九年级数学上学期期末专题08 胡不归与三角函数的融合

专题08 胡不归与三角函数的融合
“PA+k ·PB ”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。

1.当k 值为1时，即可转化为“PA+PB ”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k 取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。

此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。

即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。

其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
模型建立：
如图1：P 是直线BC 上的一动点，求PA+k ·PB 的最小值。

一、 作 ∠ CBE=α，使sin α =k,则PD=k·OP （图2）
二、 当AD 最短，AD ⊥ BE 时，则P 为要求点。

(图2) AD 长即为PA+k ·PB 的最小值. 简记: 胡不归,根据三角函数，作个角,再作高，求出长度就可以. 钥匙：三角函数
如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC =√3，E 为线段AB 上一动点，连接CE ，则1
2AE +CE 的最小值为 ． 思路引领：在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ⊥AM 于T ，过点C 作CH ⊥AM 于H ．易证ET =12
AE ，推出12
AE +EC ＝CE +ET ≥CH ，求出CH 即可解决问题． 答案详解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°， ∴tan ∠CAB =CB
AB =√3
3
， ∴∠CAB ＝30°，
∴AC ＝2BC ＝2√3，
在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ⊥AM 于T ，过点C 作CH ⊥AM 于H ． ∵ET ⊥AM ，∠EAT ＝30°，
典例
图1
C A
P
α
D
C
B
E A
P
图2
∴ET=1
2
AE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2√3，
∴CH＝AC•sin6°＝2√3×√3
2
=3，
∵1
2
AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴1
2
AE+EC≥3，
∴1
2
AE+EC的最小值为3，
故答案为3．
1．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则CD+1
2
BD的最小
值是（）
A．3B．3√3C．6D．3+√3
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM
＝2，点P是线段BD上的一个动点，则MP+1
2
PB的最小值是（）
A．2B．2√3C．4D．4√3
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连
接AE，AP，若AP+1
2BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（）
A ．AB
B ．AE
C ．BD
D ．BE
4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BE ⊥AC 于点E ，BE ＝2AE ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +√5
5BD 的最小值是（ ）
A ．2√5
B ．4√5
C ．5√5
D ．10
5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝2，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值是（ ）
A ．2√3+6
B ．6
C ．√3+3
D ．4
6．如图，直线y ＝x ﹣3分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，点C （0，1）在y 轴上，点P 在x 轴上运动，则√2PC +PB 的最小值为 ．
7．如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC =√3，E 为线段AB 上一动点，连接CE ，则1
2AE +CE 的最小值
为 ．
8．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，则AM +12
BM 的最小值为 ．
9．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点，过B 的直线交抛物线于E ，且tan ∠EBA =4
3
，有一只蚂蚁从A 出发，先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A 到E 的最短时间是 s ．
10．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连接AC ，BC ，且tan ∠CBD =4
3，如图所示． （1）求抛物线的解析式；
（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连接FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值； ②连接PB ，求3
5PC +PB 的最小值．
11．如图，顶点为M 的抛物线y ＝mx 2﹣2mx +n 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，已知A （﹣2，0），∠ACO ＝30°． （1）求抛物线的解析式和M 的坐标；
（2）若点N 是抛物线的对称轴上的一个动点，且满足△CAN 是直角三角形，直接写出点N 的坐标；
（3）已知点G 是y 轴上的一点，直接写出GC +2GB 的最小值，以及此时点G 的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，−√3），C （2，0），其对称轴与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；
（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求1
2PB +PD 的最小值．
二．典例
13．已知等边△ABC 中AD ⊥BC ，AD ＝12，若点P 在线段AD 上运动，当1
2AP +BP 的值最小时，AP
的长为（ ）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．12
14．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB +PD 的最小值等于 ．
1．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点E为AC中点，D是BE上的一个动点，则CD+1
2
BD的最小
值是（）
A．3B．3√3C．6D．3+√3
试题分析：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，先解
直角三角形可求出CF，再由直角三角形的性质得DH=1
2
BD，进而可得CD+12BD=CD+DH，从
