【精品】人教版七年级下册第五章《相交线与平行线》同步练习(有答案)

第五章相交线与平行线
5．1 相交线
5．1.1 相交线
基础题
知识点1 认识邻补角和对顶角
(1)有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角．
(2)有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
1．(2018·贺州)如图，下列各组角中，互为对顶角的是( A )
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3 C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
2．下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是( D )
3．如图，AB与CD相交所成的四个角中，∠1的邻补角是∠2，∠4，∠1的对顶角是∠3．
知识点2 邻补角和对顶角的性质
(1)互为邻补角的两个角相加等于180°．
(2)对顶角相等．
4．(2017·河池)如图，点O在直线AB上，若∠BOC＝60°，则∠AOC的大小是( C )
A．60°B．90°C．120°D．150°
5．(2018·钦州期末)如图，已知∠1＝120°，则∠2的度数是( A )
A ．120°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
6．(教材P9复习题T9变式)如图，测角器测得工件(圆台)的角度是40度，其测量角的原理是对顶角相等．
7．在括号内填写依据：
如图，因为直线a ，b 相交于点O ， 所以∠1＋∠3＝180°(邻补角互补)， ∠1＝∠2(对顶角相等)．
8．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠EOC ＝70°，OA 平分∠EOC ，求∠BOD 的度数．
解：因为OA 平分∠EOC ，∠EOC ＝70°， 所以∠AOC ＝1
2∠EOC ＝35°.
所以∠BOD ＝∠AOC ＝35°.
易错点1 对对顶角的性质理解不透彻而判断失误 9．下列说法正确的有( B )
①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
易错点2 未给出图形，考虑不全而致错
10．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x －10)°和(110－x)°，则x ＝40或80． 中档题
11．如图，三条直线l 1，l 2，l 3相交于一点，则∠1＋∠2＋∠3＝( C )
A．90°B．120°C．180°D．360°
12．如图，直线AB和CD相交于点O.若∠AOD与∠BOC的和为236°，则∠AOC的度数为( A )
A．62°B．118°C．72°D．59°
13．(2018·揭阳揭西县期末)如图所示，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC.若∠BOE＝60°，则∠AOC的度数为( A )
A．60°B．30°C．120°D．45°
14．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)∠AOD的对顶角是∠BOC，
∠EOC的对顶角是∠DOF；
(2)∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC，
∠EOB的邻补角是∠EOA和∠BOF．
15．如图，直线a，b，c两两相交，∠1＝80°，∠2＝2∠3，则∠4＝140°．
16．如图，直线a，b相交于点O，已知3∠1－∠2＝100°，则∠3＝130°．
17．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE＝∠BOE，OB平分∠DOF.若∠DOE＝50°，求∠DOF的度数．
解：因为∠AOE ＝∠BOE ，且∠AOE ＋∠BOE ＝180°， 所以∠AOE ＝∠BOE ＝90°. 因为∠DOE ＝50°，
所以∠DOB ＝∠BOE －∠DOE ＝40°. 因为OB 平分∠DOF ， 所以∠DOF ＝2∠DOB ＝80°.
18．如图，l 1，l 2，l 3交于点O ，∠1＝∠2，∠3∶∠1＝8∶1，求∠4的度数．
解：设∠1＝∠2＝x °，则∠3＝8x °. 由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得 10x ＝180.解得x ＝18. 所以∠1＝∠2＝18°. 所以∠4＝∠1＋∠2＝36°. 综合题 19．探究题：
(1)三条直线相交，最少有1个交点，最多有3个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；
(2)四条直线相交，最少有1个交点，最多有6个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；
(3)依次类推，n 条直线相交，最少有1个交点，最多有n （n －1）
2
个交点，对顶角有n(n －1)对，邻补角有2n(n －1)对．
解：(1)图略，对顶角有6对，邻补角有12对． (2)图略，对顶角有12对，邻补角有24对．
5.1.2 垂线
基础题
知识点1 认识垂直
如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2＝( A )
A．35°B．40°C．45°D．60°
2．(2018·来宾期末)如图，AB⊥CD于点O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是( C )
A．互为对顶角B．互补C．互余D．相等
3．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．
解：因为AB⊥CD，
所以∠DOB＝90°.
