2021年四川省广元市中考数学全真模拟试卷(二)

2021年四川省广元市中考数学全真模拟试卷(二)
(满分：150分 考试时间：120分钟)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(每小题4分，共40分)每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．
1．已知有理数a ＝(－2)×3，则a 的相反数是( ) A ．－16
B ．16
C ．－6
D ．6
2．下列算式中，正确的是( ) A ．(a 3b )2＝a 6b 2 B ．a 2－a 3＝－a C ．a 2÷a ·1
a
＝a 2
D ．－(－a 3)2＝a 6 3．经省统计局审定，上半年A 市实现地区生产总值(GDP)752.5亿元，按可比价格计算，增长8.5%，这是“十三五”以来，A 市GDP 增速首次超过全省平均水平．将数据752.5亿用科学记数法表示是 ( )
A ．7.525×109
B ．0.7525×1011
C ．7.525×1010
D ．75.25×109
4．下列说法正确的是( )
A ．一组数据2,2,3,4，这组数据的中位数是2
B ．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C ．小明的三次数学成绩分别是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是131分
D ．某日A 地区的最高气温是7 ℃，最低气温是－2 ℃，则该日A 地区的气温的极差是5 ℃
5．将一个长方体内部挖去一个圆柱(如图所示)，它的主视图是( )
6．若关于x 的不等式3x ＋a ≤2只有2个正整数解，则a 的取值范围为( ) A ．－7＜a ＜－4 B ．－7≤a ≤－4 C ．－7≤a ＜－4
D ．－7＜a ≤－4
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边长为1，AD 边的中点处有一动点P ，动点P 沿P →A →B →C →D →P 运动一周，则点P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是( )
8．如图，四边形ABCD 内接于圆，且AB ＝2，BC ＝2，CD ＝1，∠ABC ＝45°，则四边形ABCD 的面积为( )
A ．3＋3
3
B ．3＋224
C ．
3＋22
4
D ．3＋34
9．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx －6(k ＜0)的图象大致是( )
10．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，且∠ADC ＝60°，AB ＝12BC ，连接OE ．下列结论：①∠CAD ＝30°；②S □ABCD ＝AB ·AC ；③OB ＝AB ；
④OE ＝1
4
BC ．其中结论成立的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)
二、填空题(每小题4分，共20分)把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上． 11．因式分解：x 2y －9y ＝________．
12．王强投掷一枚质地均匀的硬币，连续投3次，硬币落地均是正面向上，他投掷第四次正面向上的概率为________ ．
13．如图，把一张长方形纸片沿AB 折叠后，若∠1＝48°，则∠2的大小为__________度．
14．如图，MN 为⊙O 的直径，MN ＝10，AB 为⊙O 的弦，已知MN ⊥AB 于点P ，AB ＝8，现要作⊙O 的另一条弦CD ，使得CD ＝6且CD ∥AB ，则PC 的长度为________．
15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，点A 、B 是二次函数图象上的两点，AB ∥x 轴且与y 轴交于点C (点C 在二次函数图象与y 轴交点的下方)，有下列结论：①ac ＜0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是x 1＝－1，x 2＝3；③函数有最小值，最小值是a ＋b ＋c ；④当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；⑤BC ＝3AC ．其中正确的结论的序号是__________．
三、解答题(本大题9小题，共90分)解答应写出必要的解答步骤或证明过程．
16.计算：()2
012sin 451220202π-︒⎛⎫---- ⎪⎝⎭
17.先化简，再求值：2111a a
a a a a
--⎛⎫-+÷ ⎪+⎝⎭，其中a 是关于x 的方程2230x x --=的根．
18．(本小题满分8分)如图，点E 、F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，AF 与DE 交于点G ，求证：GE ＝GF ．
19．(本小题满分10分)随着九年级同学体考的结束，八年级大课期间开始对跳绳、实心球和立定跳远这三项运动进行专项训练，为了了解同学们对这三项训练技巧的掌握情况，学校体育组抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果分为了四类：掌握3项技巧的为A 类，掌握2项技巧的为B 类，掌握1项技巧的为C 类，掌握0项技巧的为D 类，并绘制了如图两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
