2019届北京市海淀区高三3月适应性考试(零模)文科数学试卷【含答案及解析】
2019年海淀高三一模文数试卷及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案数学（文科）2019.04阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.C3.D4.D5.B6.B7.C 8.B 二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.110.6,411.4812.(1,2)-（答案不唯一）13.,214.2,[0,)+∞三、解答题:本大题共6小题，共80分.15.（共13分）解：（I）因为522a a +=，2d =所以11252102a d a +=+=，所以14a =-所以26n a n =-(II)21()52m m a amS m m+==-又912a =，1524a =因为915,,m S a a 是等比数列，所以2915()m a S a =所以2560m m --=6,1m m ==-因为*m ∈N ，所以6m =16.（共13分）解：（Ⅰ）π(0))cos014f a =+=212a +=所以1a =-（Ⅱ）()cos()cos 14f x x x π=--(2sin 2cos )cos 1x x x =+-22sin cos 2cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x=+π4x =+由图象得0ππ242x +=所以0π8x =函数()f x 的单调增区间为31(ππ,ππ)88k k -+，k ∈Z17.（共14分）解：（I）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB又因为,D E 分别为1111,A C B C 的中点，所以DE 11A B 于是DE ABAB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF所以AB 平面DEF(II)在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC所以1CC AC ⊥，1CC BC⊥又AC BC⊥1BC CC C = ，1,BC CC ⊂平面11C BC B 所以AC ⊥平面11C BC B EF ⊂平面11C BC B 所以AC EF⊥又因为12BC CC ==，1CC BC ⊥，所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC 所以1EF CB ⊥，又1AC CB C = ，1,AC CB ⊂平面1ACB 所以EF ⊥平面1ACB 又EF ⊂平面DEF所以平面1ACB ⊥平面DEF （Ⅲ）1111233E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==⋅=18.（共13分）解：(Ⅰ)人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省(Ⅱ)设在这十个地区中,任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则3()10P A =（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为1234,,,a a a a ，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即12,a a 从4个地区中任取2个地区共有6种情况，()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a 其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，()()()()()1213142324,,,,,,,,,a a a a a a a a a a 则5()6P B =19．（共13分）解：（Ⅰ）当6,0a x =>时，3215()6132f x x x x =-+-所以2'()56(2)(3)f x x x x x =-+=--，令'()0,f x =得2x =，或3x =.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x (0,2)2(2,3)3(3,)+∞'()f x +0-0+()f x 极大值 极小值所以()f x 在(0,+)∞上的单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)(Ⅱ)当0a <时，若0x <，则3215()132f x x x ax =---，所以2'()5(5)f x x x a x x a=--=--因为0,0x a <<，所以'()0f x >若0x >，则3215()132f x x x ax =-+-，所以2'()5f x x x a=-+令'()0,f x =2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x <不妨设20x >，所以当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x (,0)-∞02(0,)x 2x 2(,)x +∞'()f x +无定义-0+()f x 极大值 极小值因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值20.（共13分）解：（Ⅰ）因为(2,0)A -，所以2a =因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b c=又222b c a +=所以b c ==，所以椭圆方程为22142x y +=（Ⅱ）方法一：设(,)m m M x y 1m MP m y k x =-，=2m AM m y k x +1AM MP k k ⋅=-22112142m m m m m m y y x x x y ⎧⋅=-⎪-+⎪⎨⎪+=⎪⎩0m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，20m m x y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法二：设(,)m m M x y ，因为AM 与MN 垂直，所以点M 在以AP 为直径的圆上，又以AP 为直径的圆的圆心为1(,0)2-，半径为32，方程为2219(24x y ++=222219(142m m m m x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，0m mx y =⎧⎪⎨=⎪⎩，20m m x y =-⎧⎨=⎩（舍）所以AM 方法三：设直线AM 的斜率为k ，:(2)AM l y k x =+，其中0k ≠22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(12)8840k x k x k +++-=当0∆>时，228412A M k x x k -⋅=+得224M k x -=+，2421M k y k =+显然直线,AM MN 存在斜率且斜率不为0.