定积分高考题

一、选择题（共16小题）
1、（2011•湖南）由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为（）
A、B、1
C、D、
考点：定积分在求面积中的应用。

专题：计算题。

分析：为了求得与x轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下限分别为与，cosx即为被积函数．
解答：解：由定积分可求得阴影部分的面积为
S=cosxdx==﹣（﹣）=，
所以围成的封闭图形的面积是．
故选D．
点评：本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想、考查数形结合思想，属于基础题．
2、（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）
A、B、
C、D、
考点：定积分在求面积中的应用。

专题：计算题。

分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．
解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]
所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，
故选A．
点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．
3、（2009•广东）已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断
中一定正确的是（）
A、在t1时刻，甲车在乙车前面
B、t1时刻后，甲车在乙车后面
C、在t0时刻，两车的位置相同
D、t0时刻后，乙车在甲车前面
考点：定积分在求面积中的应用；函数的图象。

专题：数形结合。

分析：利用定积分求面积的方法可知t0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在t0时刻甲在乙的前面；又因为在t1时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在t0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到A正确，B、C、D错误．
解答：解：当时间为t0时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c，乙走过的路程
=v乙dt=c；
当时间为t1时，利用定积分得到甲走过的路程=v甲dt=a+c+d，而乙走过的路程=v
dt=c+d+b；
乙
从图象上可知a＞b，所以在t1时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t1时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t0时刻后，t1时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．
故答案为A
点评：考查学生利用定积分求图形面积的能力，以及会观察函数图象并提取有价值数学信息的能力，数形结合的数学思想的运用能力．
4、由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积为（）
A、B、2﹣ln3
C、4+ln3
D、4﹣ln3
考点：定积分在求面积中的应用。

专题：计算题。

分析：由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形ABD的面积与直角三角形BCD的面积，再计算定积分即可求得．
解答：解：根据利用定积分的几何意义，得：
由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平面图形的面积：
S=（3﹣）dx+
=（3x﹣lnx）+2
=3﹣ln3﹣1+2
=4﹣ln3．
故选D．
点评：本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．
5、从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）
A、B、
C、D、
考点：定积分在求面积中的应用；几何概型。

专题：计算题。

分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．
解答：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，
由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，
满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：
S（A）=
=．
所以P（A）=．
故选B．
点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据
P=求解．
6、如图中阴影部分的面积是（）
A、B、
C、D、
考点：定积分在求面积中的应用。

专题：计算题。

分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．
解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）
抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）
设阴影部分面积为s，则
=
=
所以阴影部分的面积为，故选C．
点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的
部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．
7、由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）
A、B、4
C、D、6
考点：定积分在求面积中的应用。

专题：计算题。

分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），
因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为
S=．
故选C．
点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．
8、（2011•福建）（e x+2x）dx等于（）
A、1
B、e﹣1
C、e
D、e2+1
考点：定积分。

专题：计算题。

分析：求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差．
解答：解：∫10（e x+2x）dx=（e x+x2）|01=e+1﹣1=e
故选C．
点评：本题考查利用微积分基本定理求定积分值．
9、（2010•湖南）dx等于（）
A、﹣2ln2
B、2ln2
C、﹣ln2
D、ln2
考点：定积分。

专题：计算题。

分析：根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．解答：解：∵（lnx）′=
∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2
故选D
点评：本题考查定积分的基本运算，关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．
10、（2009•福建）（1+cosx）dx等于（）
A、π
B、2
C、π﹣2
D、π+2
考点：定积分。

专题：计算题。

分析：由于F（x）=x+sinx为f（x）=1+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．
解答：解：∵（x+sinx）′=1+cosx，
∴（1+cosx）dx=（x+sinx）
=+sin﹣=π+2．
故选D
点评：此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题．
11、已知则∫﹣a a cosxdx=（a＞0），则∫0a cosxdx=（）
A、2
B、1
C、D、
考点：定积分。

