[推荐学习]2018届高三数学3月“二诊”模拟考试试题 文(含解析)

成都龙泉中学2015级高三下学期“二诊”模拟考试试题
数学（文科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】求解一元二次不等式可得：，
结合交集的定义有：
本题选择A选项.
2. 复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A
【解析】∵，
∴复数在复平面内对应的点为，在第一象限。

选A。

3. 某人从甲地去乙地共走了500，途经一条宽为的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品未掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽大约为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由长度形的几何概型公式结合题意可知，河宽为： .
本题选择D选项.
4. “”是“”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】求解指数不等式可得：，
据此可得“”是“”的必要不充分条件.
本题选择B选项.
5. 设直线l1：2x－my＝1，l2：(m－1)x－y＝1，则“m＝2”是“l1∥l2”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6. 如下图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是
A. ①是棱台
B. ②是圆台
C. ③是棱锥
D. ④不是棱柱
【答案】C
【解析】试题分析：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱；很明显③是棱锥，选D．
考点：空间几何体的结构特征．
7. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，…，，输出，，则
A. +为，，…，的和
B. 为，，…，的算术平均数
C. 和分是，，…，中最大的数和最小的数
D. 和分是，，…，中最小的数和最大的数
【答案】C
【解析】试题分析：由程序框图可知，该程序的作用是将最大的数赋值给，最小的数赋值给
，故选项正确.
考点：算法与程序框图.
视频
8. 如图，在四棱锥C－ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝12，AD＝，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为
A. 72π
B. 84π
C. 128π
D. 168π
【答案】B
【解析】由底面的几何特征易得，
由题意可得：,由于AB∥OD，异面直线CD与AB所成角为30°故∠CDO=30°，
则，
设三棱锥O-BCD外接球半径为R，
结合可得：
，
该球的表面积为：.
本题选择B选项.
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
9. 锐角的面积为2，角的对边为，且，若恒成立，则实数的最大值为
A. 2
B.
C. 4
D.
【答案】C
【解析】由题意结合余弦定理可得：，
整理可得：，
，
则△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，
据此可得：，
结合勾股定理可得：，
据此可得：实数的最大值为4 .
本题选择C选项.
10. 设函数的图像关于直线对称，且它的最小正周期为，则
A. 的图像经过点
B. 在区间上是减函数
C. 的图像的一个对称中心是
D. 的最大值为A
【答案】C
【解析】考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据周期求出ω，根据函数图象关于直线x=对称求出φ，可得函数的解析式，根据函数的解析式判断各个选项是否正确
解答：解：由题意可得=π，∴ω=2，可得f（x）=Asin（2x+φ）．
再由函数图象关于直线x=对称，故f（）=Asin（+φ）=±A，故可取φ=．
故函数f（x）=Asin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z，故选项B不正确．
由于A不确定，故选项A不正确．令2x+=kπ，k∈z，可得 x=-，k∈z，
故函数的对称中心为（-，0），k∈z，故选项C正确．
由于A的值的符号不确定，故选项D不正确．
故选C
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．
11. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上的两点，若,为坐标原点，则的面积
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示,根据抛物线的定义,，
结合可知|AB|=2|AE|,
由抛物线的对称性,不妨设直线的斜率为正,
所以直线AB的倾斜角为60°,直线AB的方程为，
联立直线AB与抛物线的方程可得，
所以，
而原点到直线AB的距离为，
所以.
当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求得.
本题选择D选项.
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
12. 已知函数的图象与函数的图象关于y轴对称，若函数与函数
在区间上同时单调递增或同时单调递减，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数与的图象关于轴对称，所以，函数与函数在区间上同时单调递增或同时单调递减，所以函数和函数
在上单调性相同，因为和函数的单调性相反，所以
在上恒成立，即在上恒成立，即在
上恒成立，得，即实数的取值范围是，故选B.
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若复数的共轭复数满足，则__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，则.
14. 设实数满足则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由约束条件作出可行域如图，
A(2,0)，
联立,解得B(2,6).
的几何意义为可行域内的动点与定点(−3,1)连线的斜率。

