拓扑学第2章拓扑空间连续映射

第二章 拓扑空间与连续映射
本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.
教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。

§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画
由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。

设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：
（1）序列语言
若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；
（2）εδ-语言
对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有
0()()f x f x ε-<
（3）邻域语言
若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。

解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；
所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。

§ 2-2 拓扑空间的定义
一、 拓扑的定义
注：这是关于拓扑结构性的定义
定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2X
τ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足
（1）,X τ∅∈；
（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；
(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。

集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。

τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。

下面我们解释三个问题：
(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。

● 先解释拓扑定义的理由:
① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；
② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。

③ 在数学分析中要定义区间的内点、外点、聚点…等概念，这些概念的定义都要用到球形邻域的概念，并且那里的球形邻域都是开集。

● 解释为什么(1)、(2)、(3)可以表述为开集：
回顾一下度量空间中开机的定义。

在度量空间中，开机的定义：“由内点组成的集合”。

即，若A 是开集，则x A ∀∈，一定存在x 的ε-邻域(,)B x A ε⊂。

这也是开集的判定条件。

例1 R 上的开区间(,),(,),(,)a b a -∞-∞∞都是开集。

而(,],[,],(,],[,)a b a b a b -∞∞都不是开集，因为存在边界点a 或b ，它们不存在ε-球形邻域含于集合之中。

例2 任意多个开集的并仍是开集；但是，对于交运算不成立，即任意多个开集的交不一定是开集，如1
E 中开集
11(1,1)n A n n =--+， 1[1,1]n n A ∞=Λ==- 前面给出的是拓扑的结构性的表述，下面给出代数性质的（逻辑的）表述，最终将其作为拓扑的公理化定义。

性质： 度量空间(,)X d 中开集具有下述性质
（1）X 与∅是开集；
（2）12,A A 是开集12A A ⇒⋂是开集（或有限多个交）；
（3）λ∈Γ（任何指标集），若A λ是开集A λλ∈Γ
⇒ 是开集。

证明：（1）由于X 中每一点x 的邻域必然包含于X 中(X 是整个空间，没有X 以外的元素)，故X 满足开集条件；其次，∅中没有任何元素，可以自然认为是开集。

（2）设12,A A 是
X 上的开集。

若12x A A ∈⋂，则必有1x A ∈且2x A ∈(核心说明12A A ⋂中的点是内点)。

于是，存在x 的球形邻域11(,)B x A ε⊂及22(,)B x A ε⊂. 取12min{,}εεε=，则(,)B x ε是x 的球形邻域，且有
12(,),(,)B x A B x A εε⊂⊂，于是
12(,)B x A A ε⊂⋂
故12A A ⋂是开集。

（3）设x A λλ∈Γ∀∈ ，于是存在某个λ，使x A λ∈；由于是A λ开集，则存在
(,),B x A λε⊂(,)B x A λλε∈Γ⇒⊂ . 故A λλ∈Γ
是开集。

2
● 解释利用开集刻画邻域的“完备性”
我们熟知，在度量空间中，用开集表示邻域有如下好的性质：
① x X ∀∈，至少有一个邻域，使x 属于该邻域；
② 对于x X ∈的任意两个邻域12,U U ，存在x 的另一邻域V ，使得12V U U ⊂⋂(对于闭集不成立)
③ 若x 的邻域中还有点y x ≠，则存在y 的邻域含于x 的邻域中(分析中最有用的性质)。

这表明：一、邻域可以用邻域来刻画，二、邻域中有更精细的邻域，易于刻画收敛性质。

二、 拓扑空间的例子
判断τ是否为拓扑，主要检查是否满足三条公理：1、X 与∅是否在其中；2、对于有限交是否封闭（通常只要两个集合的交封闭）；3、对于任意并是否封闭。

例1 设{,,}X a b c =，在X 上可以构造29个拓扑，如
① {,{,,}}a b c ∅
② {,{,,},{,}}a b c a b ∅
③ {,{,,},{}}a b c a ∅
④ {,{,,},{},{,}}a b c a b c ∅
⑤ {,{,,},{},{,}}a b c a a b ∅
⑥ {,{,,},{},{,},{,}}a b c a a b a c ∅
⑦ {,{,,},{},{},{,},{,}}a b c a b a b b c ∅
⑧ {,{,,},{},{},{},{,},{,},{,}}a b c a b c a b a c b c ∅
……………（共29个，其他的有同学自己列举）
例2 设{,,}X x y z =，下列哪些是拓扑，哪些不是。