专题：计算题。

分析：根据定积分的几何意义知，定积分的值∫﹣a a cosxdx=（a＞0）是f（x）=cosx的图象与
x轴所围成的平面图形的面积的代数和，结合偶函数的图象的对称性即可解决问题．
解答：解：原式=∫﹣a0cosxdxdx+∫0a cosxdx．
∵原函数y=cosx为偶函数，∴在y轴两侧的图象对称，
∴对应的面积相等，则∫0a cosxdx==．
故选D．
点评：本题主要考查定积分以及定积分的几何意义，属于基础题．
12、曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平面图形的面积为（）
A、B、
C、D、1
考点：定积分。

专题：计算题。

分析：先求出曲线与直线的交点，设围成的平面图形面积为A，利用定积分求出A即可．解答：解：联立曲线与直线得，
解得或
设曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平面图形的面积为A
则A=∫12[3x﹣（x2+2）]dx=|12=
故选A
点评：考查学生利用定积分求平面图形面积的能力．
13、下列计算错误的是（）
A、∫﹣ππsinxdx=0
B、∫01=
C、cosxdx=2cosxdx
D、∫﹣ππsin2xdx=0
考点：定积分。

专题：计算题。

分析：利用微积分基本定理求出各选项的值，判断出D错．
解答：解：∫﹣ππsinxdx=（﹣cosx）|﹣ππ=（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）=0
因为y=cosx为偶函数所以
=π
故选D
点评：本题考查利用微积分基本定理或定积分的几何意义求定积分值．
14、计算的结果是（）
A、4π
B、2π
C、π
D、
考点：定积分。

专题：计算题。

分析：根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可．
解答：解：表示的几何意义是以（0，0）为圆心，2为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积
=π×4=π
故选：C
点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．
15、若∫0k（2x﹣3x2）dx=0，则k等于（）
A、0
B、1
C、0或1
D、以上均不对
考点：定积分。

专题：计算题。

分析：利用定积分公式求出等式左边的值，利用其等于0解出k的值即可．
解答：解：∫0k（2x﹣3x2）dx=∫0k2xdx﹣∫0k3x2dx=x2|0k﹣x3|0k=k2﹣k3=0，
解可得k=0若k=1．
故选C
点评：考查学生利用定积分解方程的能力．
16、如图所示，曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（）
A、1
B、
C、D、
考点：定积分；定积分的简单应用。

专题：计算题。

分析：联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．
解答：解：联立得，
解得或，
设曲线与直线围成的面积为S，
则S=∫01（﹣x2）dx=
故选：C
点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．
二、填空题（共8小题）
17、（2010•宁夏）设y=f（x）为区间[0，1]上的连续函数，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分，先产生两组（每组N个）区间[0，1]上的均匀随机数x1，x2，…x N和y1，y2，…y N，由此得到N个点（x i，y i）（i=1，2，…，N），再数出其中满足y i≤f（x i）（i=1，2，…，N）的点数N1，那么由随机模拟方案可得积分的近
似值为．
考点：定积分在求面积中的应用；模拟方法估计概率；几何概型。

专题：计算题。

分析：要求∫10f（x）dx的近似值，利用几何概型求概率，结合点数比即可得．
解答：解：由题意可知得，
故积分的近似值为．
点评：本题考查几何概型模拟估计定积分值，以及定积分在面积中的简单应用，属于基础题．
18、如图所示，计算图中由曲线y=与直线x=2及x轴所围成的阴影部分的面积S=．
考点：定积分在求面积中的应用。

专题：计算题。

分析：先将阴影部分的面积用定积分表示∫02（x2）dx，然后根据定积分的定义求出此值即可．
解答：解：阴影部分的面积为∫02（x2）dx，
而∫02（x2）dx=（x3）|02=，
故答案为：．
点评：本题主要考查了阴影部分的面积用定积分表示，以及定积分的求解，属于基础题．19、由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积为18．
考点：定积分在求面积中的应用。

