基于伴随方法、梯度增强Kriging方法的涡扇发动机进气道减噪高效优化方法

基于伴随方法、梯度增强Kriging方法的涡扇发动机进气道
减噪高效优化方法
邱昇
【摘要】发动机进气道减噪优化设计问题中涉及大量设计变量,使用常规的Kriging模型来求解时计算量巨大,且计算效率低下.为了高效设计低噪声进气道,首次发展了用于管道声学问题的声传播方法、伴随方法、梯度增强Kriging方法的混合方法,提出了一套基于声学伴随方法和梯度增强代理模型的高效优化设计框架.利用伴随方法高效求解设计变量的梯度信息;并加入Kriging代理模型中,显著提高了代理模型的精度;阐述了梯度增强Kriging方法和伴随混合方法在低噪声涡扇发动机进气道设计中的应用潜力.首先通过两个标准函数,测试了梯度增强的Kriging方法的寻优性能.最后,应用发展的混合方法进行了高达24个设计变量的典型进气道低噪声设计.结果表明,在额外的梯度信息下,混合方法可设计出满足气动性能约束的低噪声进气道,验证了设计框架的有效性和高效率.
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2018(018)019
【总页数】7页(P289-295)
【关键词】气动声学;伴随方法;梯度增强Kriging方法;进气道;减噪优化设计
【作者】邱昇
【作者单位】中国航发商用航空发动机有限责任公司,上海200240
【正文语种】中文
【中图分类】V211.1
由于世界范围内的航空交通量的持续、快速增长，飞机和航空发动机的噪声已成为一个重要的问题；其大小直接影响噪声适航证的获取。

现代发动机高涵比不断增大，喷流噪声显著降低，风扇噪声成为在起飞和降落阶段的主要噪声源。

为了满足适航要求，大型客机发动机的设计在考虑性能要求的同时，需要针对噪声进行优化。

除了广泛应用敷设降噪声衬来降低风扇噪声的常规方法，通过进气道几何形状控制管道内噪声传播途径来降低噪声也是一种行之有效的方法。

Zheng等对涡扇发动
机进气道设计进行了优化设计。

优化结果表明，有效地改变了远场的噪声水平[1]。

Pan 等利用实验室已有CFD代码和声学商业软件ACTRAN，发展了噪声优化软件，通过优化进气道几何外形来降低噪声[2]。

Sugimoto等对噪声传播的影响参数进
行研究，表明管道的几何外形可明显改变噪声的传播路径[3]。

McAleer研究管道
几何形状和其他特性对噪声传播的影响，包括管道内的模态散射[4]。

此外，还研
究了这些特征对远场声指向性的影响。

与传统有限差分法相比，伴随方法的优点在于只需求解一次流动控制方程和伴随方程，便可获得对所有设计变量的梯度，梯度计算效率与设计变量数无关。

近年来，伴随方法开始被应用于处理噪声问题，它具有高效、精确的梯度计算能力。

Cao等建立了基于亥姆霍兹方程及其伴随方程的
形状设计模型，并应用于设计低噪声进气道[5]。

基于这种方法，Stanescu等推广了曹的工作，利用线性全势方程及其离散伴随公式进行了进气道的最佳声学设计[6]。

然而，他们工作的不足之处在于它们的声学模型很简单，只涉及一个设计变量。

Qiu等提出了一种更为复杂的基于时域线性欧拉方程的连续伴随方程的优化方法，高效地设计出了低噪声进气道[7]。

随后，Qiu等扩展了他们以前的工作，将
声学目标函数定义在远场积分线上，提出了基于远场积分线的连续伴随方法，进一步降低了进气道噪声[8]。

然而，以上这些基于伴随的优化方法是一种局部最优方
法，只能找到局部最优点。

相比之下，具有全局搜索能力的Kriging方法已被用于许多工程问题，包括气动优化、设计空间探索、敏感性分析等。

提高代理模型效率的一种方法是应用CoKriging模型；该模型使用低可信度样本和高可信度样本数据来建立一种变可信度模型[9，10]。

另一种提高 Kriging 模型效率的方法是在 Kriging 模型中引入梯
度信息，即梯度增强的Kriging 模型(gradient-enhanced Kriging，GEK)。