又因为∠DOE＝127°，
所以∠BOE＝∠DOE－∠DOB
＝127°－90°＝37°.
所以∠AOF＝∠BOE＝37°.
知识点2 画垂线
4．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( D )
知识点3 垂线的性质
(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
5．(2017·柳州)如图，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出( A )
A．1条B．2条C．3条D．4条
6．(2018·佛山顺德区期末)如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是( C )
A．两点之间线段最短B．过两点有且只有一条直线
C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线
7．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是( D )
A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短
C．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直D．垂线段最短
8．下列说法正确的有( C )
①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；
④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
知识点4 点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
9．(2017·北京)如图所示，点P到直线l的距离是( B )
A．线段PA的长度B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
易错点未给出图形，考虑不周全致错
10．已知OA⊥OC，过点O作射线OB，且∠AOB＝30°，则∠BOC的度数为120°或60°．
中档题
11．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的有( D )
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( C )
13．如图所示，下列说法不正确的是( C )
A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段D．线段BD是点B到AD的垂线段
14．(2018·贵港港南区期末)点P是直线l外一点，A，B，C为直线l上的三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线l的距离( C )
A．小于2 cm B．等于2 cm C．不大于2 cm D．等于4 cm
15．如图，当∠1与∠2满足条件∠1＋∠2＝90°时，OA⊥OB.
16．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，ON ⊥OM.若∠AOM ＝35°，则∠CON 的度数为55°．
17．如图，已知DO ⊥CO ，∠1＝36°，∠3＝36°. (1)求∠2的度数；
(2)AO 与BO 垂直吗？说明理由．
解：(1)因为DO ⊥CO ，所以∠DOC ＝90°. 因为∠1＝36°，所以∠2＝90°－36°＝54°. (2)AO ⊥BO.理由如下： 因为∠3＝36°，∠2＝54°， 所以∠3＋∠2＝90°. 所以AO ⊥BO.
18．如图，两直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，∠AOC ∶∠AOD ＝7∶11. (1)求∠COE 的度数；
(2)若OF ⊥OE ，求∠COF 的度数．
解：(1)因为∠AOC ∶∠AOD ＝7∶11，∠AOC ＋∠AOD ＝180°， 所以∠AOC ＝70°，∠AOD ＝110°. 所以∠BOD ＝∠AOC ＝70°， ∠BOC ＝∠AOD ＝110°. 又因为OE 平分∠BOD ，
所以∠BOE ＝∠DOE ＝1
2
∠BOD ＝35°.
所以∠COE ＝∠BOC ＋∠BOE ＝110°＋35°＝145°. (2)因为OF ⊥OE ，所以∠FOE ＝90°.
所以∠FOD ＝∠FOE －∠DOE ＝90°－35°＝55°.
所以∠COF＝180°－∠FOD＝180°－55°＝125°.