专题：计算题；数形结合。

分析：先求出曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．
解答：解：解得曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标为：（2，﹣2），（8，4）
选择y为积分变量
∴由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积S==（y2+4y
﹣y3）|﹣24=18
故答案为：18
点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及会利用定积分求图形面积的能力．应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属于基础题．
20、由曲线和直线y=x﹣4，x=1，x=2围成的曲边梯形的面积是ln2+1．
考点：定积分在求面积中的应用。

专题：计算题。

分析：曲线y=与直线y=x﹣4，x=2，x=1所围成的图形面积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再代入定积分的公式求出结果即可．
解答：解：联立两条直线的方程，得和
∴曲线y=与直线y=x﹣4，x=2，x=1所围成的图形面积为
=（﹣x2+lnx+4x）|12=ln2+1
故答案为：ln2+1
点评：本题考查利用定积分求封闭图形的面积，解题的关键是利用方程联立做出两个函数的交点坐标，不停地交点的坐标在解题中用不到，本题是一个基础题．
21、（2010•陕西）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分
部分的概率为．
考点：定积分的简单应用。

专题：数形结合。

分析：本题利用几何概型概率．先利用定积分求出图中阴影部分部分的面积，再结合概率计算公式求出阴影部分部分面积与长方形区域的面积之比即可．
解答：解：长方形区域的面积为3，
阴影部分部分的面积为，
所以点M取自阴影部分部分的概率为
故答案为：．
点评：本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的几何意义及运算公式．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比
例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
22、（2008•山东）设函数f（x）=ax2+c（a≠0），若，0≤x0≤1，则
x0的值为．
考点：定积分的简单应用。

分析：求出定积分∫01f（x）dx，根据方程ax02+c=∫01f（x）dx即可求解．
解答：解：∵f（x）=ax2+c（a≠0），∴f（x0）=∫01f（x）dx=[+cx]01=+c．又∵f（x0）=ax02+c．∴x02=，∵x0∈[0，1]∴x0=．
点评：本题考查了积分和导数的公式，属于基本知识基本运算．同时考查了恒等式系数相等的思想．
23、（2002•天津）求由三条曲线y=x2，4y=x2，y=1 所围图形的面积．
考点：定积分；定积分的简单应用。

专题：计算题。

分析：根据对称性，只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可，求出y=1与y=x2，4y=x2的交点坐标，然后选择x为积分变量，利用定积分表示出阴影部分面积，根据定积分的定义求出面积即可．
解答：解：如图，因为y=x2，4y=x2是偶函数，根据对称性，只算出y轴右边的图形的面积
再两倍即可．
解方程组和，
得交点坐标（﹣1，1），（1，1），（﹣2，1），（2，1）．
选择x为积分变量，则S=2[+]=．
∴由三条曲线y=x2，4y=x2，y=1 所围图形的面积
点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度．运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题．
24、若y=f（x）的图象如图所示，定义，
则下列对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）．
（1）F（x）是[0，1]上的增函数；（2）F′（x）=f（x）；
（3）F（x）是[0，1]上的减函数；（4）∃x0∈[0，1]使得F（1）=f（x0）．
考点：定积分；导数的概念。

专题：计算题；数形结合。

分析：根据定积分的几何意义，连续曲线y=f（x）≥0在[a，b]上形成的曲边梯形的面积为S=∫a b f （x）dx，可得如图的阴影部分的面积为F（x），根据上边的图形得到F（x）为增函数；且f （x）为F（x）的原函数；根据下边的图形可得（4）正确．
解答：解：由定积分的集合意义可知，F（x）表示图中阴影部分的面积，且F′（x）=f（x），当x0逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，
所以F（x）为增函数，故（1）、（2）正确；
由定积分的几何意义可知，必然）∃x0∈[0，1]，使S1=S2，
此时S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即F（1）=∫01f（t）dt=f（x0），故（4）正确．
所以对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）
故答案为：（1）（2）（4）
点评：此题要求学生掌握定积分的几何意义，理解导函数与原函数间的关系，是一道基础题．。