2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题21简单的三角恒等变换

0 2x
（ 2）当
6 3 时，有
3
，从而
5
0 2x
当
3
2 时,即 6
x
12 时， f (x) 单调递增，
当 2x
2
3
5
2
时 ,即
x
时， f ( x) 单调递减，
12
3
综上可知， f ( x) 在 [
5 ,
] 上单调递增；
f ( x) 在 [ 5
2 ,
] 上单调递减 .
6 12
12 3
（ 2014·全国卷）直线 l 1 和 l 2 是圆 x2＋ y2＝ 2 的两条切线．若 l1 与 l 2 的交点为 (1， 3)，则 l 1 与 l2 的夹角
的正切值等于 ________．
【答案】 4 3
【解析】 如图所示，根据题意， OA⊥ PA，OA＝ 2， OP＝ 10，所以 PA＝ OP2－ OA2＝ 2
2，所以
专题 21 简单的三角恒等变换
tan∠
OPA＝
OA PA
＝ 2
2 ＝ 1，故 22
tan∠
APB
＝
2tan∠ OPA 1－ tan2∠OPA＝
例 3、已知函数
f( x)＝ sin(x＋ θ)＋ acos(x＋ 2θ)，其中
a∈ R ，θ∈
－
2π，
π 2
.
(1)当 a＝ 2，θ＝ π4时，求 f( x)在区间 [0， π上］的最大值与最小值；
(2)若
f
π 2
＝
0，
f
(
π＝）1，求
a， θ的值．
解
(1) f(x)＝ sin x＋ π4 ＋
2cos
4 3
，即
l1与
l 2 的夹角的正切值等于
4 3.
（ 2014·全国卷）若函数 f(x)＝ cos 2x＋ asin x 在区间 π6， π2 是减函数，则 a 的取值范围是 ________．
【答案】 (－ ∞， 2]
（ 2014·福建卷）已知函数 f(x)＝ cos x(sin x＋ cos x) －12. (1)若 0<α<π2，且 sin α＝ 22，求 f(α)的值；
专题 21 简单的三角恒等变换
解析
1 2
os4x－ 4cos2x＋
(1) 原式＝
sin
π－ x 4
2× cos
π－x 4
·cos2
π4－ x
2 x－ 2
＝
π
π
4sin 4－ x cos 4－ x
＝
cos22x 2sin π2－ 2
x
＝
cos22x＝ 2cos2x
1 2
cos2x.
【感悟提升】 (1)三角函数式的化简要遵循 “三看 ”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．
π
(2)已知
α∈
0，
π 2
，且
2sin 2α－ sinα·cosα－ 3cos2α＝ 0，则
sin α＋ 4
＝
sin2α＋cos2α＋1
______________________________________________________________.
答案
(1)
1 2cos2x
26 (2) 8
解析 (1) 由 sinα＝ 5， cosβ＝ 3 10且 α， β为锐角，
5
10
可知 cosα＝ 2 5 5， sinβ＝ 1100， 故 cos(α＋ β) ＝ cosαcosβ－sin αsinβ
＝2
5 5
3 ×
10－ 10
55×1100＝
2， 2
又 0<α＋ β<π，故 α＋ β＝ π. 4
x＋
π 2
＝
2 2 (sinx＋ cosx)－
2sinx
＝
2 2 cosx－
2 2 sinx
＝sin
π－ x 4
，
因为 x∈ [0， π，］从而 π4－ x∈
－34π，
π 4
，
故 f (x)在 [0， π上］的最大值为 22，最小值为－ 1.
(2)由 f π2 ＝ 0，
f
＝ 1.
cosθ － 2asin θ ＝ 0， 得 2asin 2θ－sinθ－a＝ 1，
a＝－ 1，
由 θ∈
－π2，
π 2
知
cosθ≠０，解得
π θ＝－ 6.
【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数
化为 y＝ Asin(ωｘ＋ φ)＋ k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
【变式探究】 (1) 函数 f(x)＝ sin(x＋ φ)－ 2sinφcosx 的最大值为 ________．
（ 1）
2
3 cos2 x cosx sin x 3 (1 cos2x) 2
1
3
1
3
3
p3
= sin 2x - (1+ cos2x) = sin 2x - cos2 x - = sin(2 x - ) -
2
2
2
2
2
3 2,
2- 3 因此 f ( x) 的最小正周期为 p ，最大值为 2 .