∵k PA=−,k PB=1.
∴y−1x+3的取值范围是[−,1].<br/>故答案为：[−,1].
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15. 已知三角形中，过中线的中点任作一条直线分别交边于两点，设
，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】试题分析：由已知可得
,由
.
考点：1、向量的基本运算；2、基本不等式.
【方法点晴】本题主要考查向量的基本运算和基本不等式，属于较难题型，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.本题还有一个难点是通过向量的几何运算求出.
16. 设f'（x）是函数f（x）的导数，f''（x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果计算：
______．
【答案】76
【解析】由题意可得：，
令可得，，
则函数关于点中心对称，据此可得：
则：.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知函数f(x)＝ln x－.
(1)试讨论f(x)在定义域上的单调性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：
(1)由题得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且.分类讨论可得：当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.当a<0时，f(x)在(0，－a]上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数.
(2)由(1)可知：，分类讨论：①若a≥－1，f(x)min＝f(1)，可得，不合题意；
②若a≤－e，f(x)min＝f(e)，可得，不合题意；③若－e<a<－1，f(x)min＝f(－a)，可得
，符合题意.
试题解析：
(1)由题得f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数.
当a<0时，由f′(x)＝0得x＝－a，由f′(x)>0得，x>－a，由f′(x)<0得，x<－a，
∴当a<0时，f(x)在(0，－a]上为减函数，在(－a，＋∞)上为增函数.
(2)由(1)可知：f′(x)＝，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去).
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).
③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a，当1<x<－a时，f′(x)<0，
∴f(x)在(1，－a)上为减函数；当－a<x<e时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－a，e)上为增函数，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－.
综上可知：a＝－.
18. 某年级教师年龄数据如下表：
(1)求这20名教师年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；
(3)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．
【答案】（1）30,18；（2）见解析；（3）
【解析】试题分析：
(1)由所给的年龄数据可得这20名教师年龄的众数为30，极差为18.
(2)结合所给的数据绘制茎叶图即可；
(3)由题意可知，其中任选2名教师共有21种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有12种，结合古典概型计算公式可得所求概率值为.
试题解析：
(1)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18.
(2)
(3)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P(A)＝＝.
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，为的中点，
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：
(1)利用直线平行于平面内的一条直线证得线面平行即可；
(2)首先求得△PCE的面积，然后找到点P到平面的距离，利用体积公式求解三棱锥的体积即可.
试题解析：
（Ⅰ）设与相交于点，连接．
由题意知，底面是菱形，则为的中点，
又为的中点，所以，且平面，平面，
则平面．
（Ⅱ），
因为四边形是菱形，所以，
又因为平面，
所以，
又，所以平面，
即是三棱锥的高，，
则．
点睛：推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
20. f(x)对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.
(1)求f和f＋的值；
(2)数列{a n}满足：a n＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)，数列{a n}是等差数列吗？请给予证明；
(3)令b n＝，，证明T n<2.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】试题分析：
(1)令可得，令可得；
(2)结合(1)中的结论倒序相加可得：，则数列是等差数列；
........................
试题解析：
(1)因为f＋f＝，所以2f＝，所以f＝.
令x＝，则f＋f＝f＋f＝.
(2)a n＝f(0)＋f＋…f＋f(1)，
又a n＝f(1)＋f＋…f＋f(0)，
两式相加2a n＝[f(0)＋f(1)]＋＋[f(1)＋f(0)]＝，
所以a n＝，所以a n＋1－a n＝，故数列{a n}是等差数列.
(3) b n＝＝，
T n＝b＋b＋…＋b＝＋＋…＋≤1＋＋＋…＋
＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－<2.
21. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，点在椭圆C上，满足
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点
的两点，与直线交于点（介于两点之间）.
(ⅰ)求证：；
(ⅱ)是否存在直线，使得直线、、、的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程；若不能，请说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：
（1）设，由题意可得，所以. 结合椭圆的定义
可得. 则椭圆C的标准方程为.
（2）(ⅰ)设方程为，与联立可得. 则的斜率是.
联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可得，和
中，由正弦定理得，，结合几何关系可得
成立.
(ⅱ)由(ⅰ)知，，，.假设存在直线，满足题意.不妨设，
，若按某种排序构成等比数列，则，则，此时直线与平行或重合，与题意不符，则不存在直线满足题意.
试题解析：
（1）设，
则=，所以.
因为=4，所以.
故椭圆C的标准方程为.
（2）(ⅰ)设方程为，与联立，消得
, 由题意知，解得.
因为直线与的倾斜角互补，所以的斜率是.
设直线方程：，，联立，整理得，由，
得，，；
直线、的斜率之和
所以关于直线对称，即，
在和中，由正弦定理得
，，
又因为，
所以
故成立.
(ⅱ)由(ⅰ)知，，，.
假设存在直线，满足题意.不妨设，，若按某种排序构成等比数列，设公比为，则或或.
所以，则，此时直线与平行或重合，与题意不符，
故不存在直线，满足题意.
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
【答案】（1）（为参数，）；（2）
【解析】试题分析：
(1)由题意可得普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．化为参数方程即（为参数，
）；
(2)设D(1＋cos t，sin t)．设圆心为G，结合(1)的结论可得GD与l的斜率相同，则，代入参数方程可得D的坐标为D.
试题解析：
(1)C的普通方程为
(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为
(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
23. 已知函数（其中，）．
（1）若，，求不等式的解集；
（2）若，求证：．
【答案】（1）；（2）16
【解析】试题分析：
本题考查绝对值不等式的知识。

（Ⅰ）将，代入不等式，根据零点分区间法将不等式转化为三个不等式组求解即可。

（Ⅱ）先运用绝对值的三角不等式消去变量x，然后根据基本不等式证明。

试题解析：
（Ⅰ）当，时，不等式即为，
等价于或或，
解得或。

所以原不等式的解集为．
（Ⅱ）证明：
，
当且仅当且，即时等号成立。

∴ ．。