高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积

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【做一做
4-2】
若
e
1,e2
是夹角为
π 3
的单位向量,
且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则 a·b=( )
A.1
B.-4
C.−
7 2
D.
7 2
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 平面向量数量积的运算
【例 1】
如图,在▱ABCD 中,|������������| = 4, |������������| = 3,∠DAB=60°,求: (1)������������ ·������������; (2)������������ ·������������; (3)������������ ·������������; (4)������������ 在������������ 方向上的射影.
夹角为( )
A. π
B. π
C. π
D. π
6
4
3
2
答案:C
【做一做3-2】 已知向量a与b的夹角为60°,|a|=2,|b|=3,则|a-
b|=
.
解析:|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos 60°+|b|2=7,则
|a-b|= 7.
答案: 7
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4.运算律 (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)a·(b+c)=a·b+a·c. 【做一做4-1】 下列运算中不正确的是( ) A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)·c=a·c+b·c C.m(a+b)=ma+mb D.(a·b)c=a(b·c) 答案:D
(2)垂直:如果向量a和b的夹角是90°,我们就说向量a与b垂直, 记作a⊥b.规定:零向量可与任一向量垂直.
若a与b是非零向量,则a⊥b⇔a,b所在的直线垂直. (3)投影:|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影). 向量b在a上的投影不是向量而是数量,它的符号取决于角θ的范围.
3×
3 2
=
3.
答案:3
【做一做2-2】 如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=1,则
AB·BC的值是 ( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
解析:易得������������与������������的夹角为135°,|������������| = 2, 故������������ ·������������ = 1 × 2 × cos 135°=-1. 答案:B
它的几何意义是:向量b在向量a方向上的射影|b|cos θ等于向量b 和与向量a同向的单位向量的数量积(或内积).
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【做一做 2-1】 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°,|a|=2,|b|=
3, 则向量a 和向量 b 的数量积 a·b=
.
解析:a·b=|a||b|cos 30°=2×
2.5 从力做的功到向量的数量积
1.通过物理中“功”的实例,理解平面向量数量积的含义及其几何 意义、物理意义.
2.掌握平面向量数量积的主要性质及其运算律. 3.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,会用平面向量的数 量积判断两个平面向量的垂直关系.
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1.向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量 a 和 b,如图,作������������ =a, ������������ =b,∠ AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a 和 b 的夹角.当 θ=0° 时,向量 a 和 b 同向;当 θ=180°时,向量 a 和 b 反向.
(3)|a|= ������·������.
(4)cos
θ=
������·������ |������||������|
(|a||b|≠0).
(5)对任意两个向量a,b,有|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时,等号成 立.
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名师点拨
1.(a+b)2=a2+2a·b+b2;(a-b)2=a2-2a·b+b2;a2-b2=(a-b)·(a+b).
_________.
答案:120°
【做一做1-2】 已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60°,则b在
a方向上的投影数量是
.
解析:|b|cos 60°=2×cos 60°=1.
答案:1
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2.向量的数量积 (1)数量积:已知两个向量a与b,它们的夹角为θ,我们把|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ. (2)几何意义:a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影 |b|cos θ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积.
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【做一做2-3】 已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在
向量b方向上的射影是
.
解析:向量a在向量b方向上的射影是
|a|cos
60°=4×
1 2
=
2.
答案:2
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3.向量数量积的性质 (1)若e是单位向量,则e·a=a·e=|a|cos θ. (2)若a⊥b,则a·b=0;反之,若a·b=0,则a⊥b.通常记作 a⊥b⇔a·b=0.
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名师点拨1.两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与这 两个向量的长度及夹角有关.
2.数量积是向量之间的乘法, 它既不同于实数的乘法,也不同于 实数与向量的积,它的结果是一个数量,书写时只能写成a·b,不能写 成ab或a×b.
3.由向量的数量积的定义式,我们可以得出|b|cos θ= |������������|·b.
2.设 θ 是非零向量 a 与 b 的夹角,则向量 a 在向量 b 方
向上的射影|a|cos
θ=
������ ·������ .
|������|
3.设 θ 为 a,b 的夹角,则 0≤θ< π⇔a·b>0; π <
2
2
������≤π⇔a·b<0.
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【做一做3-1】 已知向量a,b满足a·b=2,|a|=1,|b|=4,则向量a,b的
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名师点拨向量a,b的夹角θ与a,b位置关系的对应如下表:
θ 的大小
a,b 的位置关系
θ=0°
a 与 b 同向
0°<θ<90°
a 与 b 的夹角 θ 为锐角
θ=90°
a 与 b 垂直,记作 a⊥b
90°<θ<180°
a 与 b 的夹角 θ 为钝角
θ=180°Biblioteka a 与 b 反向1234
【做一做 1-1】 在正三角形 ABC 中,向量������������与������������的夹角为