池塘里有多少条鱼

池塘里有多少条鱼
史承灼
教材：
北师大版义务教育课程标准实验教科书九年级上第六章频率与概率第4节池塘里有多少条鱼
教学目标：
1、进一步体会概率与频率之间的内在联系、数学的转化思想，培养估算意识；
2、结合具体情境，初步感受统计推断的合理性；
3、培养自己的独立思考、积极参与和交流合作的能力。

重点、难点、关键：
1、重点：认识统计与概率之间的内在联系，感受统计推断的合理性；
2、难点：对概率与统计之间内在联系的理解；
3、关键：通过具体的试验领会一些事件发生的概率，揭示概率与统计之间的内在联系。

教学准备：
教师准备：教学课件（多媒体）；
学生准备：黑白球若干、不透明布袋、统计表格。

教学流程
一、创设情境，问题牵引
展示课件中提出的问题：鱼缸里有几条鱼，只要数一数。

但是要估计鱼塘里有多少条鱼，该怎么办？
说明：在科学研究中，生物学家经常要估计某个种群的数量。

如某条河流里的某种鱼的数量，某个地区某种鸟的数量等等。

因此这个问题具有很强的现实意义。

首先提出这个极为现实的问题情境：估计池塘里的鱼的数目，目的是激发学生的探究兴趣。

二、分组活动，合作探究
活动一（设计方案）：
为了解决“池塘里有多少条鱼”的问题，我们先来研究下面这个较为简单的问题：一个口袋中有8个黑色的球和若干个白色的球，如果不允许将球倒出来，那么你能估计出其中的白球数吗？
学生活动：分小组进行讨论、交流，设计方案。

教师活动：操作课件，组织学生分组讨论、交流。

教学方式：学生分组合作交流，教师巡视、指导，师生互动。

说明：教学中要注意给予学生较大的时间和空间，采取小组合作交流，再小组汇报的教学活动方式，让学生陈述自己的方案。

应注意的是：学生的方案或教科书中的方案结果只是一个近似值，比较粗略，允许有误差，不要对学生有过高的要求，只是让学生知道这些是现实生活中常用的估计方法并初步理解其中的道理而已。

温馨提示
小明的做法：
从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了200次，其中有57次摸到黑球，因此小明估计口袋中大约有20个白球。

建构理由：
假设口袋中有x 个白球，通过多次试验，可估计出从口袋中随机摸出一球，它为黑球的概率；另一方面这个概率又应等于x
+88，据此可估计出白球数x 。

小亮的做法：
利用抽样调查的方法，从口袋中一次摸出10个球，求出其中黑球数与10的比值，再把球放回口袋中，不断重复上述过程，总共摸了20次，黑球数与10的比值的平均数为0.25，因此估计口袋中大约有24个白球。

建构理由：
假设口袋中有x 个白球，通过多次抽样调查，求出样本中黑球数与总球数的比值的
“平均水平”，这个“平均水平”应近似于x
+88，据此可估计出白球数x 。

活动二（方法运用）：
请各小组在各自的口袋中放入已知个数的黑球和若干个白球，分别利用上述两种方案估计口袋中所放的白球数。

活动方案：
1、分成两个大组，每个大组的各个小组分别利用上述两个方案中的一个估计口袋中所放的白球数；
2、打开口袋，数一数口袋中的白球的个数，你们的估计值和实际情况一致吗？为什么？
3、全班交流，看看各组的估计结果是否一致，各组的结果与实际情况的差别有多大？
4、将各组的数据汇总，并根据这个数据估计一个口袋中的白球数，看一看估计的结果又如何？
5、为了使估计的结果较为准确，应该注意些什么？
学生活动：分成小组进行试验活动，记录数据，然后小组汇报交流。

教师活动：提出活动方案，组织学生讨论，巡视、指导、关注学生的活动和思维情况。

教学方式：分组合作试验，师生互动。

说明：在具体的试验操作中，学生的试验结果与实际数据会存在偏差，个别小组的结果还可能差异较大，但是，将各小组的数据汇总，由于试验的次数累加后增大，此时的估计值和实际情况差别较小。

活动三（活动反思）：
上述两种方法各有哪些优缺点？
学生活动：先独立思考，再分组讨论，最后全班交流。

教师活动：提示思考的方向，巡视、指导学生分组讨论，组织学生进行交流。

教学方式：师生互动，引导思考，合作交流，学会比较、评价。

优缺点比较：
从理论上讲，如果试验的次数足够多，那么小明的方法应该是比较准确的，但是这种方法的现实意义一般不大。

相比较而言，小亮的方法具有较强的现实意义。

当然，当总数较小时，用小亮的方法估计，其精确度可能较差，但是对于总数往往较大的许多实际问题，这种精确度是允许的，而且这种方法方便可行。

要注意的是，在比较这两种方法时，学生的看法可能会多种多样。

只要他们的想法有一定的道理，教师就应该给予肯定和鼓励，而不应求全责备。

活动四（延伸拓展）：
如果口袋中只有若干个白球，没有其他颜色的球，而且不许将球倒出来，那么你又该如何估计出其中的白球数呢？
学生活动：分组讨论，合作交流，在老师的引导下，找出前后两个问题之间的关系。