而可得CD+1
2
BD的最小值．
答案详解：解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则CD+DH≥CF，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴∠A＝∠ABC＝60°，AF＝BF＝3，
∴CF＝AF tan60°=3√3，
∵点E是AC的中点，
∴∠DBH＝60°÷2＝30°，
在Rt△BDH中，DH=1
2 BD，
∴CD+1
2
BD=CD+DH≥3√3，
∴CD+1
2
BD的最小值为：3√3．
所以答案是：B．
2．如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝6，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM
＝2，点P是线段BD上的一个动点，则MP+1
2
PB的最小值是（）
A．2B．2√3C．4D．4√3
试题分析：过点P作PE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质可得AB＝BC＝6，BD⊥AC，从而可
得△ABC是等边三角形，进而可求出∠ABC＝∠ACB＝60°，然后在Rt△BPE中，可得PE=1
2BP，
从而可得MP+1
2
PB=MP+PE，当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最小值
为ME，最后在在Rt△CME中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．答案详解：解：过点P作PE⊥BC，垂足为E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，BD⊥AC，
∵AB＝AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBC=1
2∠ABC＝30°，
∵∠BEP＝90°，
∴PE=1
2BP，
∴MP+1
2
PB=MP+PE，
∴当点M，点P，点E共线时，且ME⊥BC时，MP+PE有最小值为ME，如图：
∵AC＝6，AM＝2，
∴CM＝AC﹣AM＝6﹣2＝4，
在Rt△CME中，∠ACB＝60°，
∴ME＝CM•sin60°＝4×√3
2
=2√3，
∴MP+1
2
PB的最小值是2√3，
所以选：B．
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连
接AE，AP，若AP+1
2BP的最小值恰好等于图中某条线段的长，则这条线段是（）
A．AB B．AE C．BD D．BE
试题分析：由菱形的性质可得∠DBC=1
2∠ABC＝30°，可得PF=
1
2BP，可得AP+
1
2BP＝AP+PF，
由垂线段最短，可求解．
答案详解：解：如图，过点P作PF⊥BC于点F，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DBC=1
2∠ABC＝30°，且PF⊥BC，
∴PF=1
2BP，
∴AP+1
2BP＝AP+MP，
∴当点A，点P，点F三点共线且垂直BC时，AP+PF有最小值，
∴AP+1
2BP最小值为AE
所以选：B．
4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，BE＝2AE，D是线段BE上的一个动点，则
CD+√5
5BD的最小值是（）
A．2√5B．4√5C．5√5D．10
试题分析：过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ABE中，利
用勾股定理求出AE，BE的长，再证明DH=√5
5BD，从而可得CD+
√5
5BD＝CD+DH，然后再由垂
线段最短即可解答．
答案详解：解：过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵BE＝2AE，AB＝10，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴5AE2＝100，
∴AE＝2√5或AE＝﹣2√5（舍去），∴BE＝2AE＝4√5，
∴sin∠ABE=AE
AB
=2√5
10
=√55，
∵∠A＝∠A，∠AEB＝∠AMC＝90°，AB＝AC，∴△AEB≌△AMC（AAS），
∴CM＝BE＝4√5，
在Rt△BHD中，DH＝BD sin∠ABE=√5
5BD，
∴CD+√5
5BD＝CD+DH，
∵CD+DH≥CM，
∴CD+√5
5BD≥4√5，
∴CD+√5
5BD的最小值是：4√5，
所以选：B．
5．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（）
A．2√3+6B．6C．√3+3D．4
试题分析：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，
在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DF=1
2DC，2AD+DC＝2（AD+
1
2DC）＝2（AD+DF）当A，D，
F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．
答案详解：解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：
在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，
∴DF=1
2DC，
∵2AD+DC＝2（AD+1
2DC）
＝2（AD+DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B＝∠ADB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△ABC中，
∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BC＝4，
∴DC＝2，
∴DF=1
2DC＝1，
∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，
∴2（AD+DF）＝2AF＝6，
∴2AD+DC的最小值为6，
所以选：B．
6．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则√2PC+PB的最小值为4．
试题分析：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝
∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PD=√2
2PB，当C，P，D在同一直线上时，CD
⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．答案详解：解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PD=√2
2PB，
∴√2PC+PB=√2（PC+√2
2PB）=√2（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CD=√2
2AC＝2√2，
即PC+PD的最小值为2√2，
∴√2PC+PB的最小值为√2×2√2=4，所以答案是：4．
7．如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC =√3，E 为线段AB 上一动点，连接CE ，则1
2AE +CE 的最小值
为 3 ．
试题分析：在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ⊥AM 于T ，过点C 作CH ⊥AM 于H ．易证ET =12