2
x[ , ]
【变式探究】
(1) 已知
sinα＝
55，sin( α－ β)＝－
10 10
，α，
β均为锐角，则角
β等于 (
)
5π
π
A. 12
B.3
π C.4
π D.6
(2)在△ ABC 中， tanA＋tanB＋ 3＝ 3tanA·tanB，则 C 等于 ( )
π A. 3
2π B. 3
π C.6 答案 (1)C (2)A
8
8
，单调递减区间为
【 2015 高考天津，理 15】（本小题满分 13 分）已知函数 f x
2
2
sin x sin x
，x R
6
(I) 求 f ( x) 最小正周期；
pp (II) 求 f (x) 在区间 [ - , ] 上的最大值和最小值 .
34
【答案】 (I) ; (II) f ( x )max
3 , f (x )min
1
.
4
2
【解析】 (I) 由已知，有
1 cos 2x
f ( x) 1 cos2x
3
2
2
1 1 cos2x 3 sin 2x 1 cos2 x
22
2
2
3
1
1
sin 2x cos2x sin 2x
.
4
4
2
6
所以 f ( x) 的最小正周期 T 2
.
2
pp (II) 因为 f ( x) 在区间 [ - , - ] 上是减函数，在区间
1010－
2 5
5 ×(－
10 10 )＝
2 2.
专题 21 简单的三角恒等变换
∴β＝
π 4.
(2)由已知可得 tanA＋tanB＝ 3(tanA·tanB－1)，
tanA＋ tanB
∴tan(
A
＋B)＝
1－
＝－ tanAtanB
3，
又
0<A＋B<π，∴
A＋ B＝ 23π，∴
C＝
π 3.
高频考点三 三角恒等变换的应用
专题 21 简单的三角恒等变换
2
2
(2)f(x) ＝ 2 sin2x－ 2 cos2x－ 2(1－ cos2x)
＝ 22sin2x＋ 22cos2x－ 2＝sin(2x＋ π4)－ 2， ∴T＝ 2π＝ π．
2
3
1. 【 2016 高考新课标 2 理数】若 cos(
) ，则 sin 2 （ ）
4
5
π
2
(2)函数 f(x)＝ sin(2 x－4)－ 2 2sin x 的最小正周期是 ________．
答案 (1)1 (2) π
解析 (1) 因为 f(x)＝ sin( x＋ φ)－2sinφcosx
＝sinxcosφ－ cosxsin φ＝ sin( x－ φ)， －1≤sin(x－ φ) ≤１，所以 f(x)的最大值为 1.
6
.
2
【 2015 高考浙江，理 11】函数 f ( x) sin2 x sin x cosx 1的最小正周期是
，单调递减区间
是
．
【答案】 ， [ 3 8
7 k,
8
k ]， k Z .
【解析】 f (x) 1 cos 2x sin 2x 1
2 sin(2 x
3 ) ，故最小正周期为
2
2
2
42
[3 k ,7 k ]， k Z .
π D.4
解析
(1) ∵ α、 β均为锐角，∴－
π
π
2<α－ β<2.
又 sin( α－ β)＝－
10，∴ 10
cos(α－
β)＝
3
10 10 .
又 sin α＝ 5，∴ cosα＝2 5，
5
5
∴sinβ＝ sin[ α－ (α－β)]
＝sinαcos(α－ β)－ cosαsin(α－ β)
＝
53 5×
2x＋
1 2cos
2x
＝
2 2 sin
2x＋ π4 ，
所以 T＝ 2π＝ π． 2
ππ
π
由 2kπ－2≤２x＋ 4≤２kπ＋2，k∈ Z ，
得
kπ－
3π 8 ≤x≤kπ＋
π， 8
k∈
Z.
所以 f(x)的单调递增区间为
kπ－
3π， 8
1－ cosα sin α .
2．辅助角公式
asinx＋ bcosx＝ a2＋ b2sin( x＋ φ) ，
其中 sinφ＝
b a2＋
b2，
cosφ＝
a a2＋b2.