如果不是请添加最少的子集，使其成为拓扑。

① {,,{},{,}}X x y z ∅
② {,,{,},{,}}X x y x z ∅
③ {,,{,},{,},{,}}X x y x z y z ∅
④ {,,{},{}}X x y ∅
解：①是；②不是，须添加{}x ；③不是，须添加{},{},{}x y z ;④不是，须添加{,}x y 。

例3 若1τ和2τ都是X 上的拓扑，则12ττ⋃是X 上的拓扑吗？
U 1 2
② ③
解： 不一定。

如设{,,}X a b c =，则
1{,,{},{,},{,}}X a a c a b τ=∅，2{,,{},{,},{,}}X c a c b c τ=∅
都是X 上的拓扑，而
12{,,{},{},{,},{,},{,}}X a c a c a b b c ττ⋃=∅
不是X 上的拓扑，因为12{,}{,}{}a b b c b ττ⋂=∉⋃.
例4 若1τ和2τ都是X 上的拓扑，则12ττ⋂是X 上的拓扑吗？
解： 是。

（1）12,X ττ∅∈⋂；（因为,X ∅同属于1τ和2τ）
（2）若 121212,,,A B A B A B A B ττττττ∈⋂⇒∈∈⇒⋂∈⋂且；
（3）将（2）中A B ⋂改为A B ⋃，仍成立。

★ 下面给出几个常见的重要拓扑的例子。

[1] 离散拓扑 —— 非空集合X 的所有子集构成的集族2X τ=（包括∅）。

[2] 平庸（平凡）拓扑 ——X 是非空集合，{,}X τ=∅。

[3] 余有限拓扑 —— 设X 是无穷集，称
{C f A A τ=是X 的有限集}{}⋃∅
为X 上的余有限拓扑。

[4] 余可数拓扑 ——设X 是不可数无穷集，称
{C C A
A τ=是X 的可数子集}{}⋃∅
为X 上的余可数拓扑。

[5] 欧氏拓扑 —— R 是全体实数集合，称 {e U U τ=是若干个开区间的并}
为R 上的欧氏拓扑。

(注：“若干”可表示无穷，有穷或零个，故,R ∅均含于其中) ★ 严格讲，上述集族为拓扑需要证明，下面仅证明[3](余有限拓扑) 证明：（1） 因为∅是有限集，而C X ∅=，则f X τ∈；
又由定义，∅在f τ中，即∅∈f τ。

（2） 设,f A B τ∈，若,A B 中有一个是∅，则自然有f A B τ⋂=∅∈；
若,A B 均非空，则存在X 的有限子集11,A B ，使得11,C C A A B B ==（有限集），于是，
1111()C C C A B A B A B ⋂=⋂=⋃
由于11,A B 为有限集，则11A B ⋃仍是有限集，则A B ⋂是有限集的余，则f A B τ⋂∈.
（3） 设,f A ατα∈∈Γ（指标集），且存在α，使A α非空。

又设C A B αα=, 这里B α是X 上
的有限集，于是
[]C C A B B αααααα
∈Γ∈Γ∈Γ== （根据摩根律） 因为B α是有限集，则B αα∈Γ 也是有限集，而A αα∈Γ 是有限集的余，故f A αατ
∈Γ∈ .
利用类似的方法，可以证明上面的所有例子。

作为本节的一个知识要求：能够证明一个集族是拓扑。

三、 度量拓扑
利用集合X 上定义的度量d ，可以在X 上定义ε-邻域，即可以在X 上导出一个拓扑。

这意味着，每个度量空间也都是拓扑空间。

设(,)X d 为一度量空间，0,0x X ε∀∈>，称集合
00(,){,(,)}B x x x X d x x εε=∈<
为以0x 为中心的，ε为半径的球形邻域。

引理： 度量空间(,)X d 的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集。

证明：如右图所示，设
1122(,)(,)U B x B x εε=⋂ x U ∀∈，则有
1122(,)0,(,)0d x x d x x εε->->
记
1122min{(,),(,)}x d x x d x x εεε=--
则知(,)x B x U ε⊂，于是
(,)x x U U B x ε∈=
证毕。

