基本不等式及其应用 2019高考绝密资料

基本不等式及其应用
主标题：基本不等式及其应用
副标题：为学生详细的分析基本不等式及其应用问题的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：不等式，基本不等式及其应用，知识总结 难度：3 重要程度：5
考点剖析：
1.了解基本不等式的证明过程；
2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 命题方向：
1.对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查；
2.本考点主要以选择题或填空题的形式进行考查，有时也以简答题的形式考查利用基本不等式解决最值问题.
规律总结： 两种方法：
(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值．
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法． 两个误区：
(1)在利用基本不等式求最值(值域)时，过多地关注形式上的满足，极容易忽视符号和等号成立条件的满足，这是造成解题失误的重要原因．如函数y ＝1＋2x ＋3
x (x<0)有最大值1
－26而不是有最小值1＋2 6.
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错． 知识点总结： 一、基本不等式
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件
ab ≤a ＋b 2
a>0，b>0 a ＝b
二、常用的几个重要不等式
(1)a 2＋b 2
≥2ab(a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)
(3)a 2
＋b 2
2≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)
上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 三、算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b
2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
四个“平均数”的大小关系；a ，b ∈R+： 当且仅当a ＝b 时取等号.
四、利用基本不等式求最值：设x ，y 都是正数．
(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P. (2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14
S 2
.
强调：在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等”.当条件不完全具备时，应创造条件. 正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。

等：等号成立的条件必须存在.导数在研究函数中的应用
主标题：导数在研究函数中的应用备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。

关键词：导数，极值，最值，备考策略 难度：4 重要程度：5 内容
考点一 利用导数研究函数的单调性
【例1】设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2. (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围． 解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2， ∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)． 令f ′(x )>0，即x (e x －2)>0， ∴x >ln 2或x <0.
令f ′(x )<0，即x (e x －2)<0，∴0<x <ln 2. 因此函数f (x )的递减区间是(0，ln 2)； 递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)． (2)易知f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )． ∵f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，
∴当x ≥0时，f ′(x )＝x (e x －2k )≥0恒成立． ∴e x －2k ≥0，即2k ≤e x 恒成立．
++≤≤22
2
2
a b
a b ≤
+2ab
ab a b
由于e x ≥1，∴2k ≤1，则k ≤1
2.
又当k ＝1
2时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0当且仅当x ＝0时取等号． 因此，实数k 的取值范围是⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，12.
【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
考点二 利用导数研究函数的极值
【例2】 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋3
2x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．
审题路线 (1)由f ′(1)＝0⇒求a 的值．
(2)确定函数定义域⇒对f (x )求导，并求f ′(x )＝0⇒判断根左，右f ′(x )的符号⇒确定极值．
解 (1)由f (x )＝a ln x ＋12x ＋3
2x ＋1， ∴f ′(x )＝a x －12x 2＋3
2.
由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴， ∴该切线斜率为0，即f ′(1)＝0. 从而a －12＋3
2＝0，∴a ＝－1.
(2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋3
2x ＋1(x >0)， ∴f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝(3x ＋1)(x －1)
2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或－1
3(舍去)．
当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，f (x )无极大值．
【备考策略】 (1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．
(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
考点三 利用导数求函数的最值
【例3】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16. (1)求a ，b 的值；
(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 审题路线 (1)⎩
⎨⎧
f ′(2)＝0，
f (2)＝c －16⇒a ，b 的值；
(2)求导确定函数的极大值⇒求得c 值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．
解 (1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16， 故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎨⎧
12a ＋b ＝0，
8a ＋2b ＋c ＝c －16.
化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝－12.
(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或2.
当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：
x －3 (－3，－2) －2 (－2,2) 2 (2,3) 3 f ′(x ) ＋ 0 －
＋
f (x )
9＋c
极大值
极小值 －9＋c
由表知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16.
由题设条件知，16＋c ＝28，解得c ＝12，
此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝c －16＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.
【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求
解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。