） = －2x + 2的图象
由图象可以看出，存在x0∈R ，使222x
x =-+，即 f （x + 1） = f （x ） + f （1）成立
4分
（2）解：g （x ）的定义域为（0，+∞）
由已知，存在x0 > 0，使g （x0 + a ） = g （x0） + g （a ）
即2
0000ln()()1ln 1ln 1x a a x a x ax a a +-++=-++-+ 6分
整理得：00ln()ln ln 1x a x a +=++，即00
ln
1x a
ax +=
∴0001x a a
e x ax ae +=⇒=
- 8分
由001a x ae =
>-且a > 0得：
1
a e > ∴a 的范围是1()a +∞， 10分 （3）解：由（2）知，a = 1，()ln 1g x x x =-+，2
11()1x g x x x -'=-=
当x ∈（0，1）时，()0g x '
>，∴g （x ）的单调递增区间是（0，1）
当x ∈（1，＋∞）时，()0g x '
<，∴g （x ）的单调递减区间是（1，＋∞） 12分
因此x ∈（0，＋∞）时，g （x ）≤g （1），即ln 10x x -+≤，ln 1x x -≤
由此得：ln10ln 21ln32ln 1n n =<<<-L ，
，，， 相加得：ln1ln 2ln3ln 123(1)n n ++++++++-L L ≤
即[1(1)](1)(1)
ln(123)22n n n n n +---⨯⨯⨯⨯=
L ≤
∴(1)
ln(123)2n n n -⨯⨯⨯⨯L ≤，
2(1)*
[123(1)]()n n n n e n -⨯⨯⨯⨯-⨯∈N L ≤ 14分。