辽宁省抚顺市六校协作体2020-2021学年高一上学期期末数学试题

辽宁省抚顺市六校协作体2020-2021学年高一上学期期末数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}
2
71|20B x x x +-==，则A
B 的一个真子集为
（ ） A ．{}4 B ．{}3,4
C ．{}2,3
D ．{}2
2．10cos 3π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的值等于（ ）
A ．
12 B ．12
-
C D ． 3．112
2
log sin
log cos
12
12
π
π
+值为（ ）
A ．-4
B ．4
C ．2
D ．-2
4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点()1,2P --，则tan2θ等于( ) A ．
4
5
B ．45
-
C ．
43
D ．43
-
5．幂函数()()
2
21
21m f x m m x
-=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．1或2
D ．2
6．函数()()()log 201a g x x a =+<<的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．13
y x = B ．()tan f x x =-
C ．()2
1
x f x x =
- D ．()2
2x
x f x -=-
8．如图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距水面2m ，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P 到水面距离()y m 与时间()x s 满足关系式()sin 2y A x ωϕ=++，则有（ ）
A ．512π
ω=
，3A = B ．215π
ω=
，3A = C ．512
π
ω=，5A =
D ．215
π
ω=，5A =
9．已知35a =，31
log 5
b =，3log 1
c =-，则a ，b ，c 三个数的大小关系为（ ） A ．b c a <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．c b a <<
10．若函数()2
=f x x bx c ++对任意x ∈R 都有()()13f x f x -=-，则以下结论中正确的是（ ）
A ．()()()025f f f <-<
B ．()()()250f f f -<<
C ．()()()205f f f -<<
D ．()()()052f f f <<-
11．已知0x （01x >）是函数2
()1
f x lnx x =-
-的一个零点，若0(1,)a x ∈， 0(,)b x ∈+∞，则( )
A ．()0f a >， ()0f b >
B ．()0f a >， ()0f b <
C ．()0f a <，()0f b <
D ．()0f a <，()0f b >
12．设()(,)f x -∞+∞是定义在上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若1
()02
f =，
三角形的内角满足(cos )0f A <，则A 的取值范围是（ ）
A ．2()33
ππ,
B ．(
,)32
ππ
C ．2(
,)(,)323
ππ
ππ⋃
D ．2(
,](,)323
ππ
π
π⋃
二、填空题 13．计算：12
01(lg 25)lg 25lg 425-⎛⎫
+++= ⎪⎝⎭
________.
14．已知函数()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则函数()22f x x +的单调递增区间是________.
15．已知tan 2α=，则()()2
cos s (
)n cos 2
i απαππ
α--++的值为________.
16．已知函数y ＝tan ωx 在π,22π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
三、解答题
17
．设函数()f x =A ，已知集合{}|13B x x =<<，
{}|C x x m =≥，全集为R .
（1）求()
R A B ；
（2）若()A B C ⋃⋂≠∅，求实数m 的取值范围.
18．某同学在利用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，
π
ϕ<<
）的图象时，列出了如表格中的部分数据.
（1）请将表格补充完整，并写出()f x 的解析式；
（2）讨论()f x 在区间5,124π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的单调性.
19．共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：
元)满足分段函数h (x )＝21400,04002
80000,400
x x x x ⎧-<≤⎪
⎨⎪>⎩，其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．
（1）试将利润用y 元表示为月产量x 的函数；
（2）当月产量x 为多少件时利润最大？最大利润是多少？ 20．关于x 的方程2
4sin
tan
0(0)2
2
x x m α
α
απ++=<<有两个相等的实数根．
（1）求实数m 的取值范围； （2）若42cos 3m α+=
，求1sin 2cos 21tan ααα
+-+的值． 21．已知函数(
)cos s co )f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期及对称中心；
（2）若将函数()y f x =的图象向左平移m 个单位所得图象关于y 轴对称，求m 的最小正值.
22．已知函数()2
1
log 1
x f x x +=-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明； （2）若对于[]2,4x ∈，恒有()2log (1)(7)
m
f x x x >-⋅-成立，求实数m 的取值范围.