目前，已有大量 Kriging 模型及基于该模型的优化方法研究，对于 GEK 模型本身的研究也不少，详见文献[11，12]；然而未有 GEK 模型和 Kriging 模型在应用于减噪优化设计问题。

对于包含大量设计变量的管道减噪优化设计问题，直接进行Kriging全局优化代价太高。

为了综合利用伴随方法和Kriging方法的优点，有效地改进代理模型的精度。

现提出了一种结合伴随和Kriging方法的降噪优化方法；并阐述了梯度增强Kriging方法和伴随混合方法在低噪声涡扇发动机管道设计中的应用潜力。

其中，多维问题的大量梯度信息采用伴随方法即可高效地一次性获得。

与前人的工作相比，第一个贡献是从管道声传播方程出发，提出并发展了一种新的梯度增强Kriging方法和声学伴随方法的混合方法，发展了一套基于声学伴随和梯度增强代理模型的高效优化设计框架，并首次应用于进气道的低噪声设计。

另一个贡献是，在气动约束下，进行高达24个设计变量的进气道降噪优化设计，为进一步的气动和噪声联合优化奠定了坚实基础。

1 基于梯度增强的高效管道声学减噪优化方法
1.1 基于伴随的高效梯度计算方法
目前，抛物线近似、边界元(BE)方法、有限元/无限元(FE / IE)方法以及线性欧拉方程方法(LEE)已被应用于管道声传播问题。

而且Astley对计算气动声学的发展和方法做了详细综述[13]。

为了高精度求解管道噪声声传播问题，现采用线性欧拉方程
方法。

在该方法中，涡扇发动机风扇产生的声压扰动可以看成是很多个单一频率的组合，把这些扰动写成一系列Fourier级数。

文献[14]给出了多模态线性欧拉方程的复数形式：
(1)
式(1)中, ρ、u、v、w、p分别是密度、轴向速度、径向速度、周向速度和压力;m 是周向模态;x是轴向坐标;r是径向坐标;γ是气体比热比；下标“0” 表示背景流物理量；上标“′”表示声学扰动量。

求解上述噪声控制方程时，空间离散采用Tam and Webb发明的DRP格式[15]；时间推进采用LDDRK格式 [16]。

模态声源、数值格式和方程求解的细节可详见文献[7，8]。

通过引入伴随变量ψ，经过详细的数学推导可得到声学伴随方程如下：
(2)
式(2)中，C1、C2是雅克比矩阵；J为雅克比系数；ξ、η为曲线坐标系。

伴随方程和伴随边界条件的详细推导详见文献[7，8]。

对于基于梯度的优化方法，梯度值的准确求解非常关键。

考虑目标函数对设计变量的梯度，有4种方法：有限差分方法、复杂变量方法、自动微分方法和拟分析方法。

最简单和最直接的梯度求解方法是使用有限差分方法。

其表达形式为
(3)
式(3)中，ε为小的增加步；ek为设计空间的单位向量。

中心差分方法比单侧差分方法更加精确但是计算开销更大。

现采用伴随方法来高效计算设计变量的梯度值。

噪声目标函数的变分最后可简化为如下方程：
(4)
式(4)中，ψ2、ψ3为伴随变量ψ的第二和第三个元素；CD是进气道固壁；上标“+”和上标“-”分别表示积分线内外侧出的值；A、B、C′分别是系数矩阵。