因为AM 与MN 垂直，所以222421=241MP k k k k k+=--+1k =-得212k =，2k =±，0M x =所以2M AM +（Ⅲ）直线NQ 恒过定点(2,0)设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由题意，设直线MN 的方程为1x my =+，由221,240x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(2)230m y my ++-=，显然，0∆>，则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+，因为直线PQ 与AM 平行，所以112PQ AM y k k x ==+，则PQ 的直线方程为11(1)2y y x x =-+，令52x =，则111133222(3)y y y x my ==++，即1135(,)22(3)y Q my +121122112232635(3)(23)2NQ y y my my y y y k my my x -++-==+--，直线NQ 的方程为12212221221263()2639my y y y y y x x m y y my my +--=-+--12211221222212211221263(263)(1)26392639my y y y my y y y my y x y m y y my my m y y my my +-+-+=-++--+--122112212212211221263215326392639my y y y my y y y x m y y my my m y y my my +-+-=-+--+--令0y =，得122112212153263my y y y x my y y y +-=+-因为121223()my y y y =+，故221829y x y ==，所以直线NQ 恒过定点(2,0).。
2019高三文综海淀适应性练习(0模)试题与答案
海淀区高三年级第二学期适应性练习 2019.3政治24.日前,香港邮政推出了以新中国成立70周年为主题的纪念邮票。
这套邮票共四枚,以象征团结、吉祥、和谐的中国结作为设计亮点,构图精巧细致,寓意70年来我国在经济、社会、科技及环境各方面取得的卓越成就。
这套邮票①在设计中引入中国结元素,体现了传统与现代的贯通②新颖的设计说明设计者的灵感是文化创新的源泉③说明传统文化在世代相传中保留着其基本特征④体现了团结、吉祥、和谐是时代精神的核心A. ①②B.①③C.②④D.③④25.“崇教育人耕读传家远,立身敦品礼义济世长。
”传承优秀家风,关系着个人成长、家庭和睦,更关系着社会进步、国家治理。
聆听优秀家风故事，感受优秀家风文化，主要目的在于①抵御外来文化的冲击,加快儒家传统文化复兴②推动传统文化创新,为传统文化注入时代内涵③发挥家风的积极作用,共同建设文明和谐家园④引导群众向上向善,践行社会主义核心价值观A. ①②B.①③C.②④D.③④26.研学旅行可以拓宽学生视野,激发学习兴趣。
教育部《关于推进中小学生研学旅行的意见》要求各中小学要结合当地实际,把研学旅行纳入学校教育教学计划,逐步建立适合各阶段学习的研学旅行活动课程体系。
构建这一课程体系的哲学依据有①兴趣对认识活动起决定作用,激发兴趣有助于发挥学生的能动性②获取知识有多种途径,跳出书本有助于学生获取更多知识③学习是直接现实性的活动,离开直观感受学生就无法获得正确认识④实践是沟通主客观的桥梁,研学旅行有助于学生在亲身实践中验证知识A. ①②B.①③C.②④D.③④27.南京大学推出的“宿舍匹配系统”基于对学生个人习惯的调查结果,将作息时间、卫生习惯、学习特点、社交偏好等方面相似度高的学生安排在同一间宿舍,获得学生广泛好评。
这一人性化管理模式所依据的哲学道理有①个性是矛盾斗争的根源,共性是推动事物发展的动力②具体分析事物的个性是把握事物间共性的前提和基础③挖掘共性是正确认识事物的基础,是正确解决矛盾的关键④把握个性和共性的联结,有利于正确认识事物及事物间的联系A. ①②B.①③C.②④D.③④28.大数据技术给经济社会带来了巨大变化。
(全优试卷)北京市海淀区高三3月适应性考试(零模)文科数学试题 Word版含答案
精华学校2016-2017学年全日制第三次月考测试卷数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}|33,I x x x N =-<<∈，{}1,2A =，则()I A B =I ð（ ） A ．{}1B ．{}1,2C ．{}2D ．{}0,1,22.若0m n <<，则下列不等式中正确的是（ ） A ．11n m> B ．||||n m > C ．2n mm n+> D ．m n mn +>3.中国诗词大会节目是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵．如图是2016年中国诗词大会中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0~9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为1a ，2a ，则一定有（ ）A ．12a a >B ．21a a >C ．12a a =D ．1a ，2a 的大小与m 的值有关4.如图所示，已知3AC BC =u u u r u u u r ，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则下列等式中成立的是（ ）A ．3122c b a =-r r rB ．2c b a =-r r rC ．2c a b =-r r rD ．3122c a b =-r r r5.当4n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．6B ．8C ．14D ．306.已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222122n n n a a a ++=+，则6a 等于（ ）A ．16B ．8C ．4D ．27.