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
求出集合B ，判断即可. 【详解】
解：{}
{}2
|347120B x x x =+-=＝，
， 则{3,4}A B =，
{}4是A
B 的一个真子集，
故选：A. 【点睛】
考查集合的交集及其集合与集合的关系，基础题. 2．B 【分析】
利用诱导公式化简求值即可. 【详解】 解：101011cos cos cos 3332πππ⎛⎫
-==-=- ⎪⎝⎭
， 故选：B. 【点睛】
本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础试题. 3．C 【分析】
利用倍角公式、对数运算性质即可得出. 【详解】
解：原式2
11122211log sin cos log sin log 21212262πππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
故选：C. 【点睛】
本题考查了倍角公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】
由条件利用任意角的三角函数的定义，求出sin θ和cos θ的值，可得tan θ的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解． 【详解】
角θ的终边经过点()1,2P --，
1x ∴=-，2y =-，r OP ==
sin
y r θ∴=
=cos x r θ==tan 2y x θ==， 则2
2tan 4
tan21tan 3
θθθ==--． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题． 5．D 【分析】
本题首先可根据函数()f x 是幂函数得出0m =或2m =，然后根据函数()f x 在()0,∞+上为增函数得出2m =，即可得出结果. 【详解】
因为函数()f x 是幂函数，
所以2211m m -+=，解得0m =或2m =， 因为函数()f x 在()0,∞+上为增函数， 所以210m ->，即1
2
m >，2m =， 故选：D. 【点睛】
本题考查幂函数的相关性质，主要考查根据函数是幂函数以及幂函数的单调性求参数，考查
计算能力，是简单题. 6．A 【分析】
根据对数函数的图象和性质分别进行排除即可. 【详解】
解：当01a <<时，函数()g x 为减函数，排除B ，D ， 由20x +>得2x >-，
即函数的定义域为(2,)-+∞，排除C ， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对数函数的图象和性质是解决本题的关键，比较基础. 7．D 【分析】
根据基本函数的单调性、奇偶性逐项判断即可. 【详解】
解：1
3y x =是奇函数，但在定义域内为增函数，故排除A ；
()tan f x x =-是奇函数，但()()0tan00,tan 0f f ππ=-==-=，
则()f x 在定义域内不是单调递减函数，故排除B ；
()21
x f x x =-是奇函数，但()22
1
12222,2,23213112f f ⎛⎫==-== ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭
则()f x 在定义域内不是单调递减函数，故排除C ；
()22x x f x -=-的定义域为R ，且()()2222()x x x x f x f x ---=-=--=-，
∴()2
2x
x f x -=-是奇函数，
又2x -递减，2x -递减，∴()22x
x f x -=-单调递减，
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，熟记常见基本函数的有关性质是解决问题的基础. 8．B 【分析】
根据题意可得出A 的值，以及该函数的最小正周期，利用周期公式可求得ω的值，进而得出结论. 【详解】
由题意可知max 25y A =+=，可得3A =，该函数的周期为()60
154
T s =
=， 2215
T ππ
ω∴=
=
. 故选：B. 【点睛】
本题考查三角函数解析式中参数的计算，考查计算能力，属于基础题. 9．A 【解析】
由35a =得：3log 51a =>,31
log 05
b =<. 由3log 1
c =-，得13
c =. 所以b c a <<. 故选A. 10．A 【解析】 【分析】
根据题意得到()2
f x x bx c =++的对称轴为1x =且函数的开口方向向上，且在()1,+∞上
为增函数，由图像性质可得到离轴越远函数值越大，进而得到结果. 【详解】
若函数()2
f x x bx c =++对任意x R ∈都有()()13f x f x -=-，
则()2
f x x bx c =++的对称轴为1x =且函数的开口方向向上，
则函数在()
1,+∞上为增函数，由图像性质可得到离轴越远,函数值越大又
()()()()
02,24
f f f f
=-=，所以()()()
245
f f f
<<，即()()()
025
f f f
<-<，故选A．
【点睛】
这个题目考查了函数的单调性的应用，通过单调性和图像的性质得到式子的大小关系，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
11．D
【解析】
分析：在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=
2
1
x-
的图象，由图可得结论．
详解：令f（x）=lnx﹣
2
1
x-
=0，从而有lnx=
2
1
x-
，
此方程的解即为函数f（x）的零点，
在同一坐标系中作出函数y=1nx与y=
2
1
x-
的图象，
由图可得f（a）＜0，f（b）＞0，
故选D．
点睛：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，构造两个函数的交点问题求解，对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个不是常函数，注意让不是常函数的式子尽量简单一些．
12．C
【解析】
解；∵f (x )是定义在R 上的奇函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且102f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
∴f (x )的草图如图，由图知
若f (cosA )<0，则12cosA <-，或1
02
cosA <<
又∵A 为△ABC 内角，∴A ∈(0,π)
2(,)(,)323A πππ
π∴∈⋃
本题选择C 选项.