AE ，推出1
2
AE +EC ＝CE +ET ≥CH ，求出CH 即可解决问题．
答案详解：解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°， ∴tan ∠CAB =
CB AB =√3
3
， ∴∠CAB ＝30°， ∴AC ＝2BC ＝2√3，
在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ⊥AM 于T ，过点C 作CH ⊥AM 于H ． ∵ET ⊥AM ，∠EAT ＝30°， ∴ET =1
2AE ，
∵∠CAH ＝60°，∠CHA ＝90°，AC ＝2√3， ∴CH ＝AC •sin6°＝2√3×
√3
2
=3，
∵12AE +EC ＝CE +ET ≥CH ， ∴12
AE +EC ≥3，
∴1
2
AE+EC的最小值为3，
所以答案是3．
8．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一
点，则AM+1
2BM的最小值为4√3．
试题分析：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．证明MH=1
2BM，求出AT，
利用垂线段最短解决问题即可．
答案详解：解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC=1
2∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，
∴∠BHM＝90°，
∴MH=1
2BM，
∴AM+1
2BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，
∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB•sin60°＝4√3，∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥4√3，
∴AM+1
2BM≥4√3，
∴AM+1
2BM的最小值为4√3，
所以答案是4√3．
9．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=4 3，
有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿
着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是64
9
s．
试题分析：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，利用平
行线的性质和三角函数的定义得到tan∠HED＝tan∠EBA=DH
EH
=43，设DH＝4m，EH＝3m，则DE
＝5m，则可判断蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，于是得到蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，利用两点之间线段最短得到AD+DH的最小值为AG的长，接着求出A点和B点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，然后解由直线解析式和抛物线解析式所组成的方程组确定E 点坐标，从而得到AG的长，然后计算爬行的时间．
答案详解：解：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，
∴∠HEB ＝∠ABE ， ∴tan ∠HED ＝tan ∠EBA =
DH EH =4
3
， 设DH ＝4m ，EH ＝3m ，则DE ＝5m ， ∴蚂蚁从D 爬到E 点的时间=5x
1.25=4（s ）
若设蚂蚁从D 爬到H 点的速度为1单位/s ，则蚂蚁从D 爬到H 点的时间=4m
1
=4（s ）， ∴蚂蚁从D 爬到E 点所用的时间等于从D 爬到H 点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A 出发，先以1单位/s 的速度爬到线段BE 上的点D 处，再以1.25单位/s 的速度沿着DE 爬到E 点所用时间等于它从A 以1单位/s 的速度爬到D 点，再从D 点以1单位/s 速度爬到H 点的时间，
作AG ⊥EH 于G ，则AD +DH ≥AH ≥AG ， ∴AD +DH 的最小值为AG 的长，
当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 直线BE 交y 轴于C 点，如图， 在Rt △OBC 中，∵tan ∠CBO =CO
OB =4
3， ∴OC ＝4，则C （0，4）， 设直线BE 的解析式为y ＝kx +b ，
把B （3，0），C （0，4）代入得{3k +b =0b =4，解得{k =−4
3b =4，
∴直线BE 的解析式为y =−4
3x +4，
解方程组{y =x 2−2x −3y =−43x +4得{x =3y =0或{x =−
7
3y =
649，则E 点坐标为（−73，649）， ∴AG =
649
， ∴蚂蚁从A 爬到G 点的时间=649
1=64
9（s ）， 即蚂蚁从A 到E 的最短时间为649
s ．
所以答案是
649
．
10．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连接AC ，BC ，且tan ∠CBD =4
3，如图所示． （1）求抛物线的解析式；
（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连接FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值； ②连接PB ，求3
5PC +PB 的最小值．
试题分析：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），可得对称轴为直线x ＝2，由锐角三角函数可求点C 坐标，代入解析式可求解析式；
（2）①先求出直线BC 解析式，设P （2，t ），可得点E （5−3
4
t ，t ），点F(5−34
t ，2t −14
t 2)，可求EF 的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；
②根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，过点P 作PG ⊥AC 于G ，可得PG =3
5PC ，可得3
5
PC +PB =PG +PB ，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，即BH 是3
5
PC +PB 的
最小值，由三角形面积公式可求解．
答案详解：解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5）， ∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，
∴D （2，0）， 又∵tan ∠CBD =
43=CD
DB
， ∴CD ＝BD •tan ∠CBD ＝4， 即C （2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5）， 解得 a =−4
9，
∴二次函数的解析式为 y =−49
(x +1)(x −5)=−49
x 2+169x +209
； （2）①设P （2，t ），其中0＜t ＜4， 设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ， ∴{0=5k +b ，4=2k +b.， 解得 {k =−4
3，
b =20
3.