已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)|4,0,20x y x y x y Γ=≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域Γ的概率是（ ） A ．13B ．23C ．19D ．298.已知函数21()()log 3x f x x =-，正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若实数d 是方程()0f x =的一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b <；③d c >；④d c <中一定成立的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.设i 为虚数单位，则复数21iz i=+所对应的点位于第 象限．10.设lg2a=，0.52b=，3cos4cπ=，则a，b，c按由小到大的顺序是．11.已知某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是边长为4的正方形，正视图和侧视图是边长为4的等边三角形，则该四棱锥的全面积为．12.已知双曲线221x my+=的右焦点为(2,0)F，m的值为，渐进线方程．13.过抛物线22(0)y px p=>的焦点F作倾斜角为60︒的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），OAFS∆=．14.已知函数21,0,()log,0,x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩在函数[]()1y f f x=+的零点个数．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数2()sin cos sin222x x xf x=+．（Ⅰ）求()3fπ的值；（Ⅱ）求()f x在(,]32ππ-的值域．16.在数列{}n a中，121n na a-=+（2n≥，*n N∈）且12a=．（Ⅰ）证明：数列{}1na+是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a的前n项和n S．17.如图，四棱锥P ABCD-的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且3PA=E是侧棱PA上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅱ）如果E 是PA 的中点，求证//PC 平面BDE ；（Ⅲ）是否不论点E 在侧棱PA 的任何位置，都有BD CE ⊥？证明你的结论． 18.股票市场的前身是起源于1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国．2017年2月26号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心．最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财．现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：投资结果 获利不赔不赚亏损概率121838（2）购买基金：投资结果 获利 不赔不赚亏损概率p 13q（Ⅰ）当2p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p 的取值范围； （Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．19.已知函数12()xx ex e f x e+-=，()ln g x x x =． （Ⅰ）求函数()g x 在区间[]2,4上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意m ，(0,)n ∈+∞，都有()()g m f n ≥成立．20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0,1)P ，，动点(2,)(0)M m m >．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，证明：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．精华学校2016-2017学年全日制第三次月考数学（文科）测试卷答案一、选择题1-5:ACBA D 6-8:CDA二、填空题9.一 10.c a b << 11.48 12.13-，y = 13.24p 14.4三、解答题15.解：（Ⅰ）∵2()sincos sin 222x x xf x =+，∴2()sincossin 3666f ππππ=+211()22==． （Ⅱ）2()sincos sin 222x x x f x =+11cos sin 22x x -=+11(sin cos )22x x =-+1)242x π=-+， 由(,]32x ππ∈-，得7(,]4124x πππ-∈-，所以1sin()42x π-≤-≤，11)12242x π≤-+≤，所以()f x 的值域为⎤⎥⎣⎦．16.（Ⅰ）证明：∵121n n a a -=+，∴112(1)n n a a -+=+， ∵12a =，∴113a +=，所以数列{}1n a +是以3为首项2为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1132n n a -+=⋅， ∴1321n n a -=⋅-，∴3(12)32312n n n S n n -=-=⋅---． 17.解：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ，∴13P ABCD ABCD V S PA -=⋅正方形213133=⨯⨯=， 即四棱锥P ABCD -的体积为33． （Ⅱ）连结AC 交BD 于O ，连结OE ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴O 是AC 的中点， 又∵E 是PA 的中点，∴//PC OE ， ∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴//PC 平面BDE ．（Ⅲ）不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥．证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥， ∵PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥， 又∵AC PA A =I ，∴BD ⊥平面PAC ． ∵不论点E 在何位置，都有CE ⊂平面PAC ， ∴不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥．18.解：（Ⅰ）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以113p q ++=，又因为12p =，所以16q =． （Ⅱ）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小， 得38q <，因为113p q ++=， 所以2338q p =-<，解得724p >，又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤，所以72243p <≤．（Ⅲ）记事件A 为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，用a ，b ，c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x ，y ，z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339⨯=种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)b y ，(,)b z ， (,)c y ，(,)c z ，所以事件A 的结果有5种，它们是：(,)a x ，(,)a y ，(,)a z ，(,)b x ，(,)c x ． 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =． 19.（Ⅰ）解：由()ln g x x x =，可得'()ln 1g x x =+． 当1(0,)x e∈，'()0g x <，()g x 单调递减； 当1(,)x e∈+∞，'()0g x >，()g x 单调递增． 所以函数()g x 在区间[]2,4上单调递增，又(2)2ln 2g =，所以函数()f x 在区间[]2,4上的最小值为2ln 2． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知()ln g x x x =（(0,)x ∈+∞）在1x e=时取得最小值， 又11()g ee =-，可知1()g m e ≥-．由2()x x f x e e =-，可得1'()x xf x e-=，所以当(0,1)x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减． 所以函数()f x （0x >）在1x =时取得最大值，又1(1)f e =-，可知1()f n e≤-， 所以对任意m ，(0,)n ∈+∞，都有()()g m f n ≥成立．20.解：（Ⅰ）由题意得2c a =，① 因为椭圆经过点(0,1)P ，所以1b =，② 又222a b c =+，③由①②③解得22a =，221b c ==，所以椭圆方程为2212x y +=． （Ⅱ）以OM 为直径的圆的圆心为(1,)2m，半径r =方程为222(1)()124m m x y -+-=+， 因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2， 所以圆心到直线3450x y --=的距离2md ==． 所以|325|5m m --=，解得4m =，所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=．（Ⅱ）过点F 作OM 的垂线，垂足设为K ，由平面几何知：2||||||ON OK OM =． 则直线OM ：2m y x =，直线FN ：2(1)y x m=--， 由,22(1),m y x y x m ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x m =+，∴22244||2244M m ON x x m +==⋅⋅=+，所以线段ON.。
2019年最新(统考)北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)及答案解析
北京市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}2．圆心为（0，1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=13．执行如图所示的程序框图，输出的x的值为（）A．4 B．3 C．2 D．14．若实数a，b满足a＞0，b＞0，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A．B．C．D．36．在△ABC上，点D满足，则（）A．点D不在直线BC上B．点D在BC的延长线上C．点D在线段BC上D．点D在CB的延长线上7．若函数的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（0，1] D．（﹣1，0）8．如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，…，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．①B．②C．①③D．②③二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知复数z=a（1+i）﹣2为纯虚数，则实数a= ．10．已知等比数列{a n}中，a2a4=a5，a4=8，则公比q= ，其前4项和S4= ．11．若抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，则实数p= ．12．若x，y满足则的最大值是．13．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若函数y=f（x+a）（a＞0）的部分图象如图所示，则ω=，a的最小值是．14．阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“…加入此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为，你的理由是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知等差数列{a n}满足a1+a2=6，a2+a3=10．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+a n+1}的前n项和．