(1)被调查的学生一共有________人；
(2)请补全条形统计图，若八年级共有2500名学生，则八年级大约有多少名学生已掌握3项训练技巧？
(3)A 类的5名同学中有且仅有2名来自同一个班，现A 类的5名同学中随机抽取2名同学来分享经验，用树状图或列表法求抽到的两人恰好来自同一个班的概率．
20．(本小题满分10分)某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
21．(本小题满分10分)如图，一艘轮船以每小时40海里的速度在海面上航行，当该轮船行驶到B 处时，发现灯塔C 在它的东北方向，轮船继续向北航行，30分钟后到达A 处，此时发现灯塔C 在它的北偏东75°方向上，求此时轮船与灯塔C 的距离．(结果保留根号)
22．(本小题满分12分)如图，反比例函数y ＝m
x 的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于
A 、
B 两点，点A 的坐标为(2,6)，点B 的坐标为(n,1)．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．
23．(本小题满分12分)如图，⊙O 中，FG 、AC 是直径，AB 是弦，FG ⊥AB ，垂足为点P ，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，交GF 的延长线于点E ，已知AB ＝4，⊙O 的半径为5．
(1)分别求出线段AP 、CB 的长；
(2)如果OE ＝5，求证：DE 是⊙O 的切线； (3)如果tan ∠E ＝3
2
，求DE 的长．
24．(本小题满分14分)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝3
4x ＋m 与x 轴、y
轴分别交于点A 和点B (0，－1)，抛物线y ＝1
2x 2＋bx ＋c 经过点B ，且与直线l 的另一个交点
为C (4，n )．
(1)求n 的值和抛物线的解析式；
(2)点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t (0＜t ＜4)，DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形(如图2)．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；
(3)M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1．若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写
出点A 1的横坐标．
图1 图2
参考答案
一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．D 8．D 9．B 10．C 二、11．y (x －3)(x ＋3) 12．1
2 13.66 14．58或10 15．①②
三、16.24121+-=-2 17.解：2111a a
a a a a --⎛⎫-+÷
⎪+⎝⎭
()()
1111a a a a a a
a a ⎡⎤-+-=-⨯
⎢⎥-⎣⎦ ()()()1111a a a a a
a
+-+=
⨯-
()2
1a =+
=a 2+2a+1
∵a 是关于x 的方程2230x x --=的根， ∴a 2-2a-3=0， ∴a=3或a=-1， ∵a 2+a≠0， ∴a≠-1， ∴a=3，
∴原式=9+6+1=16.
18．证明：∵BE ＝CF ， ∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ， ∴BF ＝CE ．
在△ABF 和△DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧
AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，
BF ＝CE ，
∴△ABF ≌△DCE ， ∴∠GEF ＝∠GFE ， ∴GE ＝GF ． 19．(1)50
(2)解：C 类的人数有50－5－16－8＝21(人)． 补全统计图如下：
2500×5
50
＝250(名)，
即八年级大约有250名学生已掌握3项训练技巧．
(3)解：将同一个班的2名学生均记为A ，其他记为B 、C 、D ，列表如下：
A A
B
C
D A － (A ，A ) (B ，A ) (C ，A ) (D ，A ) A (A ，A ) － (B ，A ) (C ，A ) (D ，A ) B (A ，B ) (A ，B ) － (C ，B ) (D ，B ) C (A ，C ) (A ，C ) (B ，C ) － (D ，C ) D
(A ，D )
(A ，D )
(B ，D )
(C ，D )
－
2种结果，故抽到的两人恰好来自同一个班的概率为220＝1
10
．
20．解：(1)设《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元．
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝100，6x ＝7y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝35，y ＝30.