即直线BC 的解析式为 y =−43
x +203
， 令y ＝t ，得：x =5−34
t ， ∴点E （5−34
t ，t ），
把x =5−3
4t 代入y =−4
9(x +1)(x −5)，得 y =t(2−t
4)， 即F(5−3
4t ，2t −1
4t 2)，
∴EF =(2t −14t 2)−t =t −t 24，
∴△BCF 的面积=12×EF ×BD =32（t −t 24）=−38(t 2−4t)=−38(t −2)2+3
2，
∴当t ＝2时，△BCF 的面积最大，且最大值为3
2
；
②如图，据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，
∴sin ∠ACD =AD
AC =3
5，
过点P 作PG ⊥AC 于G ，则在Rt △PCG 中，PG =PC ⋅sin ∠ACD =35
PC ， ∴3
5PC +PB =PG +PB ，
过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ， ∴线段BH 的长就是3
5PC +PB 的最小值，
∵S △ABC =
12×AB ×CD =1
2×6×4=12， 又∵S △ABC =
12×AC ×BH =5
2
BH ， ∴52
BH =12， 即BH =
245
， ∴35
PC +PB 的最小值为245
．
11．如图，顶点为M 的抛物线y ＝mx 2﹣2mx +n 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，已知A （﹣2，0），∠ACO ＝30°． （1）求抛物线的解析式和M 的坐标；
（2）若点N 是抛物线的对称轴上的一个动点，且满足△CAN 是直角三角形，直接写出点N 的坐标；
（3）已知点G 是y 轴上的一点，直接写出GC +2GB 的最小值，以及此时点G 的坐标．
试题分析：（1）根据点A的坐标和直角三角形含30°角的性质可得AC的长，由勾股定理可得OC 的长，确定C的坐标可得n＝2√3，再将点A的坐标代入抛物线的解析式可得结论；
（2）解法一：设N（1，y），根据两点的距离公式可得：AC2＝22+（2√3）2＝16，CN2＝12+（y﹣2√3）2，AN2＝（1+2）2+y2＝9+y2，当△CAN是直角三角形时，分三种情况，根据勾股定理列方程可得结论；
解法二：构建相似三角形，列比例式，可得结论；
（3）如图2，过点B作BF⊥AC于F，交y轴于点G，则BF最短，此时CG+BG最小，计算可得CG+2BG的最小值为2BF的长，并计算OG的长，可得点G的坐标．
答案详解：解：（1）把A（﹣2，0）代入抛物线y＝mx2﹣2mx+n中得：4m+4m+n＝0，
∴OA＝2，
Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，
∴AC＝2OA＝4，OC＝2√3，
∴C（0，2√3），
∴n＝2√3，
∴8m+2√3=0，
∴m=−√3 4，
∴抛物线的解析式为：y=−√3
4
x2+√32x+2√3，
∵y =−√34x 2+√32x +2√3=−√34（x ﹣1）2+9√34，
∴顶点M （1，9√34）；
（2）解法一：由（1）知抛物线的对称轴是：x ＝1，
设N （1，y ），
∵A （﹣2，0），C （0，2√3），
∴AC 2＝22+（2√3）2＝16，CN 2＝12+（y ﹣2√3）2，AN 2＝（1+2）2+y 2＝9+y 2，
当△CAN 是直角三角形时，分三种情况：
①当∠ACN ＝90°时，AC 2+CN 2＝AN 2，
即16+1+（y ﹣2√3）2＝9+y 2，
解得：y =5√33，
∴N （1，5√33）；
②当∠CAN ＝90°时，AC 2+AN 2＝CN 2，
即16+9+y 2＝1+（y ﹣2√3）2，
解得：y =−√3，
∴N （1，−√3）；
③当∠ANC ＝90°时，AN 2+CN 2＝AC 2，
即9+y 2+1+（y ﹣2√3）2＝16，
解得：y 1＝y 2=√3，
∴N （1，√3）；
综上，点N 的坐标为（1，5√33
）或（1，−√3）或（1，√3）； 解法二：由（1）知抛物线的对称轴是：x ＝1，
设N （1，y ），
∵A （﹣2，0），C （0，2√3），
当△CAN 是直角三角形时，分三种情况：
①当∠ACN ＝90°时，如图1，
过点C 作ED ∥x 轴，交MN 于D ，过A 作AE ⊥ED 于E ，
∴△ACE ∽△CND ，
∴AE CD =EC DN ，即2√31=2√3−y ， 解得：y =5√33， ∴（1，5√33
）； ②当∠ANC ＝90°时，如图2，过点C 作CD ⊥MN 于D ，
同理得：△CDN ∽△NP A ，
∴CD PN =DN AP ，即1y =2√3−y 3，
解得：y 1＝y 2=√3，
∴P （1，√3）；
③当∠CAN ＝90°时，如图5，
同理得：N （1，√3）；
综上，点N 的坐标为（1，
5√33
）或（1，−√3）或（1，√3）；
（3）如图2，过点B 作BF ⊥AC 于F ，交y 轴于点G ，
则BF 最短，此时CG +BG 最小，
∵∠ACO ＝30°，BF ⊥AC ，
∴FG =12CG ，
∵FG +BG ＝BF ，
∴12CG +BG ＝BF ， 即CG +2BG ＝2BF ，
∵BF 最小，
∴CG +2BG 的最小值为2BF 的长，
∵A （﹣2，0），抛物线对称轴是：x ＝1，
∴B （4，0），
∴AB ＝4﹣（﹣2）＝6，
Rt △AFB 中，∠ABF ＝∠ACO ＝30°，
∴AF =12AB ＝3，BF =√3AF ＝3√3，
∴CG +2BG 的最小值为6√3，
Rt △BOG 中，∵OB ＝4，∠OBG ＝30°，