教师活动：提出问题，组织学生进行讨论、合作和交流，并给予适当的引导——此问题与上面的问题有无关系？有什么关系？启发学生把本问题转化为上面的问题。

教学方式：学生分组合作交流；师生互动合作。

方案设计：
可以向口袋中另放几个黑球；也可以从口袋中抽出几个球并将它们染成黑色或做上标记。

然后再用前面的方法进行估计。

活动五（灵活运用）：
你能设计一个方案估计某鱼塘中鱼的总数吗？
学生活动：让学生先独立思考，再分小组讨论、合作、交流，设计出估计鱼塘中鱼的条数的方法，最后在全班进行汇报。

教师活动：提出问题，引导学生思考此问题与前一个问题之间的联系，组织学生分组进行合作，并交流自己的设计方案。

教学方法：师生互动，小组合作交流。

方案设计：
可以先捞出若干条鱼，将它们做上标记，然后再放回到鱼塘中。

经过一段时间后（即等标记鱼完全混合于鱼群），再从中随机捕捞出若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此估计鱼塘里鱼的数量。

思考并解决问题：假设鱼塘中有N 条鱼。

第一次从鱼塘中捞出p 条鱼，将它们做上标记，然后再放回到鱼塘中。

经过一段时间后，第二次再从鱼塘中随机捕捞出q 条鱼，其中有标记的鱼若有k 条。

那么，这个鱼塘中共有多少条鱼？ 由题意知：随机捞出的鱼中有标记的鱼的比例为q
k ，又整个鱼塘里有标记的鱼的比例为N
p 。

因此有：q k N P =。

解得k pq N =。

所以鱼塘里鱼的总数约为k pq 条。

注意：为了使我们的估计更准确一些，可以按上述方法再做一次估计（考虑各种因素，估计的次数又不宜太多），然后用它们的“平均水平”来估计鱼塘里鱼的总数。

三、课堂小结
活动六（课堂总结）
通过这节课的学习，我们有哪些收获？
学生活动：独立思考；分组讨论合作；汇报交流。

教师活动：引导学生从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等三个方面进行总结；在学生汇报发言后，教师补充。

教学方法：师生互动，互为补充；学生为主体，教师为主导。

课堂总结：
1、通过本节课对“摸球”这一模型的学习，使我们进一步了解可以运用统计中的事件发生的频率来估计随机事件的概率，体会频率与概率之间的内在联系。

以及它们的现实意义。

当然试验的次数要足够多，频率才逐步稳定于概率，但仍然是理论概率的一个近似值，不能等同于理论概率。

2、在思想方法上：转化思想、估算意识、思维多样。

3、在学习方式上：独立思考、积极参与、交流合作。

四、布置作业，反思提炼
P179.习题6.7 1、2。

五、课后反思，总结提高
在本学期我校举行的教学公开月中，本人选择的课题是——北师大版义务教育课程标准实验教科书九年级上学期第六章第4节“池塘里有多少条鱼”。

从课后的听课教师和学生的反映看，这是一节较为成功的公开课。

学生分析
学生对随机事件及其发生的概率的认识是一个较长的认知进程，学生对概率的理解随着活动经验的不断加深而逐步得到发展。

义务教育阶段学生可以掌握的有关概率模型大致分为三类：第一类问题是没有理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值，一般而言，它是一个纯粹的现实问题；第二类问题虽然存在理论概率，但其理论计算已经超出义务教育阶段学生的认知水平，学生只能借助实验模拟获得其估计值；第三类则是简单的古典概率，理论上容易求出其概率。

同时这个班的学生对七年级中的有关概率的知识和八年级中有关统计的如频率等的知识掌握的较好，掌握了一定的数学试验或实验的技能，也具备了一些积极参与、主动讨论、合作交流的经验和能力。

教材分析
北师大版的义务教育课程标准实验教科书，在七年级中，安排了有关概率的一些初步知识，研究了一些简单的随机事件发生的可能性（即概率）；在八年级里，介绍了统计学中的一些简单知识，如一些简单事件发生的频数和频率。

承接上述内容，本章着重于实验频率的稳定与理论概率之间的内在联系，使学生对概率能有进一步的理解。

对于上述第三类问题，其繁简程度又有所不同，如（1）随意掷一枚均匀的骰子，朝上点数为6的概率；（2）随意掷一枚均匀的骰子，点数为奇数的概率；（3）连续两枚均匀的骰子，两次的点数和为6的概率，等等。