高频考点一 三角函数式的化简与求值
4
21
2cos x－ 2cos x＋2
例
1、 (1)化简：
2tan
π－ x 4
sin2
π＋ x 4
＝ ________.
π
sin 9
－
1 8sin
8 9π
＝
π
sin 9
＝－
1 8.
(2)
1
＋ cos2α＝ sin2 α
2cos2α ＝ 2sinαcosα
cosα＝ sinα
1， 2
∴tanα＝
2，∴
tan2α＝
1－2tatannα2α＝
1
4 －
＝－ 4
4 3.
高频考点二 三角函数的求角问题
例 2、 (1)已知锐角 α，β满足 sinα＝ 55， cosβ＝3 1010，则 α＋ β等于 (
(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间．
【解析】方法一：
(1) 因为 0<α<π2，sin α＝ 22，所以
cos α＝
2 2.
所以
f(α)＝
2 2×
2＋ 2
2 2
－
12＝
1 2.
(2)因为
f(
x)＝
sin
xcos
x＋
cos2x－
1 2
＝
1 2sin
2x＋
1＋cos 2
2x－
1 2
＝
1 2sin
5
12 64
，故选 A．
25 25
3.【 2016 年高考四川理数】
cos2 π
sin2
π
=
8
8
3 ,cos
5
.
4
，所以
5
2
【答案】
2
【解析】 [ 由二倍角公式得 cos2
sin2
cos
2 .
8
8
42
【 2015 高考四川，理 12】 sin 15 sin 75
.
专题 21 简单的三角恒等变换
【答案】
（ 1）求 f x 的最小正周期和最大值；
（ 2）讨论 f x 在
2 ,
上的单调性 .
63
【答案】（ 1）最小正周期为 p ，最大值为 2 -
3 ；（ 2） f ( x) 在 [
5 ,
] 上单调递增； f ( x) 在 [ 5
2 ,
]
2
6 12
12 3
上单调递减 .
【解析】
f (x) sin x sin x
专题 21 简单的三角恒等变换
专题 21 简单的三角恒等变换
1．公式的常见变形
(1)1＋ cosα＝ 2cos2α2；
1－ cosα＝ 2sin2α2；
(2)1＋ sinα＝ (sinα2＋ cosα2)2；
1
－
sinα＝
(sin
α 2－
cosα2)2.
(3)tan
α＝ 2
sinα ＝ 1＋ cosα
)
A.
3π 4
B.
π4或
3π 4
π C.4
π D． 2kπ＋4( k∈ Z )
(2)已知方程 x2＋ 3ax＋3a＋ 1＝ 0(a＞ 1)的两根分别为 tanα、tanβ，且 α、β∈ － π2，2π，则 α＋β等于 (
)
π A. 8
3π B．－ 4
C.π8或－
3π 8
D.π4或－
3π 4
答案 (1)C (2)B
专题 21 简单的三角恒等变换
【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
(1)已知正切函数值，则选正切函数．
(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是
0，π2 ，则选正弦、余弦皆可；若角
的范围是 (0，π），则选余弦较好；若角的范围为
－ π2， π2 ，则选正弦较好．
36
pp [ - , ] 上是增函数，
64
f( ) 3
1
,f( )
4
6
1 ,f( )
24
3
pp
，所以 f (x) 在区间 [ - , ] 上的最大值为
3 ，最小值为
4
34
4
专题 21 简单的三角恒等变换
1
.
2
【 2015 高考重庆，理 18】 已知函数 f x
sin
x sin x
2
3 cos2 x
)
5
5
A. 4
B ．－ 4
4
4
C.3
D ．－ 3
答案 (1)A (2)D
解析
(1) 原式＝
cosπ9·cos29π·
4 c－os3( π＋9π）
专题 21 简单的三角恒等变换
－ cos
π 9·cos
29π·
co49sπ·
π s9in
＝
π
sin9
－
1 2sin
2
2
4
9π· co9sπ· co9sπ
＝
7
（ A）
25
【答案】 D
1
（B）
5
1
（ C）
5
7
（ D）
25
2. 【 2016 高考新课标 3 理数】若 tan