∴OG =√3=4√33， ∴G （0，
4√33）． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，−√3），
C （2，0），其对称轴与x 轴交于点
D ．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；
（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求12PB +PD 的最小值．
试题分析：（1）将A 、B 、C 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c ，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；
（2）当以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ；②以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ；③线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ，分别列出方程，求解即可；
（3）连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．最小值就是线段DH ，求出DH 即可．
答案详解：解：（1）由题意{a −b +c =0
c =−√34a +2b +c =0，解得 { a =√32b =−√32c =−√3
， ∴抛物线解析式为y =
√32x 2−√32x −√3， ∵y =√32x 2−√32x −√3=√32（x −12
）2−9√38， ∴顶点坐标（12
，−9√38）；
（2）设点M 的坐标为（12，y ）．
∵A （﹣1，0），B （0，−√3），
∴AB 2＝1+3＝4．
①以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ，
则（12+1）2+y 2＝4，解得y ＝±√72
， 即此时点M 的坐标为（12，√72）或（12
，−√72）； ②以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ，
则（12
）2+（y +√3）2＝4，解得y =−√3+√152或y =−√3−√152， 即此时点M 的坐标为（12，−√3+√152）或（12
，−√3−√152）； ③线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ，
则（12+1）2+y 2＝（12
）2+（y +√3）2，解得y =−√36， 即此时点M 的坐标为（12，−√36）．
综上所述，满足条件的点M 的坐标为（12，
√72）或（12，−√72）或（12，−√3+√152）或（12，−√3−√152）或（12，−√36）；
（3）如图，连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小． 理由：∵OA ＝1，OB =√3，
∴tan ∠ABO =OA OB =√33，
∴∠ABO ＝30°，
∴PH =12PB ，
∴12PB +PD ＝PH +PD ＝DH ， ∴此时12PB +PD 最短（垂线段最短）． 在Rt △ADH 中，∵∠AHD ＝90°，AD =32，∠HAD ＝60°，
∴sin60°=DH AD ，
∴DH =3√34，
∴12PB +PD 的最小值为3√34．
二．典例
13．已知等边△ABC 中AD ⊥BC ，AD ＝12，若点P 在线段AD 上运动，当12AP +BP 的值最小时，AP 的长为（ ）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．12
试题分析：可以作BE ⊥AC 于点E ，交AD 于点P ，根据△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，得∠DAC ＝30°，所以PE =12
AP ，
当BP ⊥AC 时，12AP +BP ＝PE +BP 的值最小，根据等边三角形的重心即可求得AP 的长． 答案详解：解：如图，
作BE ⊥AC 于点E ，交AD 于点P ，
∵△ABC 是等边三角形，
AD ⊥BC ，
∴∠DAC ＝30°
∴PE=1
2AP
当BP⊥AC时，
1
2
AP+BP＝PE+BP的值最小，
此时，AP=2
3AD＝8．
所以选：B．
14．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于6．
试题分析：依据∠EDP＝∠DAB＝30°，即可得出DP＝2EP，进而得到2PB+PD＝2（PB+PE），当点B、P、E三点共线时，2PB+PD的最小值等于2BE的长，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得到BE的长．
答案详解：解：如图，过点P作AD的垂线，交AD延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDP＝∠DAB＝30°，
∴EP=1
2DP，即DP＝2EP，
∴2PB+PD＝2（PB+PE），
当点B、P、E三点共线时，PB+EP有最小值，最小值等于BE的长，此时2PB+PD的最小值等于2BE的长，
∵此时在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝6，
∴BE=1
2AB＝3，
∴2PB+PD的最小值等于6．所以答案是：6．。