即《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元．
(2)设购买《北上》n 本，则购买《牵风记》的数量为(50－n )本． 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
n ≥12()50－n ，35n ＋30()50－n ≤1600，解得50
3
≤n ≤20．
又∵n 为正整数，
∴n 可以取17、18、19、20．
当n ＝17时，50－n ＝33，共花费17×35＋33×30＝1585(元)； 当n ＝18时，50－n ＝32，共花费18×35＋32×30＝1590(元)； 当n ＝19时，50－n ＝31，共花费19×35＋31×30＝1595(元)； 当n ＝20时，50－n ＝30，共花费20×35＋30×30＝1600(元)．
故共有4种购买方案，分别为购买《北上》17本，购买《牵风记》33本；购买《北上》18本，购买《牵风记》32本；购买《北上》19本，购买《牵风记》31本；购买《北上》20本，购买《牵风记》30本．其中购买《北上》17本，购买《牵风记》33本的费用最低，最低费用为1585元．
21．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ． 由题意，得AB ＝30
60×40＝20(海里)．
∵∠P AC ＝∠B ＋∠C ，
∴∠C ＝∠P AC －∠B ＝75°－45°＝30°． ∵在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin B ＝20×
2
2
＝102(海里)， ∴在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝202海里． 故此时轮船与灯塔C 的距离为202海里． 22．解：(1)把点A (2,6)代入y ＝m
x ，
得m ＝12，则y ＝12
x
．
把点B (n,1)代入y ＝12
x
，得n ＝12，则点B 的坐标为(12,1)．
由直线y ＝kx ＋b 过点A (2,6)、B (12,1)，得⎩
⎪⎨⎪⎧
2k ＋b ＝6，
12k ＋b ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－12，
b ＝7，
则所求一次函数的解析式为y ＝－1
2
x ＋7．
(2)设直线AB 与y 轴的交点为P ，点E 的坐标为(0，m )，连接AE 、BE ，则点P 的坐标为
(0,7)，
∴PE ＝|m －7|．
∵S △AEB ＝S △BEP －S △AEP ＝5，
∴1
2×|m －7|×(12－2)＝5，解得m 1＝6，m 2＝8． ∴点E 的坐标为(0,6)或(0,8)． 23．(1)解：∵AC 为直径， ∴∠ABC ＝90°．
在Rt △ABC 中，AC ＝25，AB ＝4， ∴BC ＝AC 2－AB 2＝2． ∵直径FG ⊥AB ， ∴AP ＝BP ＝1
2
AB ＝2．
(2)证明：∵AP ＝BP ，AO ＝OC ， ∴OP 为△ABC 的中位线， ∴OP ＝1
2BC ＝1，
∴OC OP ＝51． ∵OE OA ＝5
5＝5， ∴
OC OP ＝OE OA
． ∵∠EOC ＝∠AOP ， ∴△EOC ∽△AOP ， ∴∠OCE ＝∠OP A ＝90°， ∴OC ⊥DE ， ∴DE 是⊙O 的切线． (3)解：∵BC ∥EP ， ∴∠DCB ＝∠E ， ∴tan ∠DCB ＝tan E ＝32
．
在Rt △BCD 中，BC ＝2，tan ∠DCB ＝BD BC ＝3
2，
∴BD ＝3，
∴CD ＝BC 2＋BD 2＝13． ∵BC ∥EP ，
∴
DC DE ＝DB DP ，即13DE ＝33＋2
， ∴DE ＝5133
．
24．解：(1)∵直线l ：y ＝3
4x ＋m 经过点B (0，－1)，
∴m ＝－1，
∴直线l 的解析式为y ＝3
4x －1．
∵直线l ：y ＝3
4x －1经过点C (4，n )，
∴n ＝3
4
×4－1＝2．
∵抛物线y ＝1
2x 2＋bx ＋c 经过点C (4,2)和点B (0，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
12×42＋4b ＋c ＝2，c ＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－54，
c ＝－1.
∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－5
4x －1．
(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝4
3，
∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫
43，0，
∴OA ＝4
3．在Rt △OAB 中，OB ＝1，
∴AB ＝OA 2＋OB 2＝⎝⎛⎭⎫432＋12＝53
．
∵DE ∥y 轴，
∴∠ABO ＝∠DEF ．在矩形DFEG 中，EF ＝DE ·cos ∠DEF ＝DE ·OB AB ＝3
5DE ，DF ＝DE ·sin
∠DEF ＝DE ·OA AB ＝4
5
DE ，
∴p ＝2(DF ＋EF )＝2⎝⎛⎭⎫45＋35DE ＝14
5DE ． ∵点D 的横坐标为t (0＜t ＜4)， ∴D ⎝⎛⎭⎫t ，12t 2－54t －1、E ⎝⎛⎭
⎫t ，3
4t －1，
∴DE ＝⎝⎛⎭⎫34t －1－⎝⎛⎭⎫12t 2－54t －1＝－12
t 2＋2t ， ∴p ＝145×⎝⎛⎭⎫－ 12t 2＋2t ＝－75t 2＋285
t ． ∵p ＝－75(t －2)2＋285 ，且－75
＜0， ∴当t ＝2时，p 有最大值285
．
图3
(3)∵△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°，
∴A 1O 1∥y 轴时，B 1O 1∥x 轴．设点A 1的横坐标为x ．
①如图3，点O 1、B 1在抛物线上时，点O 1的横坐标为x ，点B 1的横坐标为x ＋1， ∴12x 2－54x －1＝12(x ＋1)2－54(x ＋1)－1，解得x ＝34
； ②如图4，点A 1、B 1在抛物线上时，点B 1的横坐标为x ＋1，点A 1的纵坐标比点B 1的纵坐标大43
， ∴12x 2－54x －1＝12(x ＋1)2－54(x ＋1)－1＋43，解得x ＝－712
．
图4
综上所述，点A 1的横坐标为34或－ 712
．。