磁场中的“动态圆”分析

磁场中的“动态圆”分析
对动态轨迹问题，首先要确定轨迹圆和边界的关系，寻找临界点，然后利用数学方法求解。

常用结论：
1、刚好突出磁场边界的条件是粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切。

2、当速度一定时，弧长或弦长越长，圆周角越大，粒子在磁场中运动时间越长。

3、当速度变化时，圆周角大的运动时间越长。

4、从同一边界射入的粒子从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等，在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

模型一：确定入射点和速度大小,不确定速度方向
1、模型特征
(1)各动态圆均相交于同一点。

(2)在纸面内，各粒子所能打到的区域是以2R为半径的圆(包络面)。

2、方法：转转圆，出答案（可用一枚硬币）
3.例题分析
例1、如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于纸面向里，PQ为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。

现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。

答案：MN=(3+1)r
例2、如图，真空室内存在方向垂直纸面向里，大小B=0.6T的匀强磁场，内有与磁场方向平行的板ab，在距ab距离为l=16cm处，有一点状的放射源S向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m= 5.0×107C/kg ，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab上被α粒子打中的区域的长度。

解答：半径R=10cm.NP
1=8cm NP
2
=12cm P
1
P
2
=20cm
例题3：如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。

有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场。

这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1/3。

将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B2/B1等于多少？
答案：3
模型二：确定入射点和速度方向,不确定速度大小
1、模型特征
(1)各动态圆圆心轨迹为直线。

(2)各动态圆均相交于同一点。

(3)各动态圆周期T相同。

2、找圆心方法
把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大（速度或质量逐渐增大时）或缩小（速度或质量逐渐减小时）的运动圆,所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上。

3.例题分析
例题4：如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为 d =1.0×10－2m，A 板上有一电子源P，Q点在P点正上方B板上，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～3.2×107m/s范围内的电子。

若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度B=9.1×10－3T，
已知电子质量 m=9.1×10－31kg ，电子电量 q=1.6×10－19C ，不计电子重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A 、B 两板上的范围。

解：打在A 板上的范围是PH 段。

PH = 2d
电子打在B 板上的范围是MN 段。

r m =2d
QM=(2－ 3)d
MN=( 3 -1)d
例5、如图，在POQ 区域内分布有磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，有一束正离子流(不计重力)，沿纸面垂直于磁场边界OQ 方向从A 点垂直边界射入磁场，已知OA=d ，∠POQ=45º，离子的质量为m 、带电荷量为q 、要使离子不从OP 边射出，离子进入磁场的速度最大不能超过多少？
答案：
()
m qBd v 120-≤ 例6、如图甲所示，有一横截面为正方形的匀强磁场区域，正方形的边长为L ，磁场的磁感强度为B ，一带电粒子从ad 边的中点O 与ad 边成q=30°角且垂直于磁场方向射入．若该带电粒子所带电量为q ，质量为m(不计重力)，则该带电粒子在磁场中飞行的最长时间是多少？若要使带电粒子飞行的时间最长，带电粒子的速度必须满足什么条
件？
解：如图乙所示，垂直初速度方向的虚线为圆心轨迹，圆心角最大时飞行时间最长，根据图分析可得，当圆轨迹与上边界相切时，圆心角最大为300°，速度再小一些时将从ad边射出，此时的圆心角也是300°。

由几何关系可得：R=L/3
=5 m/3qB
当v=qBL/3m 时。

t
max
所以，要使带电粒子的飞行时间最长，带电粒子的速度必须满足
V≤qBL/3M
模型三：确定入射速度,不确定入射点
1.找圆心方法
带电粒子射入磁场速度的方向大小不变，半径R确定，则所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的方向上，离入射点距离为R。

2.模型特征
(1)各动态圆的半径R相同。

(2)圆心在垂直初速度方向上且离入射点为R的位置。

(3)若磁场边界为直线，则圆心轨迹也为直线。

(4)若磁场边界为圆，则圆心轨迹也为圆。

3.例题分析
例7、如图所示，长方形abcd长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc 的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T。

一群不计重力，质量m＝3×10-7kg，电荷量q＝+2×10－3 C的带电粒子以速度v＝5×l02 m/s沿垂直于ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则( )。

A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边
解：带电粒子射入磁场中的速度不变，半径相同，可得出圆心轨迹在直线ad上，且并得到一组动态圆（如图所示），答案：D。

例8、如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上，在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场，在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒，发射时，这束带电微粒分布在0<y<2R的区间内。

已知重力加速度大小为g。

(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向。

(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。

解：(1)由题意得，带电粒子在磁场中的半径为R，由qvB=mv2/R，
可得：B=mv/qR，磁场方向垂直纸面向外。

(2)这束带电微粒都通过坐标原点。

从任一点水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径
为R的匀速圆周运动，其圆心位于入射点正下方的O′点，如图所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图所示半圆弧，此圆的圆心是坐标原点为O。

所以，这束带电微粒都是通过坐标原点后离开磁场的。

以上是带电粒子在磁场中运动的几种模型，如果能建立模型，掌握各种模型的特点和分析方法，将会使动态圆问题轻松得解。