高考物理万有引力定律的应用解析版汇编及解析

高考物理万有引力定律的应用解析版汇编及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H ，飞行周期为T ，月球的半径为R ，引力常量为G ．求：
(1) “嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小； (2)月球的质量；
(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大． 【答案】（1）()2R H T
π+（2）
()3
22
4R H GT π+（3）
()2R H R H
T
R
π++ 【解析】
（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小12π()
R H v T
+=． （2）设月球质量为M ．“嫦娥一号”的质量为m ．
根据牛二定律得222
4π()()R H Mm
G m R H T +=+
解得23
2
4π()R H M GT +=
． （3）设绕月飞船运行的线速度为V ，飞船质量为0m ，则2
002Mm V G m R
R =又
23
2
4π()R H M GT +=
． 联立得()2πR H R H
V T
R
++=
2．对某行星的一颗卫星进行观测，运行的轨迹是半径为r 的圆周，周期为T ，已知万有引力常量为G ．求： （1）该行星的质量．
（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的十分之一，则此行星的表面重力加速度有多大？
【答案】（1）2324r M GT π=（2）22
400r
g T
π= 【解析】
（1）卫星围绕地球做匀速圆周运动，由地球对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力．则
有：2224Mm G m r r T π=，可得23
2
4r M GT π=
（2）由
21()10
Mm
G
mg r =，则得：222400100GM r g r T π==
3．人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。

(1)开普勒坚信哥白尼的“日心说”，在研究了导师第谷在20余年中坚持对天体进行系统观测得到的大量精确资料后，提出了开普勒三定律，为人们解决行星运动问题提供了依据，也为牛顿发现万有引力定律提供了基础。

开普勒认为：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

行星轨道半长轴的三次方与其公转周期的二次方的比值是一个常量。

实际上行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们按圆轨道处理。

请你以地球绕太阳公转为例，根据万有引力定律和牛顿运动定律推导出此常量的表达式。

(2)天文观测发现，在银河系中，由两颗相距较近、仅在彼此间引力作用下运行的恒星组成的双星系统很普遍。

已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动，周期为T ，两颗恒星之间的距离为d ，引力常量为G 。

求此双星系统的总质量。

(3)北京时间2019年4月10日21时，由全球200多位科学家合作得到的人类首张黑洞照片面世，引起众多天文爱好者的兴趣。

同学们在查阅相关资料后知道：①黑洞具有非常强的引力，即使以3×108m/s 的速度传播的
倍，这个关系对于其他天体也是正确的。

③地球质量m e =6.0×1024kg ，引力常量G = 6.67×10-11N• m 2/ kg 2。

请你根据以上信息，利用高中学过的知识，通过计算求出：假如地球变为黑洞，在质量不变的情况下，地球半径的最大值（结果保留一位有效数字）。

（注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题时做必要的说明）
【答案】(1) 3224s Gm r T π= (2) 23
2
4d GT
π (3) 9×10-3m 【解析】 【详解】
⑴设太阳质量为m s ，地球质量为m e ，地球绕太阳公转的半径为r 太阳对地球的引力是地球做匀速圆周运动的向心力 根据万有引力定律和牛顿运动定律
2
224s e e m m G m r r T
π=
解得常量
322
4s
Gm r T π=
⑵设双星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2
根据万有引力定律及牛顿运动定律
2
1211224m m G m r d T π= 2
1222224m m G m r d T
π= 且有
12+r r d =
双星总质量
23
122
4=d m m m GT
π+=总 ⑶设地球质量为m e ，地球半径为R 。