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
基础题
知识点认识同位角、内错角、同旁内角
如图，直线AB，CD与EF相交．
(1)图中∠1和∠2分别在直线AB，CD的同一方(或上方)，并且都在直线EF的同侧(或右侧)，具有这样位置关系的一对角叫做同位角；
(2)图中∠2和∠8都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；
(3)图中∠2和∠7都在直线AB，CD之间，且都在直线EF的同一旁(或右侧)，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角．
1．(2017·玉林)如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是( B )
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
2．(2017·柳州期末)如图，与∠1是同位角的是( C )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．如图，与∠1是同旁内角的是( D )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．(2018·广州)如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( B )
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
5．如图，下列说法错误的是( D )
A．∠A与∠EDC是同位角B．∠A与∠ABF是内错角
C．∠A与∠ADC是同旁内角D．∠A与∠C是同旁内角
6．如图，若∠1＝∠2，则在①∠3和∠2；②∠4和∠2；③∠3和∠6；④∠4和∠8中，相等的有( C )
A．1对B．2对C．3对D．4对
7．看图填空：
(1)∠1和∠3是直线AB，BC被直线AC所截得的同旁内角；
(2)∠1和∠4是直线AB，BC被直线AC所截得的同位角；
(3)∠B和∠2是直线AB，AC被直线BC所截得的同位角；
(4)∠B和∠4是直线AC，BC被直线AB所截得的内错角．
8．如图，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于80°，∠1的内错角等于80°，∠1的同旁内角等于100°．
中档题
9．(2018·华南师大附中月考)在下列四个图中，∠1与∠2是同位角的图是( B )
图①图②图③图④
A．①②B．①③C．②③D．③④
10．如图，属于内错角的是( D )
A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠4 D．∠3和∠4
11．如图，下列说法错误的是( B )
A．∠A和∠C是同旁内角B．∠1和∠3是同位角
C．∠2和∠3是内错角D．∠3和∠B是同旁内角
12．如图，∠ABC与∠EAD是同位角；∠ADB与∠DBC，∠EAD是内错角；∠ABC与∠DAB，∠BCD是同旁内角．
13．根据图形填空：
(1)若直线ED，BC被直线AB所截，则∠1和∠2是同位角；
(2)若直线ED，BC被直线AF所截，则∠3和∠4是内错角；
(3)∠1和∠3是直线AB，AF被直线ED所截构成的内错角；
(4)∠2和∠4是直线AB，AF被直线BC所截构成的同位角．
14．根据图形说出下列各对角是什么位置关系？
(1)∠1和∠2；(2)∠1和∠7；(3)∠3和∠4；
(4)∠4和∠6；(5)∠5和∠7.
解：(1)∠1和∠2是同旁内角；
(2)∠1和∠7是同位角；
(3)∠3和∠4是内错角；
(4)∠4和∠6是同旁内角；
(5)∠5和∠7是内错角．
15．如图，如果内错角∠1与∠5相等，那么与∠1相等的角还有吗？与∠1互补的角有吗？如果有，请写出来，并说明你的理由．
解：∠1＝∠2，与∠1互补的角有∠3和∠4.
理由：因为∠1＝∠5，∠5＝∠2，所以∠1＝∠2.
因为∠1＝∠5，且∠5与∠3或∠4互补，
所以与∠1互补的角有∠3和∠4.
综合题
16．探究题：
(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对；
图1 图2
(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对；
(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n(n－1)对，内错角有n(n－1)对，同旁内角有n(n－1)对．(用含n的式子表示)
5.2 平行线及其判定
5．2.1 平行线
基础题
知识点1 认识平行
在同一平面内，两条不相交的直线互相平行．
1．下列说法中，正确的是( D )
A．平面内，没有公共点的两条线段平行B．平面内，没有公共点的两条射线平行
C．没有公共点的两条直线互相平行D．互相平行的两条直线没有公共点
2．在同一平面内的两条不重合的直线的位置关系( C )
A．有两种：垂直或相交B．有三种：平行，垂直或相交
C．有两种：平行或相交D．有两种：平行或垂直
3．在同一平面内，直线a与b满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上．
(1)a与b没有公共点，则a与b平行；
(2)a与b有且只有一个公共点，则a与b相交；
(3)a与b有两个及以上公共点，则a与b重合．
4．如图，完成下列各题：
(1)用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过点C画直线垂直于CD；
(2)用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．
解：(1)如图所示．
(2)EF∥AB，MC⊥CD.