16．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地有a，b两种“共享单车”（以下简称a型车，b型车）．某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a型车，3人租到b型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a型车．，b两种车型的用户比例为1：1，根据表格提供的信息，估计4月该地区租用两种车型的用户比例．17．在△ABC中，A=2B．（Ⅰ）求证：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，求B的值．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面FAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EAD的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD⊥平面FAC．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点Q（4，0），若点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M．判断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=e x﹣x2+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=e x﹣2x﹣1，求函数g（x）的最小值；（Ⅲ）求证：存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}，则集合A∩B等于（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|x＞1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|x2＞4}={x|x＜﹣2或x＞2}，则集合A∩B={x|2＜x＜3}．故选：A．2．圆心为（0，1）且与直线y=2相切的圆的方程为（）A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意设圆方程为x2+（y﹣1）2=r2，由圆心到直线的距离得到半径r，代入即可得到所求圆的方程【解答】解：设圆方程为x2+（y﹣1）2=r2，∵直线y=2与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r，∴r=1故圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，故选：C3．执行如图所示的程序框图，输出的x的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=0，y=5不满足条件=，执行循环体，x=1，y=4不满足条件=，执行循环体，x=2，y=2满足条件=，退出循环，输出x的值为2．故选：C．4．若实数a，b满足a＞0，b＞0，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】据a，b的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可．【解答】解：设f（x）=x+lnx，显然f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵a＞b，∴f（a）＞f（b），∴a+lna＞b+lnb，故充分性成立，∵a+lna＞b+lnb”，∴f（a）＞f（b），∴a＞b，故必要性成立，故“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要条件，故选：C5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A．B．C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1，该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，即可得出结论．【解答】解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为2、1、1，该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，长度为=，故选B．6．在△ABC上，点D满足，则（）A．点D不在直线BC上B．点D在BC的延长线上C．点D在线段BC上D．点D在CB的延长线上【考点】向量的三角形法则．【分析】据条件，容易得出，可作出图形，并作，并连接AD′，这样便可说明点D和点D′重合，从而得出点D在CB的延长线上．【解答】解：==；如图，作，连接AD′，则：=；∴D′和D重合；∴点D在CB的延长线上．故选D．7．若函数的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．（0，1] D．（﹣1，0）【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数f（x）的解析式，讨论x≤a和x＞a时，f（x）∈[﹣1，1]，即可求出a的取值范围．【解答】解：函数的值域为[﹣1，1]，当x≤a时，f（x）=cosx∈[﹣1，1]，满足题意；当x＞a时，f（x）=∈[﹣1，1]，应满足0＜≤1，解得x≥1；∴a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．8．如图，在公路MN两侧分别有A1，A2，…，A7七个工厂，各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（）①车站的位置设在C点好于B点；②车站的位置设在B点与C点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A．①B．②C．①③D．②③【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案．【解答】解：因为A、D、E点各有一个工厂相连，B，C，各有两个工厂相连，把工厂看作“人”．可简化为“A，B，C，D，E处分别站着1，2，2，1，1个人（如图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”．