利用上述引理，我们可以在度量空间(,)X d 上构造一个拓扑。

定理： 设X (度量空间)的子集族
{d U U τ=是若干个球形邻域的并集}
则d τ是X 上的一个拓扑。

证明：（先明确“若干个”的含义，可以是无穷，有穷或零个）
（1）由于球形邻域是开集，于是X 可以表示为无穷个球形邻域的并，∅表示为零个球形邻域的并，故拓扑公理1成立；
（2）又由d τ的定义知，任意多个邻域的并必属于d τ，则公理2成立；
（3）下面证明拓扑公理3成立。

设,d U V τ∈，记
(,),U B x αααε= (,
),V B x βββε= 则 ((,))((,))U V B x B x ααββαβ
εε⋂=⋂ （由分配率） ,[(,)(,)]B x B x ααββαβ
εε=⋂
由引理，(,)(,)B x B x ααββεε⋂一定满足d τ的条件，即属于d τ，故U V ⋂是若干个球形邻域的并，即d U V τ⋂∈.
证毕。

综上定理，我们称d τ为X 上由度量d 决定的度量拓扑（即，由若干个球形邻域之并构成的集族）。

于是，每个度量空间（包括n E ）都可以自然地看成为具有度量拓扑的拓扑空间。

同时看出：三条拓扑公理正是度量空间开集具有性质的抽象。

§ 2—3 拓扑空间中几个平行于分析数学的基本概念
一、 度量空间中的几个基本概念
⑴ 球形邻域（开球）(,)B x ε，（前面已介绍，略）
下面给出一个度量空间球形邻域的例子。

例 [,]C a b 表示区间[,]a b 上的连续函数全体，定义两个函数f 和g 的距离（,[,]f g C a b ∀∈） (,)max ()()a x b
d f g f x g x ≤≤=- 令()([,])h x k x a b =∈，则关于()h x 的ε-球形邻域(,)B h ε如下图所示。

⑵ 内点 ——设A 是(,)X d 的一个子集，若x A ∈且存在点x 的一个邻域(,)B x A ε⊂，则称x 是A 的一个内点。

说明：内点x 是这样的点，它自身属于A ，并且它“近旁”的一切点都属于A 。

⑶ 外点 —— 若C
x A ∈，且存在一个邻域(,)C B x A ε⊂，则称x 是A 的一个外点。

说明：外点x 是这样的点，它自身不属于，而且它的近旁的一切带内也不属于A 。

⑷ 边界点 —— 若x X ∈,x 既非A 的内点，也非A 的外
点。

或者说，对于任何0ε>，(,)B x ε与A 和C A 的交均非空，则称x 是A 的一个边界点。

⑸ 内部 ——A 中所有内点的全体称为A 的内部，记为int A 或()i A 。

⑹ 外部 ——A 的外点全体。

⑺ 边界 ——A 的所有边界点全体，记为()b A 或A ∂。

⑻ 开集 —— 如果A 中的每一点都是A 的内点，即
int A A =。

K+K
例如：开区间(,)a b 一定是R 中的一个开集；
开圆盘一定是2R 中的一个开集；
一般的，任意n 维开球一定是n R 中的开集（但开集未必是开球）。

此外，整个n R 当然是n R 中的开集
约定：空集也是开集。

⑼ 闭集 —— 若C A X A =-是X 中的开集，则称A 是X 中的闭集。

⑽ 聚点 —— 设A 是(,)X d 的一个子集，x X ∈，若0ε∀>，有
(,)({})B x A x ε⋂-≠∅
则称x 是A 的一个聚点（或极限点）。

说明：① 如果x 是A 的一个聚点，那么必存在一列n x ∈A （n = 1，2，…），n x x ≠，使n x x →，这表明在A 内存在一列点积聚在x 周围，即谓之“聚”也。