知识点2 平行公理及其推论
(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
(2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
5．若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是( D )
A．平行公理B．等量代换C．等式的性质D．平行于同一条直线的两条直线平行6．点P，Q都是直线l外的点，下列说法正确的是( D )
A．连接PQ，则PQ一定与直线l垂直B．连接PQ，则PQ一定与直线l平行
C．连接PQ，则PQ一定与直线l相交D．过点P只能画一条直线与直线l平行
7．如图，PC∥AB，QC∥AB，则点P，C，Q在一条直线上．理由是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条
直线平行．
8．如图，P，Q分别是直线EF外两点．
(1)过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF；
(2)AB与CD有怎样的位置关系？为什么？
解：(1)如图．
(2)AB∥CD.
理由：因为AB∥EF，CD∥EF，
所以AB∥CD.
易错点对平行线的有关概念及公理理解不清
9．(2017·玉林北流市期中)下列说法中，正确的有( A )
①过一点有无数条直线与已知直线平行；
②经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③如果两条线段不相交，那么它们就平行；
④如果两条直线不相交，那么它们就平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
中档题
10．如图，AB∥CD，EF∥AB，AE∥MN，BF∥MN，由图中字母标出的互相平行的直线共有( C )
A．4组B．5组C．6组D．7组
11．如图，因为直线AB，CD相交于点P，AB∥EF，所以CD不平行于EF.理由是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
12．在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条直线相交，那么这条直线与平行线中的另一条直线必相交．
13．(教材P17习题T11变式)观察下图所示的长方体，回答下列问题．
(1)用符号表示两棱的位置关系：A1B1∥AB，AA1⊥AB，A1D1⊥C1D1，AD∥BC；
(2)AB与B1C1所在的直线不相交，它们不是平行线(填“是”或“不是”)．由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线．
14．如图，在∠AOB内有一点P.
(1)过点P画l1∥OA；
(2)过点P画l2∥OB；
(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样的关系．
解：(1)(2)如图所示．
(3)l1与l2的夹角有两个：∠1，∠2.
量得∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，
所以l1与l2的夹角与∠O相等或互补．
15．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABFE平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？
解：因为AB∥EF，CD∥EF，
所以CD∥AB.
综合题
16．利用直尺画图：
(1)利用图1中的网格，过点P画直线AB的平行线和垂线；
(2)在图2的网格中画一个四边形，满足：①两组对边互相平行；②任意两个顶点都不在一条网格线上；③四个顶点都在格点上．
解：(1)如图所示．CD∥AB，PQ⊥AB.
(2)如图所示．四边形ABCD是符合条件的四边形．
5.2.2 平行线的判定
基础题
知识点1 同位角相等，两直线平行
1．(2017·玉林陆川县期末)如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是( A )
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等
2．(2017·绥化)如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝55°，下列条件中能判定AB∥CD的是( C )
A．∠2＝35°B．∠2＝45°C．∠2＝55°D．∠2＝125°
3．(教材P21例2变式)已知a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥b，c⊥b，则a与c的位置关系是平行．4．如图，∠3与∠1互余，∠3与∠2互余．试说明：AB∥CD.
解：∵∠3与∠1互余，∠3与∠2互余，
∴∠1＝∠2.
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
知识点2 内错角相等，两直线平行
5．(2018·深圳龙岗区一模)如图，能判定AB∥CD的条件是( A )
A．∠A＝∠ACD B．∠A＝∠DCE C．∠B＝∠ACB D．∠B＝∠ACD
6．如图，请在括号内填上正确的理由：
∵∠DAC＝∠C(已知)，
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
7．如图，∠BAD＝∠DCB，∠BAC＝∠DCA，试说明：AD∥BC.
解：∵∠BAD＝∠DCB，∠BAC＝∠DCA(已知)，
∴∠BAD－∠BAC＝∠DCB－∠DCA(等式的性质)，
即∠DAC＝∠BCA．
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
知识点3 同旁内角互补，两直线平行
8．如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则须具备的另一个条件是( C )
A．∠2＝70°B．∠2＝100°C．∠2＝110°D．∠3＝110°
9．如图，装修工人向墙上钉木条．若∠2＝100°，要使木条b与a平行，则∠1的度数等于80°．
10．如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°.试说明：AB∥CD.