对于（3）类问题，学生尚未接触，本章将介绍计算其概率的两种方法——树状图和列表法。

同时还将研究前述第一、二两类问题，用试验的
方法估计随机事件发生的概率。

为此，本章教材首先以涉及两步试验的事件发生的概率为切入点，一方面加强前后知识的联系，另一方面通过试验活动探索试验结果与理论概率之间的辨证关系，进一步加深学生对概率的理解，借此引导学生用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。

而本小节则利用试验频率与理论概率之间关系的分析，揭示统计推断的一些理论依据，力图加强概率与统计的联系。

设计思路
基于上述对学生和教材的分析，本节课的设计思路是：本节课的教学方法是以学生活动为主，分组讨论设计解决问题的方案、分组操作进行摸球试验、分组讨论解决实际问题。

目的是培养所有学生独立思考、积极参与、交流合作的积极性和意识，是培养学生学习数学、运用数学知识解决实际问题的兴趣，是使学生获得尝试并取得成功的体验，是培养学生的数学能力。

具体说来，就是在教师提出本节要解决的问题“池塘里有多少条鱼”后，安排了活动一：对问题“一个口袋中有8个黑球和若干个白球，如果不允许将球倒出来数，你能估计出其中的白球数吗？”进行分组讨论，提出解决问题的方案。

其实就这个问题本身来说难度较大，因此，我的要求是，可以参考教科书中提出的两种方法来考虑，而教学的重点应该是让学生思考解释这两种方法的道理。

接着是活动二：学生分组试验，对上述两种方案分别进行试验验证，在活动一的理性思考下，获得感性认识。

而活动三则是让学生思考讨论上述两种方案的优缺点，对它们进行比较，以利于这两种方法的实际运用。

活动四是组织学生思考、讨论、合作交流一个与活动三中的问题联系十分密切，和本节一开始提出的估计“池塘里有多少鱼”的问题具有相同模型的问题。

在此基础上，活动五所提出的问题，也是本节最终要解决的问题“设计一个方案估计某鱼塘中鱼的总数”，也就能迎刃而解了。

至于后面设置的问题：“假设鱼塘中有N 条鱼。

第一次从鱼塘中捞出p条鱼，将它们做上标记，然后再放回到鱼塘中。

经过一段时间后，第二次再从鱼塘中随机捕捞出q条鱼，其中有标记的鱼若有k条。

那么，这个鱼塘中共有多少条鱼？”，则是把问题“池塘里有多少条鱼”的数学模型化，目的是使学生便于操作。

评价方式
对于活动一所提出的问题，要给予学生较大的思维空间，要让学生进行充分的讨论、交流，获得一定的方案或对教科书中提出的两个方案的合理性进行研究，以对这类问题的合理性有个较为理性的认识。

应用学生设计的方案或教科书中的两个方案获得的结果只是一个估计值，而且可能还比较粗略，对学生不应过于苛求，只需让学生知道这些是
现实生活中常用的估计方法并初步理解其中的道理。

对于活动二，主要是让学生经过具体的实践活动，切实感受上述方法的合理性以及存在的问题，思考如获得较为精确的估计值。

当然，在具体操作中，学生的试验结果与实际数据应该存在差别，这很正常，个别小组的结果还可能差异较大，但学生通过各组数据的汇总而得到的估计值在试验次数较大的前提下应该和实际情况差别较小。

具体试验中，若没有黑、白球，可用其他物品如围棋子代替。

对于活动三，从理论上讲，如果试验的次数足够多，那么小明的方法应该是比较准确的，但是这种方法的现实意义一般不大。

相比较而言，小亮的方法具有较强的现实意义。

当然，当总数较小时，用小亮的方法估计，其精确度可能较差，但是对于总数往往较大的许多实际问题，这种精确度是允许的，而且这种方法方便可行。

要注意的是，在比较这两种方法时，学生的看法可能会多种多样。

只要他们的想法有一定的道理，教师就应该给予肯定和鼓励，而不应求全责备。

活动四的解决方法是：可以向口袋中另放几个黑球；也可以从口袋中抽出几个球并将它们染成黑色或做上标记。

然后再用前面的方法进行估计。

它同时也为解决下面的问题提供了方法。

要引导学生积极思考、交流合作，关注学生的思维过程，只要他们的想法有一定的道理，教师就应该给予肯定和鼓励。

活动五可用这样的方法解决：可以先捞出若干条鱼，将它们做上标记，然后再放回到鱼塘中。

经过一段时间后（即等标记鱼完全混合于鱼群），再从中随机捕捞出若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此估计鱼塘里鱼的数量。

评价时仍然应关注学生的思维过程，只要他们的想法有一定的道理，教师就应该给予肯定和鼓励，而不应求全责备。