于是，设计变量的梯度表达式为
(5)
式(5)中，δI、δb分别是设计变量变分。

从中可知，该伴随优化方法的优势是设计变量的梯度与设计变量数目无关。

只需一次计算，即可获得所有设计变量的梯度。

1.2 梯度增强Kriging模型
常规Kriging模型的表达式如下所示：
(6)
式(6)中，ψ是样本点和预测点x*之间的相关向量。

y是样本点处的函数值, f是值为1的列向量，Ψ 是样本点之间的相关矩阵。

而梯度增强Kriging模型的表达式如下[17]：
(7)
式(7)中
(10)
f=(11, … 1ns, ons+1, …, o(k+1)ns)T
(11)
式中，k是维数, ns 是训练样本的数目,是(k+1)n×(k+1)n 的对称矩阵, 是相关向量，向量同时包含函数值和样本梯度值和分别表示函数值和uth维梯度之间的相关性，uth维和vth维梯度之间的相关。

梯度增强Kriging方法的常数趋势函数可通过
最小二乘方法来计算，即超参数(θm，m=1，2，…，k)可通过最大似然函数获得。

1.3 优化设计流程
发展的梯度增强Kriging方法和声学伴随方法的混合方法的优化流程如图1所示。

图1 基于声学伴随和梯度增强代理模型的优化框架Fig.1 The optimization framework based on acoustic adjoint and gradient enhancement Kriging model
1.3.1 初始化
定义声学目标函数，指定设计变量范围等。

1.3.2 选取初始样本点
采用拉丁超立方方法来产生样本点。

1.3.3 样本点评估
首先计算每个样本点的流场，然后基于背景流场，计算发动机进气道内的噪声传播。

1.3.4 梯度值计算
首先采用CAA方法求解声学伴随方程获得伴随变量值，然后高效地获得所有设计变量的梯度值(4～5)。

1.3.5 建立梯度增强代理模型
通过加入伴随方法得到的梯度值，构建梯度增强Kriging模型。

1.3.6 优化搜索
通过采用搜索器寻优，得到新的最优点。

1.3.7 收敛判断
判断新产生的最优点是否满足停止条件。

1.3.8 代理模型更新
通过将额外的新样本点加入已有的样本数据，更新代理模型，直到达到停止条件，否则重复(3)～(7)。

2 优化结果
首先采用两个标准算例验证发展的混合优化方法，随后应用该优化方法设计满足气动约束的低噪声发动机进气道。

2.1 标准验证算例
两个标准函数均为20维测试函数。

第一个标准算例是球函数。

其表达式为
(12)
Sphere函数的三维网格曲面图见图2，其最优点为(0,…,0)，最优值为 0。

采用基于伴随、梯度增强Kriging混合方法的优化方法寻找该函数的最优值，其优化历史图如图3所示。

从中可知，该混合方法可快速收敛到最优解。

图2 Sphere函数的三维网格曲面图Fig.2 The 3D mesh surface of Sphere function
图3 球函数的优化历史图Fig.3 The optimization history of spherical function 第二个标准函数为Ackley函数，其数学表达式为
x∈[-32,32]n
(13)
Ackley函数的三维网格曲面图见图4。

该函数为多峰函数，寻找最优值的难度较高。

最优点为(0,…,0)，最优值为0。

采用发展的混合优化方法后，最优点的搜索历史如图5所示。

基于此两个标准数学函数的优化结果(表1)，可知混合方法对多峰
值复杂函数同样适用，仍然可快速、有效地搜索到最优值。

图4 Ackley函数的三维网格曲面图Fig.4 The 3D mesh surface of Ackley function
图5 Ackley函数的优化历史图Fig.5 The optimization history of Ackley function表1 两个函数的优化结果Table 1 The optimization results of two functions
方法Sphere函数Ackey函数平均值方差平均值方差本文方法002.65×10-91.39×10-9
2.2 典型发动机进气道低噪声设计
使用本文发展的混合优化方法来设计低噪声进气道，降低其从管道内向前传播的噪声。