解：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝130°.
∵∠ABC＝50°，
∴∠BCD＋∠ABC＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
易错点不能准确识别截线与被截线，从而误判两直线平行
11．(教材P36复习题T8(1)变式)(2018·贵港桂平期末)如图，点E在AC的延长线上，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠D＝∠DCE；⑤∠A＋∠ABD＝180°；⑥∠A＋∠ACD＝180°，其中能判定AB∥CD的是①③⑥．
中档题
12．(2018·郴州)如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是( D )
A．∠2＝∠4 B．∠1＋∠4＝180° C．∠5＝∠4 D．∠1＝∠3
13．如图，下列说法错误的是( C )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1＝∠2，则a∥c
C．若∠3＝∠2，则b∥c D．若∠3＋∠5＝180°，则a∥c
14．(2018·湘潭)如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为答案不唯一，如：∠C＝∠CDE．(任意添加一个符合题意的条件即可)
15．如图，用几何语言表示下列句子．
(1)因为∠1和∠B相等，根据“同位角相等，两直线平行”，所以DE和BC平行；
(2)因为∠1和∠2相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以AB和EF平行；
(3)因为∠BDE和∠B互补，根据“同旁内角互补，两直线平行”，所以DE和BC平行．
解：(1)∵∠1＝∠B(已知)，
∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行)．
(2)∵∠1＝∠2(已知)，
∴EF∥AB(内错角相等，两直线平行)．
(3)∵∠BDE＋∠B＝180°(已知)，
∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．
16．(2018·湛江廉江市期末)完成下面的推理．
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α＋∠β＝90°，试说明：AB∥CD.
完成推理过程：
∵BE平分∠ABD(已知)，
∴∠ABD＝2∠α(角平分线的定义)．
∵DE平分∠BDC(已知)，
∴∠BDC＝2∠β (角平分线的定义)．
∴∠ABD＋∠BDC＝2∠α＋2∠β＝2(∠α＋∠β)(等量代换)．
∵∠α＋∠β＝90°(已知)，
∴∠ABD＋∠BDC＝180°(等量代换)．
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
17．如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由．
解：CF∥BD.
方法一：∵BD⊥BE，
∴∠DBE＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°.
∵∠1＋∠C＝90°，
∴∠2＝∠C.
∴CF∥BD(同位角相等，两直线平行)．
方法二：∵BD⊥BE，∴∠DBE＝90°.
∵∠1＋∠C＝90°，
∴∠C＋∠DBC＝∠1＋∠DBE＋∠C＝90°＋90°＝180°.
∴CF∥BD(同旁内角互补，两直线平行)．
18．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
解：PG∥QH，AB∥CD.
∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，
∴∠1＝∠GPQ＝1
2
∠APQ，∠PQH＝∠2＝
1
2
∠PQD.
又∵∠1＝∠2，
∴∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD.
∴PG∥QH，AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
综合题
19．如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，∠1＋∠2＝180°，试问CD与EF平行吗？为什么？
解：CD∥EF.理由如下：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠BDC＝90°.
∴∠ABD＋∠BDC＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
∵∠1＋∠2＝180°，
∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
∴CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
周周练(5.1～5.2)
(时间：45分钟满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．邻补角是指( D )
A．和为180°的两个角B．有一条公共边且相等的两个角
C．有公共顶点且互补的两个角D．有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角
2．如图，∠1和∠2是对顶角的是( B )
3．如图，直线AB，CD被EF所截，下列说法正确的有( C )
①∠3与∠5是内错角；②∠2与∠7是同位角；③∠4与∠5是同旁内角；④图中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角；⑤∠1与∠7是内错角．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列说法错误的是( C )
A．两条直线相交，有一个角是直角，则两条直线互相垂直
B．若互为对顶角的两角之和为180°，则两直线互相垂直
C．两直线相交，所构成的四个角中，若有两个角相等，则两直线互相垂直
D．在同一平面上，过点A作直线l的垂线，这样的垂线只有一条
5．如图，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是( B )
A．26°B．64°C．54°D．以上都不对
6．下列说法错误的是( A )
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d
D．同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，则它也和另一条相交
7．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中，不正确的是( D )
A．线段AC的长度是点A到BC的距离B．CD与AB互相垂直
C．AC与BC互相垂直D．点B到AC的垂线段是线段CA
8．(2017·深圳)下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2？( C )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠5 D．∠3＋∠4＝180°
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．如图，已知∠1＋∠2＝100°，则∠3＝130°．
10．如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC＝27°，则∠BOD的度数是153°．
11．如图，把小河里的水引到田地A处就作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，水沟最短．理由是垂线段最短．
12．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
13．如图，已知∠C＝105°，增加一个条件答案不唯一，如∠BEC＝75°或∠AEC＝105°，使得AB∥CD.
14．如图，AB与BC被AD所截得的内错角是∠1和∠3；DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4；图中∠4的内错角是∠5和∠2．
三、解答题(共44分)
15．(6分)完成下面的推理过程：
如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3.试说明：AB∥CD.
解：∵CB平分∠ACD，
∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3．
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
16．(6分)如图，直线AO，BO交于点O，过点P作PC⊥AO于点C，PD⊥BO于点D，画出图形．
解：作∠ACP＝90°，作∠PDB＝90°，则直线PC，PD即为所求．
17．(6分)如图，已知∠OEB＝130°，∠FOD＝25°，OF平分∠EOD，试说明：AB∥CD.
解：∵OF平分∠EOD，∠FOD＝25°，
∴∠EOD＝2∠FOD＝50°.
又∵∠OEB＝130°，
∴∠OEB＋∠EOD＝180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
18．(8分)如图，已知直线l1，l2，l3被直线l所截，∠α＝105°，∠β＝75°，∠γ＝75°，运用已知条件，你能找出哪两条直线是平行的吗？若能，请写出理由．
解：l1∥l2∥l3.理由：
∵∠1＝∠β，∠β＝75°，
∴∠1＝75°.
∵∠α＝105°，
∴∠α＋∠1＝180°.
∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行)．
∵∠β＝75°，∠γ＝75°，
∴∠β＝∠γ.
∴l2∥l3(内错角相等，两直线平行)．
∴l1∥l2∥l3.
19．(8分)如图，AB和CD交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点O，∠AOC＝40°，求∠EOF的度数．
解：∵AB，CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°.
∵OD平分∠BOF，
∴∠DOF＝∠BOD＝40°.
∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°.
∴∠EOF＝∠EOD＋∠DOF＝130°.
20．(10分)如图，要判定AB∥CD，需要哪些条件？根据是什么？
解：①若考虑截线AD，则需∠D＋∠DAB＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行．
②若考虑截线AE，则需∠CEA＋∠EAB＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行或∠DEA＝∠EAB，根据是内错角相等，两直线平行．
③若考虑截线AC，则需∠DCA＝∠CAB，根据是内错角相等，两直线平行．
④若考虑截线FC，则需∠DCF＋∠AFC＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行或∠DCF＝∠BFC，根据是内错角相等，两直线平行．
⑤若考虑截线BC，则需∠DCB＋∠B＝180°，根据是同旁内角互补，两直线平行．
5.3 平行线的性质
5．3.1 平行线的性质
基础题
知识点1 平行线的性质
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补．
1．(2018·桂林)如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数是( B )
A．120°B．60°C．45°D．30°
2．(2018·绵阳)如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠2＝44°，那么∠1的度数是( C )
A．14°B．15°C．16°D．17°
3．如图，在三角形ABC中，∠B＝40°，过点C作CD∥AB，∠ACD＝65°，则∠ACB的度数为( D )
A．60°B．65°C．70°D．75°
4．如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝50°，则∠A＝50°．
5．如图，AB∥CD，∠BAF＝115°，则∠ECF的度数为65°．
6．如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B＝80°.求∠C的度数．
解：∵EF ∥BC ，
∴∠BAF ＝180°－∠B ＝100°(两直线平行，同旁内角互补)． ∵AC 平分∠BAF ， ∴∠CAF ＝1
2∠BAF ＝50°.