② 注意，聚点本身可能属于A ，亦可能不属于A 。

③ A 的内点一定是A 的聚点，A 的外点一定不是聚点。

问题：A 的边界点是不是A 的聚点呢？（不一定，有可能是孤立点）
⑾ 导集 —— A 的所有聚点全体之集合，称为A 的导集，记为()d A 。

⑿ 闭包 —— ()A A d A =⋃称为A 的闭包。

例如：直线上(,)a b 的闭包是[,]a b 。

⒀ 稠密子集 —— 若A X =，则称A 为(,)X d 的稠密子集，或称A 在(,)X d 中是稠密的。

⒁ 疏子集(疏朗集) —— 若int A =∅，称A 为(,)X d 的疏子集。

⒂ 孤立点 —— 若x A ∈不是A 的聚点，即存在使得
(,){}B x A x ε⋂=
则称x 是A 的孤立点。

思考：1）x A ∉，也不是A 的聚点，x 是A 的什么点？
2）孤立点与边界点关系？
⒃ 完全集 —— 若A 是无孤立点的闭集，则称A 为(,)X d 的完全集。

二、 拓扑空间中的相关概念的定义
我们在邻域概念中回避半径ε（度量），将含点x 的集合称为x 的邻域。

于是有如下定义： 设(,)X τ为拓扑空间，有
（1）邻域 —— ,x X U ∈为X 的子集。

若存在一个包含x 的开集V （注：V 是τ中的元素），
且x V U ∈⊂，则称U 为x 的邻域。

注：由定义知，开集本身也是所含元素的邻域。

邻域可以不是开集，但它是由开集来定义的，即邻域U 可以不再拓扑τ中。

▲ 凡是包含x 的开集（τ中的元素）均为x 的邻域，称为点x 的开邻域。

▲ 点x 的所有邻域构成X 的子集族，称为点x 的邻域系。

（2）开集 —— 在拓扑空间中，对开集不再另行定义，而将拓扑τ中的元素称为开集，这是公理性定义。

定理： 拓扑空间X 的子集U 是开集⇔U 为其每一点的邻域。

即x U ∈，则U 为x 的邻域。

证明： ⇒（必要性）由邻域的定义，这是显然的。

⇐（充分性）设U 为其每一点的邻域，于是，∀x U ∈，存在开集x V 使得x x V U ∈⊂。

(注：拓扑空间开集使用公理给出的，所以此条件还不能证明U 是开集) 由x V U ⊂，有x x U U V ∈=。

因为x V 是开集，故U 是开集.
重点理解该定理的意义：对于(,)X τ中的子集U ，有
U 是非空开集⇔U 是其每一点的邻域
下面的结论是明显的（不加以证明）
X 是拓扑空间，x X ∈，x U 为x 的邻域系：
① ,x x X ∀∈≠∅U ；
② 若x U ∈U ，则x U ∈；
③ 若,x U V ∈A ，则x U V ⋂∈U ； （由开集的代数性质可得）
④ 若x U ∈U ，且U V ⊂，则x V ∈U ；
⑤ 若x U ∈U ，则存在x V ∈U 满足：
).,).a V U b ⊂对于任一,y y V V ∈∈U （由邻域的定义及定理可得）
（3）闭集—— 拓扑空间X 的一个子集A 称为闭集，若C
A 是开集。

注释：ⅰ、由于,C C X X =∅∅=，则,X ∅也是闭集；
平凡拓扑空间{,}X τ=∅也是闭集构成的。

ⅱ、在离散拓扑空间中，任何子集都是开集，于是，也都是闭集。

上述说明，我们不能用欧氏空间中开、闭集的概念来理解拓扑空间中相应的概念。

拓扑的定义是逻辑的，不是分析的。

（4）内点 —— A 是(,)X τ的子集，x A ∈，若存在开集U （即τ中元素）使得x U A ∈⊂，则称x 是A 的一个内点。

（5）内部 —— A 的所有内点的集合，记为int A 或()i A 。

（6）聚点 —— A 是(,)X d 的子集，x X ∈，若x 的每一邻域U 中都含有{}A x -中的点， 则称x 是A 的一个聚点（或极限点）。

（注：用x 的邻域而不是开集）
（7）导集 —— A 的所有聚点的集合，称为A 的导集，记为()d A 或A '。

（8）闭包 —— 称()A A d A =⋃为A 的闭包。

（9）稠密集 —— 若A X =，则称A 关于X 是稠密的。

▲ 如果X 有可数的稠密子集，称X 是可分的拓扑空间。

思考题：
① 余有限拓扑(,)f R τ是可分的。

② 余可数拓扑(,)C R τ是不可分的。

三、 拓扑空间上集合的一些重要性质
▲性质1（关于闭集的性质） 拓扑空间的闭集满足
（1） X 与∅是闭集；
（2） 任意多个闭集的交是闭集；
（3） 有限多个闭集的并是闭集。