把人尽量靠拢，显然把人聚到B、C最合适，靠拢完的结果变成了B=4，C=3，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在C点，且与各段小公路的长度无关故选C．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知复数z=a（1+i）﹣2为纯虚数，则实数a= 2 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数z=a（1+i）﹣2=a﹣2+ai为纯虚数，∴a﹣2=0，a≠0，则实数a=2故答案为：2．10．已知等比数列{a n}中，a2a4=a5，a4=8，则公比q= 2 ，其前4项和S4= 15 ．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2a4=a5，a4=8，可得q2=a2q3，=8，解得a2，q，利用求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a4=a5，a4=8，∴q2=a2q3，=8，解得a2=q=2．∴a1=1．其前4项和S4==15．故答案为：2，15．11．若抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，则实数p= 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线x=﹣经过双曲线的右焦点（﹣2，0），即可求出p．【解答】解：因为抛物线y2=2px的准线经过双曲线的左焦点，∴p＞0，所以抛物线的准线为x=﹣，依题意，直线x=﹣经过双曲线的右焦点（﹣2，0），所以p=4故答案为：4．12．若x，y满足则的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：则的几何意义表示平面区域内的点与点（0，0）的斜率的最大值，由解得A（1，）显然过A时，斜率最大，最大值是，故答案为：．13．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若函数y=f（x+a）（a＞0）的部分图象如图所示，则ω= 2 ，a的最小值是．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先由图象最高点横坐标与零点的距离求函数的周期，从而由周期公式求ω，然后由图象过的已知点求出a．【解答】解：由已知函数图象得到π，所以T=π，所以=2，又y=f（x+a））=sinω（x+a）且（，1）在图象上，所以sin2（+a）=1，所以+2a=2kπ，k∈Z，所以k取0时a的最小值为；故答案为：2；．14．阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日CCTV13播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“…加入此次亚航失联航班QZ8501被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为①，你的理由是数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．【考点】收集数据的方法．【分析】根据题意，利用数据的收集，分类，归纳，分析可得结论【解答】解：选①，理由为：数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．故答案为：①；数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知等差数列{a n}满足a1+a2=6，a2+a3=10．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n+a n+1}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出．（II）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，因为a1+a2=6，a2+a3=10，所以a3﹣a1=4，所以2d=4，d=2．又a1+a1+d=6，所以a1=2，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n．（Ⅱ）记b n=a n+a n+1，所以b n=2n+2（n+1）=4n+2，又b n+1﹣b n=4（n+1）+2﹣4n﹣2=4，所以{b n}是首项为6，公差为4的等差数列，其前n项和．16．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地有a，b两种“共享单车”（以下简称a型车，b型车）．某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a型车，3人租到b型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a型车．，b两种车型的用户比例为1：1，根据表格提供的信息，估计4月该地区租用两种车型的用户比例．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）依题意租到a型车的4人为A1，A2，A3，A4；租到b型车的3人为B1，B2，B3；设事件A为“7人中抽到2人，至少有一人租到a型车”，则事件为“7人中抽到2人都租到b型车”．利用列举法能求出抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a型车的概率．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%，租用b 型车的比例为50%40%+50%50%=45%，由此能同市场4月租用a，b型车的用户比例．【解答】解：（Ⅰ）依题意租到a型车的4人为A1，A2，A3，A4；租到b型车的3人为B1，B2，B3；设事件A为“7人中抽到2人，至少有一人租到a型车”，则事件为“7人中抽到2人都租到b型车”．如下列表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件发生共有3种情况，所以事件A概率．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a型车的比例为50%60%+50%50%=55%，租用b型车的比例为50%40%+50%50%=45%，所以市场4月租用a，b型车的用户比例为．17．在△ABC中，A=2B．（Ⅰ）求证：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，求B的值．