∵EF ∥BC ，
∴∠C ＝∠CAF ＝50°(两直线平行，内错角相等)．
知识点2 平行线性质的应用
7．某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，若AB ∥CD ，∠EAB ＝45°，则∠FDC 的度数是( B )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
8．一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图所示，其中两组对边的平行关系没有发生变化．若∠1＝76°，则∠2的度数是( C )
A ．76°
B ．86°
C ．104°
D ．114°
9．如图，在A ，B 两地挖一条笔直的水渠，从A 地测得水渠的走向是北偏西42°，A ，B 两地同时开工，B 地所挖水渠走向应为南偏东42°．
10．如图，某次考古发掘出的一块梯形残缺玉片，工作人员从玉片上量得∠A ＝115°，∠D ＝100°，已知梯形的两底AD ∥BC ，请你帮助工作人员求出另外两个角的度数，并说明理由．
解：∵AD ∥BC ，∠A ＝115°，∠D ＝100°，
∴∠B ＝180°－∠A ＝180°－115°＝65°， ∠C ＝180°－∠D ＝180°－100°＝80°.
易错点 误用平行线的性质
11．已知∠1与∠2是同旁内角，若∠1＝60°，则∠2的度数是( D ) A ．60°
B ．120°
C ．60°或120°
D ．不能确定
中档题
12．(2018·汕头澄海区一模)如图，点P 是∠AOB 的边OA 上一点，PC ⊥OB 于点C ，PD ∥OB ，∠OPC ＝35°，则∠APD 的度数是( B )
A ．60°
B ．55°
C ．45°
D ．35°
13．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°.其中正确的有( D )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
14．(2018·梧州岑溪市期末)如图是一汽车探照灯的纵剖面，从位于O 点的灯泡发出的两束光线OB ，OC 经过灯碗反射以后平行射出．若∠ABO ＝α，∠DCO ＝β，则∠BOC 的度数是( A )
A ．α＋β
B ．180°－α
C.1
2
(α＋β) D ．90°＋(α＋β)
15．(2018·柳州期末)如图，AB ∥CD ∥EF ，则下列四个等式中一定成立的有( A ) ①∠2＋∠3＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＋∠3＝180°；④∠2＋∠3－∠1＝180°.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
16．(2017·柳州期末)如图，已知AB ∥CD ，BC ∥ED ，请你猜想∠B 与∠D 之间具有什么数量关系，并说明理由．
解：猜想：∠B ＋∠D ＝180°. 理由如下：∵AB ∥CD ，
∴∠B ＝∠C(两直线平行，内错角相等)． ∵BC ∥ED ，
∴∠C ＋∠D ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∴∠B ＋∠D ＝180°.
17．(2017·南宁马山县期末)如图，CD ∥AB ，OE 平分∠AOD ，OF ⊥OE ，∠D ＝50°，求∠BOF 的度数．
解：∵CD ∥AB ，
∴∠AOD ＝180°－∠D ＝180°－50°＝130°. ∵OE 平分∠AOD ，
∴∠EOD ＝12∠AOD ＝1
2×130°＝65°.
∵OF ⊥OE ，
∴∠DOF ＝90°－∠EOD ＝90°－65°＝25°.