证明： （1）已经证过；（2）和（3）可用开集的公理（2）和（3）经摩根律得出。

▲性质2（关于内点的性质） 设,A B 是拓扑空间的子集，有
① 若A B ⊂，则int int A B ⊂；
② int A 是包含在A 中的所有开集的并集，因此，是包含在A 中的最大开集；
③ int A A A =⇔是开集；
④ int()int int A B A B ⋂=⋂；
⑤ int()int int A B A B ⋃⊃⋃.
证明：
① (提示：只要证明A 的内点一定是B 的内点)
设x 是A 的内点，则存在开集U ，使得x U A ∈⊂；
又A B ⊂,则必有U B ⊂，于是，x 也是B 的内点。

故 int int A B ⊂;
② 设{}U αα∈Γ是包含在A 中的所有开集构成的子集族。

提示：我们只要证明 int A U αα∈Γ=
即可 首先，,α∀∈Γ U A α⊂，于是，对于x U A α∈⊂，x 是A 的内点，即U α中所有点x 均是A 的内点。

故有int U A α⊂, 于是int U A αα∈Γ
⊂ . 又，若int x A ∈，则必有一个开集U α，使得x U α∈.故对int A 中的所有x ，有
int U A αα∈Γ
⊃ 。

所以，有int A U αα∈Γ
= 。

(并且int A 是开集) ③ 根据②，任意开集的并是开集，则int A 是开集。

又，设A 是开集，由②知，A 是包含在自身内的最大开集，于是有int A A =.( int A 是A 中开集并)
④ 一方面，由于()A B A ⋂⊂，根据①，有 int()int A B A ⋂⊂；
又 ()A B B ⋂⊂，则有 int()int A B B ⋂⊂，
故得到 int()int int A B A B ⋂⊂⋂。

另一方面，由 int A A ⊃ 且 int B B ⊃，则有int int A B A B ⋂⊃⋂,而
int()int(int int )int int A B A B A B ⋂⊃⋂=⋂
所以，有 int()int int A B A B ⋂=⋂。

⑤ 因为int A A ⊃ 且 int B B ⊃，则有int int A B A B ⋃⊃⋃.
根据②，int()A B ⋃是包含在A B ⋃中的最大开集，故有
int()int int A B A B ⋃⊃⋃。

▲性质3（关于闭包的性质） 设,A B 是拓扑空间的两个子集，有
（1）若A B ⊂，则A B ⊂；
（2）A 是所有包含A 的闭集的交集，故A 是包含A 的最小闭集；
（3）A A A =⇔是闭集；
（4）A B A B ⋃=⋃；
（5）A B A B ⋂⊂⋂；
（6）A 与B 互余，则A 与int B 互余。

（即()int C A B =）
证明：（1）~（5）留给同学们作为作业，可仿性质2的证明。

下面仅证明（6）。

（思路：()int ,C x A x B ∈⇔∈ 即int x A x B ∉⇔∈）
x A ∀∈，意味着x 的任一邻域与A 都有交点，于是 ()C x A x ∈⇔有邻域与A 不相交
⇔x 有邻域包含于B 中 （因为B 是A 的余）
⇔x 是B 的内点。

上式说明：()C A 中的点都是int B 中的点，故()int C A B =。

综合总结：
① 由上述性质可知，拓扑空间的闭集、内点、闭包等概念的性质与欧氏空间中相应概念的性质是一致的。

② 但是，有些概念也是有区别的，如：聚点的概念。

拓扑空间的聚点与欧氏空间聚点意义有不同之处：
● 在欧氏空间中，集合A 的聚点x 近旁聚集了A 的无穷多个点（无论球形邻域的半径有多么小），因而，有限集没有聚点。

（当半径校友某个界限时，x 的邻域内不会有A 中的其他点）
● 在拓扑空间中，例如，设{,,}X a b c =，规定拓扑{,,{}}X a τ=∅。

当令集合{}A a =时，b 和c 都是集合A 的聚点。

因为X 是b 和c 的邻域，b 和c 的邻域中都有点a 。

● 但是，a 不是A 的聚点，因为{}A a -=∅。

（注：在该拓扑中，点a 只有两个邻域{,,}a b c 和{}a ）。