【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，得，即可证明：a=2bcosB；（Ⅱ）若b=2，c=4，利用余弦定理，即可求B的值．【解答】（Ⅰ）证明：因为A=2B，所以由正弦定理，得，得，所以a=2bcosB．（Ⅱ）解：由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccosA，因为b=2，c=4，A=2B，所以16cos2B=4+16﹣16cos2B，所以，因为A+B=2B+B＜π，所以，所以，所以．18．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面FAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EAD的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD⊥平面FAC．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，推导出OF∥PB，由此能证明PB∥平面FAC．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA为棱锥P﹣ABD的高．由S△PAE=S△ABE，知，由此能求出结果．（Ⅲ）推导出AD⊥PB，AE⊥PB，从而PB⊥平面EAD，进而OF⊥平面EAD，由此能证明平面EAD⊥平面FAC．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，在△PBD中，O，F分别是BD，PD的中点，所以OF∥PB，又因为OF⊂平面FAC，PB⊄平面FAC，所以PB∥平面FAC．解：（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA为棱锥P﹣ABD的高．因为PA=AB=2，底面ABCD是正方形，所以=，因为E为PB中点，所以S△PAE=S△ABE，所以．证明：（Ⅲ）因为AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB，在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，又AE∩AD=A，AE⊂平面EAD，AD⊂平面EAD，所以PB⊥平面EAD，又OF∥PB，所以OF⊥平面EAD，又OF⊂平面FAC，所以平面EAD⊥平面FAC．19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|=4，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点Q（4，0），若点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M．判断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又，b2=a2﹣c2，联立解出即可得出．（Ⅱ）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．由题意知，显然AM，PQ不平行，可得AP∥MQ，，．设点M（x1，y1），P（4，t），过点M作MH⊥AB于H，可得，解得x1，代入椭圆方程，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由|AB|=4，得a=2．又因为，所以c=1，所以b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形．由题意知，显然AM，PQ不平行，所以AP∥MQ，所以，所以．设点M（x1，y1），P（4，t），过点M作MH⊥AB于H，则有，所以|BH|=1，所以H（1，0），所以x1=1，代入椭圆方程，求得，所以P（4，±3）．20．已知函数f（x）=e x﹣x2+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=e x﹣2x﹣1，求函数g（x）的最小值；（Ⅲ）求证：存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a的方程，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出g（x）的导数，可得单调区间和极值，且为最值；（Ⅲ）显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，运用零点存在定理可得g（x）的零点范围，可设g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x0．讨论x＜0时，0＜x＜x0时，x＞x0时，g（x）的符号，可得f（x）的极值，进而得到f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=e x﹣x2+ax的导数为：f′（x）=e x﹣2x+a，由已知可得f′（0）=0，所以1+a=0，得a=﹣1．（Ⅱ）g'（x）=e x﹣2，令g'（x）=0，得x=ln2，所以x，g'（x），g（x）的变化情况如表所示：．（Ⅲ）证明：显然g（x）=f'（x），且g（0）=0，由（Ⅱ）知，g（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．又g（ln2）＜0，g（2）=e2﹣5＞0，由零点存在性定理，存在唯一实数x0∈（ln2，2），满足g（x0）=0，即，，综上，g（x）=f'（x）存在两个零点，分别为0，x0．所以x＜0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；0＜x＜x0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；x＞x0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以f（0）是极大值，f（x0）是极小值，，因为g（1）=e﹣3＜0，，所以，所以f（x0）＞0，因此x≥0时，f（x）＞0．因为f（0）=1且f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，所以一定存在c＜0满足f（c）＞0，所以存在c＜0，当x＞c时，f（x）＞0．。
北京市海淀区2019-2020学年高三3月适应性考试(零模)文科综合试题 PDF原卷
图1
B．日出方向为东北方
D．昼夜长短差异增大
时海平面气压分布图（单位：百帕），图2（b）显示④地24小时内风的
图2
图3
③提高光照利用率 ④减少杂草生长