∴∠BOF ＝180°－∠AOD －∠DOF ＝180°－130°－25°＝25°. 综合题
18．阅读下列解答过程：如图甲，AB ∥CD ，探索∠P 与∠A ，∠C 之间的关系．
解：过点P 作PE ∥AB. ∵AB ∥CD ，
∴PE ∥AB ∥CD(平行于同一条直线的两条直线互相平行)． ∴∠1＋∠A ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∠2＋∠C ＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∴∠1＋∠A ＋∠2＋∠C ＝360°. 又∵∠APC ＝∠1＋∠2， ∴∠APC ＋∠A ＋∠C ＝360°.
如图乙和图丙，AB ∥CD ，请根据上述方法分别探索两图中∠P 与∠A ，∠C 之间的关系． 解：如图乙，过点P 作PE ∥AB. ∵AB ∥CD(已知)，
∴PE∥AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)．
∴∠A＝∠EPA，∠EPC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．∵∠APC＝∠EPA＋∠EPC，
∴∠APC＝∠A＋∠C(等量代换)．
如图丙，过点P作PF∥AB.
∴∠FPA＝∠A(两直线平行，内错角相等)．
∵AB∥CD(已知)，
∴PF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)．
∴∠FPC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵∠FPC－∠FPA＝∠APC，
∴∠C－∠A＝∠APC(等量代换)．
5.3.2 命题、定理、证明
基础题
知识点1 命题的定义及结构
判断一件事情的语句叫做命题，命题常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．
1．(2018·玉林陆川县期末)下列语句不是命题的是( A )
A．画两条相交直线B．互补的两个角之和是180°
C．两点之间线段最短D．相等的两个角是对顶角
2．把“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
3．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论：
(1)两点确定一条直线；
(2)同角的补角相等；
(3)两个锐角互余．
解：(1)如果在平面上有两个点，那么过这两个点确定一条直线．
题设：在平面上有两个点；
结论：过这两个点确定一条直线．
(2)如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等．
题设：两个角是同一个角的补角；结论：这两个角相等．
(3)如果两个角是锐角，那么这两个角互余．
题设：两个角是锐角；结论：这两个角互余．
知识点2 真假命题及其证明
(1)题设成立，并且结论一定成立的命题叫做真命题；题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．
(2)经过推理证实为正确并可以作为推理的依据的真命题叫做定理．很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理的过程叫做证明．
4．(2017·柳州期末)下列命题是真命题的是( C )
A．同位角相等B．有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
5．下列命题中，是假命题的是( A )
A．相等的角是对顶角
B．若|x|＝3，则x＝±3
C．同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
D．两点确定一条直线
6．如图，BD平分∠ABC，若∠BCD＝70°，∠ABD＝55°.求证：CD∥AB.
证明：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝55°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝110°.
又∵∠BCD＝70°，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∴CD∥AB(同旁内角互补，两直线平行)．
7．如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为真命题，并说明理由．
解：假命题，添加BE∥DF.
∵BE∥DF，
∴∠EBD＝∠FDN(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＝∠2，
∴∠EBD－∠1＝∠FDN－∠2.
∴∠ABD＝∠CDN.
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
中档题
8．(2017·无锡)对于命题“若a2>b2，则a>b.”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是( B )
A．a＝3，b＝2 B．a＝－3，b＝2 C．a＝3，b＝－1 D．a＝－1，b＝3
9．下列命题是假命题的是( B )
A．锐角小于它的补角B．内错角相等
C．两点之间线段最短D．同旁内角互补，两直线平行
10．下列说法正确的是( C )
A．“作线段CD＝AB”是一个命题B．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条
C．命题“若x＝1，则x2＝1”是真命题D．命题“若a
b
>1，则a>b”是真命题
11．“直角都相等”的题设是两个角是直角，结论是这两个角相等．12．对于下列假命题，各举一个反例写在横线上．
(1)“如果ac＝bc，那么a＝b”是一个假命题．。