13．8 【分析】
利用指数与对数的运算性质即可得出. 【详解】 解：原式
1225
1lg(254)5128⎛⎫
-⨯- ⎪
⎝⎭
=++⨯=++=
故答案为：8. 【点睛】
本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 14．(,1]-∞- 【分析】
由外层函数()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
是定义域内的减函数，只需求出内层函数22t x x =+的减区间即可. 【详解】
解：∵函数()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
是定义域内的减函数， 而22t x x =+的减区间为(,1]-∞-，
∴函数(
)
2
2f x x +的单调递增区间是(,1]-∞-， 故答案为：(,1]-∞-. 【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题. 15．
6
5
【分析】
利用诱导公式化简，然后利用同角三角函数间的关系式可求得. 【详解】 解：tan 2α=， 则()()2
cos s (
)n cos 2
i απαππ
α--++
2sin sin cos ααα=+
222sin sin cos sin cos ααα
αα+=
+ 22
tan tan 1tan αα
α
+=+ 426
145
+=
=+ 故答案为：65
. 【点睛】
本题考查运用诱导公式化简求值，考察同角三角函数间的关系式的应用，是中档题. 16．[－1,0) 【解析】
∵函数tan y x ω=在π,22π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
内是单调减函数， ∴0ωππω<⎧⎪⎨≥⎪⎩
，解得10ω-≤<，
∴ω的取值范围是[1,0)-． 答案：[1,0)- 点睛：
求解ω的范围时，可从函数的单调性和周期性两个方面考虑，由复合函数的单调性可得ω为负值．又函数在π,22π⎛⎫-
⎪⎝⎭内是单调减函数，故π,22π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为一个周期的子集，由此可得关于ω的不等式组，解不等式组即可． 17．（1）{|12}x x <≤；（2）3m ≤ 【分析】
（1）由题意可得()13
log 20x -≥且20x ->，解不等式可求A ，结合集合的基本运算可求；
（2）先求出A B ，然后结合集合的交集运算可求.
【详解】
由()13
log 20x -≥得021x <-≤，
所以{}|23A x x =<≤，{|2U C A x x =≤或}3x >，
(){|2R A B x x ∴=≤或3}{|13{}|12}x x x x x <><=≤<；
（2）由（1）知{}|23A x x =<≤，因{}|13B x x =<<， 所以{}|13A B x x ⋂=<≤， 又{}|C x x m =≥，()A B C ≠∅，
所以3m ≤. 【点睛】
本题主要考查了集合的交并补的基本运算以及交集结果求参数，属于基础试题.
18．（1）表格见解析，()4sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
；
（2）在,36ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦单调递增，在5,12
3ππ⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦，,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
单调递减 【分析】
（1）直接利用表格中的数据列方程组，求出函数的关系式； （2）利用整体思想的应用求出函数的单调区间，再对照5,124π⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦可得结果. 【详解】
（1）由512233
2π
ωϕπππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得26ωπϕ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
由表中数据得4A =，所以()4sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
表格如图：
（2）由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
，k Z ∈，
解得3
6
k x k π
π
ππ-≤≤+
，k Z ∈，
由3222262
k x k π
π
π
ππ+
≤+
≤+
，k Z ∈， 解得263
k x k ππ
ππ+≤≤+，k Z ∈，
因为5,124x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦，
所以()f x 在区间,36ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦单调递增，5,12
3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.