在管道声学问题中，进气道内风扇前传噪声的声源声压由给定,其中m和n分别为周向和径向声模态。

Amn是(m,n)模态声源的声振幅，Jm和Ym 分别是第一类和第二类贝赛尔方程， Kmn 是管道特征值。

本文入射声波频率f=742.5 Hz，周向和径向声模态分别为(13，2)。

典型进气道内的声传播计算采用已发展的CAA 程序。

该程序已在半无限排气管道声传播、NASA JT15D静态发动机、真实TURNEX项目喷嘴等几个测试算例中得到验证，详情可参考文献[7，8]。

图6 下降工况的马赫数云图Fig.6 The mach number distribution of inlet at approach condition
图7 下降工况的近场声传播云图Fig.7 The sound propagation of inlet at approach condition典型进气道流场采用商用软件FLUENT计算，降落工况下的马赫数云图如图6所示。

降落工况下的近场声传播云图如图7所示。

初始构型的峰值辐射角度为32.5°，次峰值辐射角度为16.7°进气道的外形函数，即设计变量为
其中bi(x)是Hicks-Henne 型函数[18], x是轴向坐标且0≤x≤1，xMi是bi取最大值时对应的坐标值。

为了精确描述进气道外形的局部细节和提供足够大的设计空间，采用高达24个型函数作为设计变量(图8)。

进气道减噪优化的声学目标函数定义
为其中，CD曲线为进气道固壁, 而L1则为积分面曲线(图9)。

图8 叠加24个Hicks-Henne函数后的进气道新外形Fig.8 New geometries produced by adding 24 Hicks-Henne functions
图9 进气道计算区域示意Fig.9 The sketch of intake area
通过使用本文发展的混合方法，在经过40步优化迭代后，目标函数值不再减小，目标函数快速收敛到全局最小值。

整个优化历史如图10所示。

从中可知，总的声压振幅值降为初始值的89.5%，设计出了一个全局最优的低噪声进气道。

图10 目标函数收敛曲线Fig.10 The optimization history of objective functions
最后，图11展示的是最优进气道外形与初始构型的外形对比。

最优进气道外形的近场声传播云图如图11所示。

其峰值辐射角和次峰值辐射角分别为30.3°和15.0°。

图11 最优构型的外形及近场声传播结果Fig.11 The optimized intake geometry and its sound propagation results of near-field
最优外形除了具备低噪声特性之外，还需满足气动约束。

图12为进气道内外处的流场细节。

由图12可以看出，外形的改变没有引起风扇区压力分布出现大的变化，因此可以认为本文的声学优化结果几乎不会对发动机进气道的气动性能产生负面影响。

故最优外形在满足气动约束条件下，取得了低噪声特性。

图12 基准进气道与最优进气道的压力云图比较Fig.12 Comparison of pressure distribution between the base intake and the optimal intake
3 结论
通过本文研究工作，得到以下结论：
(1)从管道声传播方程出发，提出了一套基于声学伴随方法和梯度增强Kriging代
理模型的高效优化设计框架，并将该混合方法应用于设计低噪声进气道。

进气道内的噪声传播通过求解线性欧拉方程模拟，声学伴随方程基于噪声方程推导获得，通过求解该声学伴随方程，可仅计算一次即可高效地获得所有设计变量的梯度值。

(2) 在两个标准验证算例中，该混合方法可快速、高效地寻找到最优值。

针对典型发动机进气道算例，初始构型的峰值辐射角度为32.5°，次峰值辐射角度为16.7°，而应用该混合方法设计出的最优构型，噪声传播路径被有效优化，其峰值辐射角和次峰值辐射角分别为30.3°和15.0°。

此外，最优构型的总的声压振幅值降为初始
值的89.5%，该混合方法设计出了一个满足气动约束的全局最优的低噪声进气道，验证了基于伴随、梯度增强Kriging代理模型的高效优化设计框架的有效性和高效率。

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