高中数学 第三章 概率章末综合学案 新人教A版必修3

第三章 概率
[自我校对]
①P (A )＋P (B ) ②P (A )＋P (B )＝1 ③
A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数
1.(1)必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件．
(2)不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，
简称不可能事件．
(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．
(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．
2．对于概率的定义应注意以下几点
(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．
(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率．
(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．
(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.
对一批U盘进行抽检，结果如下表：
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U 盘？
【精彩点拨】结合频率的定义进行计算填表，并用频率估计概率．
【规范解答】(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017, 0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2 000，因为x是正整数，
所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
[再练一题]
1．某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
【解】(1)由题意，击中靶心的频率分别为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越大时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．
(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定击中靶心．
(4)不一定．
1.
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A∪B的概率就可用加法公式来求，即为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．
(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U，则两事件是对立的，此时A∪B 就是必然事件，可由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)．
2．互斥事件概率的求法
(1)若A1，A2，…，A n互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．
(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②这些事件中有一个发生；③先求出这些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①、②两点是公式的使用条件，不符合这两点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．
3．对立事件概率的求法
P(Ω)＝P(A∪A)＝P(A)＋P(A)＝1，由公式可得P(A)＝1－P(A)(这里A是A的对立事件，Ω为必然事件)．
4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【精彩点拨】 用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．
【规范解答】 把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为p 1，p 2. 总的事件数为20.
“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x 3，p 1)，(x 3，p 2)，共6种；
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；
“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种． (1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝3
10
，
故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝3
5.
(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝1
10，故“甲、乙两人至少有一人抽到选
择题”的概率为1－110＝9
10
.
[再练一题]
2．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？ (2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？
【解】 (1)设事件“电话响第k 声时被接”为Ak (k ∈N )，那么事件A k 彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1∪A 2∪
A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.
(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A －.根据对立事件的概率公式，得P (A －
)＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.
经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能
性．在应用公式P (A )＝m
n
时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，求出n ，m .但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．
几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即：每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝m n
求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想．
甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随
机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．
【精彩点拨】 甲、乙两艘货轮停靠泊位的时间是6小时，当两船到达泊位的时间差不超过6小时时，两船中一艘停靠，另一艘必须等待．
【规范解答】 设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x 、y . 则⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤24，0≤y ≤24，|x －y |≤6.
作出如图所示的区域．
本题中，区域D 的面积S 1＝242
，区域d 的面积S 2＝242
－182
.
∴P ＝d 的面积D 的面积＝242－182242
＝716
. 即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为716
. [再练一题]
3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )
A.4
5 B.35 C.25
D.15
【解析】 ∵当b ＝1时，没有满足条件的a 值； 当b ＝2时，a ＝1；
当b ＝3时，a 可以是1，可以是2，∴共3种情况．
而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a，再从{1,2,3}中随机取一个数b，共有3×5＝15种不同取法，
∴概率为3
15＝
1 5
.
【答案】 D
与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．
随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图3­1所示．
图3­1
(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差；
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．
【精彩点拨】(1)根据“叶”上的数据的集中情况作出判断；(2)代入方差的计算公式求解；(3)列出基本事件和所求事件，用古典概型概率公式求解．
【规范解答】(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm～179 cm之间，而乙班身高集中于170 cm～179 cm之间．因此乙班平均身高高于甲班；
(2)x＝
158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182
10
＝170(cm)．
甲班的样本方差s2＝1
10
[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168
－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝
57.2(cm 2
)．
(3)设“身高为176 cm 的同学被抽中”为事件A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，
∴P (A )＝410＝2
5.
[再练一题]
4．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：
图3­2
(1)补全频率分布直方图并求n ，a ，p 的值；
(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．
【解】 (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为0.3
5
＝0.06.频率分布直方图如下：
第一组的人数为120
0.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，
所以n ＝200
0.2
＝1 000.
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝
195
300＝0.65.
第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150，所以a ＝150×0.4＝60.
(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30＝2∶1，
所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．
设[40,45)岁中的4人为a ，b ，c ，d ，[45,50)岁中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的选法有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，共8种．
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为8
15
.
在古典概型中，基本事件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数．在几何概型中，把基本事件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比．
设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，试求方程x 2＋2px －q 2＋1＝
0的两根都是实数的概率．
【精彩点拨】 试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部．
【规范解答】 基本事件总体的区域D 的度量为正方形面积， 即D 的度量为S 正方形＝62
＝36，
由方程x 2
＋2px －q 2
＋1＝0的两根都是实数， 得Δ＝(2p )2
－4(－q 2
＋1)≥0， ∴p 2
＋q 2
≥1.
∴当点(p ，q )落在如图所示的阴影部分时，
方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域d 的度量为S 正方形－S 圆＝36－π，
∴原方程的两根都是实数的概率为P ＝36－π
36.
[再练一题]
5．三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？
【解】 记三人为A 、B 、C ，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下图： 每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A 手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38
.
1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.8
15 B.18 C.
115
D.130
【解析】 ∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝1
15.
【答案】 C
2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.
7
10
B.58
C.3
8
D.310
【解析】 如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝5
8
，故选B.
【答案】 B
3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
A.1
3 B.12 C.23
D.56
【解析】 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝2
3
，故选C.
【答案】 C
4．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.13
B.12
C.23
D.34
【解析】 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过
11 10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下
的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝12
.故选B. 【答案】 B
5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A.310
B.15
C.110
D.120
【解析】 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，
其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110
.故选C. 【答案】 C。