19．（1）y ＝2
130020000,0400
260000100,400
x x x x x ⎧-+-<≤⎪⎨⎪->⎩；（2）300辆；25000元．
【分析】
（1）根据题意总成本为(20 000＋100x )元，由利润＝总收益－总成本即可求解.
（2）由（1）当0＜x ≤400时，配方可求出最大值；当x ＞400时，根据一次函数的单调性可求出最大值，进而求出自行车厂的最大利润. 【详解】
(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元，则
y ＝2
130020000,0400260000100,400
x x x x x ⎧-+-<≤⎪⎨⎪->⎩，
(2)当0＜x ≤400时，y ＝－
1
2
(x －300)2＋25 000，故当x ＝300时，y max ＝25 000； 当x ＞400时，y ＝60 000－100x 是减函数，故y ＜60 000－100×
400＝20 000. 所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元． 【点睛】
本题考查了分段函数模型的应用，考查了考生的分析问题的能力，属于基础题. 20．（1）(0,2]；（2）5
9
-． 【解析】
试题分析：由题意得，可得2
16sin 24sin cos 2sin 224tan 2
a
a a m a α=
==，由三角函数的知识可求得；（2）化简原式为2sin cos αα，由42cos 3m α+=得2
sin cos 3
αα+=，所以
5
2sin cos 9
αα=-，可求解结论．
试题解析：（1）关于x 的方程2
4sin
tan 0(0)22
a a
x x m απ++=<<有两个相等的实数根， 所以216sin
4tan 022a a m ∆=-=，则2
16sin 24sin cos 2sin 224tan 2
a a a m a α===． 因为0απ<<，所以02sin 2α<≤．即所求实数m 的取值范围为(0,2]．
（2）21sin 2cos 22sin 2sin cos sin 1tan 1cos ααααα
ααα+-+=
++
2sin cos (sin cos )
2sin cos sin cos αααααααα
+=
=+
当42cos 3m α+=时，则2
sin cos 3
αα+=，
平方得412sin cos 9αα+=，∴5
2sin cos 9
αα=-，
即
1sin 2cos 25
1tan 9ααα+-=-+． 考点：三角函数的化简求值． 21．（1）π，1,()2122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭
；（2）3π
【分析】
（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心.
（2）利用（1）的关系式，利用整体思想的应用对函数的关系式进行平移变换和对称性的应用求出最小值. 【详解】
（1
）因为2()cos cos )cos cos f x x x x x x x =-=-
1cos 212sin 2262x x x π+⎛
⎫=
-=-- ⎪⎝
⎭， 所以最小正周期为22
T π
π=
=， 由正弦函数的对称中心知26
x k π
π-
=，解得212
k x ππ
=
+，k Z ∈，
所以对称中心为1,()2122k k Z ππ
⎛⎫+-∈
⎪⎝⎭
； （2）()y f x =的图象向左平移m 个单位所得解析式是1
sin 2262
y x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝
⎭， 因为其图象关于y 轴对称， 所以26
2
m k π
π
π-=+
，k Z ∈，
解得23
k m ππ
=
+，k Z ∈， 所以m 的最小正值是3
π. 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型. 22．（1）奇函数，证明见解析；（2）015m << 【分析】
（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）由题意，
101(1)(7)x m
x x x +>>---对[]
2,4x ∀∈恒成立，转化为0(1)(7)
m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解. 【详解】 （1）因为
1
01
x x +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数()f x 为奇函数，证明如下： 由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称，
又因为1
222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+⎛⎫-====- ⎪--+-⎝⎭
， 所以函数()f x 为奇函数； （2）若对于[]2,4x ∈，2
()log (1)(7)
m
f x x x >--恒成立，
即2
21log log 1(1)(7)
x m
x x x +>---对[]2,4x ∈恒成立， 即
101(1)(7)
x m x x x +>>---对[]
2,4x ∈恒成立， 因为[]
2,4x ∈，所以107m
x x
+>
>-恒成立， 即0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩
恒成立，
设函数()()()17g x x x =+-，求得()g x 在[]
2,4上的最小值是15， 所以015m <<. 【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大.。