质量为m 的物体在地球表面附近环绕地球飞行时，环绕速度为v 1
由万有引力定律和牛顿第二定律
212e m m v G m R R
=
解得
1e
Gm v R
=
逃逸速度
22e
Gm v R
=
假如地球变为黑洞
v 2≥c
代入数据解得地球半径的最大值
R =9×10-3m
4．如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．
(1)求卫星B 的运行周期．
(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
【答案】
(1)2B T =
t =
【解析】 【详解】
（1）由万有引力定律和向心力公式得()
()2
2
24B Mm
G
m R h T R h π=++①，2
Mm G mg R =②
联立①②解得：
2B T =
（2）由题意得()02B t ωωπ-=④，由③得
B ω=
代入④得
t =
5．据每日邮报2014年4月18日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T ；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h 处自由释放-个小球(引力视为恒力)，落地时间为.t 已知该行星半径为R ，万有引力常量为G ，求：
()1该行星的第一宇宙速度；
()2该行星的平均密度．
【答案】(()2
31 2?2h
Gt R π
． 【解析】 【分析】
根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力，求出质量与运动的周期，再利用M
V
ρ=，从而即可求解． 【详解】
()1根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度212
h gt =
解得：2
2h g t =
则由2
v mg m R
=
求得：星球的第一宇宙速度22h
v gR
R t
==
， ()2由222Mm h
G mg m R
t
==
有：2
2
2hR M Gt
= 所以星球的密度232M h V Gt R ρπ
== 【点睛】
本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．
6．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡上另一点Q ，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R ，万有引力常量为G ，求：
（1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的密度； （3）该星球的第一宇宙速度v ；
（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T ． 【答案】(1)02tan v t α；(2)03tan 2v GRt απ；02tana
v R t ；(4)0
2tan Rt v α【解析】 【分析】 【详解】
(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：
2
00
12tan α2gt y gt x v t v ===
解得该星球表面的重力加速度：
02tan α
v g t
=
(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：
2
GMm
mg R = 则该星球的质量：
G
gR M 2
= 该星球的密度：
33tan α34423
v M g
GR GRt R ρπππ=
=
=
(3)根据万有引力提供向心力得：
22Mm v G m R R
= 该星球的第一宙速度为：
02tana v R GM
v gR R t
=
==
(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:
2R
T v
π=
所以：
0022tan αtan t Rt
T R
v R v ππα
==
点睛：处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．
7．我国航天事业的了令世界瞩目的成就，其中嫦娥三号探测器与2013年12月2日凌晨1点30分在四川省西昌卫星发射中心发射，2013年12月6日傍晚17点53分，嫦娥三号成功实施近月制动顺利进入环月轨道，它绕月球运行的轨道可近似看作圆周，如图所示，设嫦娥三号运行的轨道半径为r ，周期为T ，月球半径为R ．
(1)嫦娥三号做匀速圆周运动的速度大小 (2)月球表面的重力加速度 (3)月球的第一宇宙速度多大．
【答案】(1) 2r T π；(2) 23224r T R π；23
2
4r T R
π
【解析】 【详解】
(1)嫦娥三号做匀速圆周运动线速度：
2r
v r T
πω==
(2)由重力等于万有引力：
2
GMm
mg R
= 对于嫦娥三号由万有引力等于向心力：
222
4GMm m r
r T π=
联立可得：
23224r g T R
π=
(3)第一宇宙速度为沿月表运动的速度：
2
2
GMm mv mg R R
== 可得月球的第一宇宙速度：
v ==
8．2019年4月20日22时41分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为r 的匀速圆周运动。

卫星的质量为m ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度大小为g ，不计地球自转的影响。

求：
（1）卫星进入轨道后的加速度大小g r ； （2）卫星的动能E k 。

【答案】（1）2
2gR r
（2）22mgR r
【解析】 【详解】
(1)设地球的质量为M ，对在地球表面质量为m '的物体，有：2
Mm G m g R
'
'= 对卫星，有：r 2
Mm
G
mg r = 解得：2
r 2g gR r
=
(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：
2 2
Mm v
G m
r r
=
卫星的动能为：2
k
1
2
E mv
=
解得：
2
k2
mgR
E
r
=
9．“天宫一号”是我国自主研发的目标飞行器，是中国空间实验室的雏形，2017年6月，“神舟十号”与“太空一号”成功对接．现已知“太空一号”飞行器在轨运行周期为To，运行速度为0v，地球半径为R，引力常量为.G假设“天宫一号”环绕地球做匀速圖周运动，求：
()1“天宫号”的轨道高度h．
()2地球的质量M．
【答案】(1)00
2
v T
h R
π
=- (2)
3
00
2
v T
M
G
π
=
【解析】
【详解】
(1)设“天宫一号”的轨道半径为r，则有：
2r
v
T
π
=“天宫一号”的轨道高度为：h r R
=-
即为：00
2
v T
h R
π
=-
(2)对“天宫一号”有：
2
22
4
Mm
G m r
r T
π
=
所以有：
3
00
2
v T
M
G
π
=
【点睛】
万有引力应用问题主要从以下两点入手：一是星表面重力与万有引力相等，二是万有引力提供圆周运动向心力．
10．今年6月13日，我国首颗地球同步轨道高分辨率对地观测卫星高分四号正式投入使用，这也是世界上地球同步轨道分辨率最高的对地观测卫星．如图所示，A是地球的同步卫星，已知地球半径为R，地球自转的周期为T，地球表面的重力加速度为g,求：
（1）同步卫星离地面高度h （2）地球的密度ρ(已知引力常量为G )
【答案】（122
32
4gR T
R π
（2）34g GR π 【解析】 【分析】 【详解】
（1）设地球质量为M ，卫星质量为m ，地球同步卫星到地面的高度为h ，同步卫星所受万有引力等于向心力为
()222
4()R h mM
G m R h T
π+=+ 在地球表面上引力等于重力为
2Mm
G
mg R
= 故地球同步卫星离地面的高度为
22
3
2
4gR T h R π=
（2）根据在地球表面上引力等于重力
2Mm
G
mg R
= 结合密度公式为
2
33443
gR M g G V GR R ρππ===。