D．①④
C．产品品质高 D．运输条件好
B．安装遮阳装置，减少夏季暴晒
D．改进通风条件，降低冬季气温
日杭黄高铁正式通车。
它始于浙江省杭州市，途经富春江、千岛湖，最终到
小时。
因其串起了沿线名城、名江、名湖、级风景保护区，被誉为“最美高铁路线”。
据此，回答第9—
B．缩短沿线旅游景点之间的空间距离
图5
日创刊《救国时报》，先后在法国巴黎和美
月正式停刊。
以下内容可能登载在这报纸上的有
《日寇攻宁大肆残暴》
《和平建国纲领》
“中共中央、国务院决定，要加快上海浦东地区的开发，在浦东实行经济技术开发区
图6
D．③④
”传承优秀家风，关系着个人成长、家庭和睦，更关系着社会进步、国家治理。
聆听优秀家风故事，感受优秀家风文化，主要目的在于
图7 D．③④
3.4亿人口，在国
阅读上述材料，围绕“人生”这一主题，自选角度，自拟题目，写一篇要求：运用思想政治学科任一
设计意图：安徽“福”主体是徽派建筑。
徽派建筑本身具有很高的建筑智慧和艺术价值，充分体现出中国传统文化内涵。
设计意图：长春“福”结合了第一汽车制造厂、长春电影厂以及高铁列车元素，意味着科技发展让长春越来越好。
（4） 北京“福”该是什么样？提出你的设计方案，并结合思想政治学科知识简要说明设计意图。
（6分）。
2019届高三数学文科一模试题
.精选文档 .2019 届高三数学文科一模试题2019 北京旭日高三一模数学（）第一部分（选择题共 40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项1.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B.第二象限.第三象限 D.第四象限【答案】 D【分析】【剖析】由题意可得：，据此确立复数所在的象限即可.【详解】由题意可得：，则复数 z 对应的点为，位于第四象限.此题选择 D 选项 .【点睛】此题主要考察复数的运算法例，各个象限内复数的特点等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.2.设实数知足不等式组，则的最大值是（）【答案】 B【分析】【剖析】第一绘制出不等式组表示的平面地区，而后联合目标函数的几何意义确立目标函数获得最值的点的地点，最后求解目标函数的最值即可 .【详解】绘制不等式组表示的平面地区以下图，目标函数即：，此中 z 获得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此联合目标函数的几何意义可知目标函数在点 B 处获得最大值，联立直线方程：，可得点的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.此题选择 B 选项 .【点睛】求线性目标函数 z＝ ax＋ by(ab ≠0) 的最值，当b ＞ 0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最大，在 y 轴截距最小时， z 值最小；当 b＜ 0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，在 y 轴上截距最小时， z值最大 .3.已知会合，且，则会合能够是（）A.B..D.【答案】 A【分析】【剖析】由可知，，据此逐个考察所给的会合能否知足题意即可.【详解】由可知，，对于 A：＝，切合题意 .对于 B：＝，没有元素1，因此不包括A；对于：＝，不合题意；D明显不合题意，此题选择 A 选项 .【点睛】此题主要考察会合的表示方法，会合之间的关系等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.4.已知中，，三角形的面积为，且，则（）A. B.3. D.-【答案】 B【分析】【剖析】由三角形面积公式可得＝ 4，据此联合余弦定理和已知条件求解的值即可.【详解】依题意可得：，因此＝4，由余弦定理，得：，即：，据此可得：.联合可得 3.此题选择 B 选项 .【点睛】此题主要考察余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.5.已知 , 给出以下条件：① ；② ；③ ，则使得成立的充足而不用要条件是（）A. ①B.②.③D.①②③【答案】【分析】【剖析】由题意逐个考察所给的三个条件是不是成立的充足而不用要条件即可 .【详解】由① ，得：，不必定有成立，不符；对于②，当时，有，但不可立，因此不符；对于③，由，知≠ 0，因此，有成立，当成即刻，不必定有，由于能够为 0，切合题意；此题选择选项 .【点睛】此题主要考察不等式的性质及其应用，充足条件和必需条件的判断等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .6.某三棱锥的三视图以下图（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（）A.B..D.【答案】 D【分析】【剖析】第一由三视图复原几何体，而后由几何体的空间构造特征采解三棱锥的体积即可.2 的正方体中，其对【详解】由三视图可知，在棱长为应的几何体为棱锥，该棱锥的体积：.此题选择 D 选项 .【点睛】 (1) 求解以三视图为载体的空间几何体的体积的重点是由三视图确立直观图的形状以及直观图中线面的地点关系和数目关系，利用相应体积公式求解； (2) 若所给几何体的体积不可以直接利用公式得出，则常用等积法、切割法、补形法等方法进行求解．7.已知圆 , 直线 , 若直线上存在点，过点引圆的两条切线 , 使得 , 则实数的取值范围是（）A. B.[,].D.）【答案】 D【分析】【剖析】由题意联合几何性质可知点P 的轨迹方程为，则原问题转变为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解对于k的不等式即可求得实数k 的取值范围 .【详解】圆（ 2,0 ），半径 r ＝，设 P（x， y ），由于两切线，以以下图， PA⊥ PB，由切线性质定理，知：PA⊥A，PB⊥B， PA＝ PB，因此，四边形PAB 为正方形，因此，｜ P｜＝ 2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只需直线与 P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.此题选择 D 选项 .【点睛】此题主要考察直线与圆的地点关系，轨迹方程的求解与应用，等价转变的数学思想等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .8.某单位周一、周二、周三开车上班的员工人数分别是14， 10，8．若这三天中起码有一天开车上班的员工人数是20，则这三天都开车上班的员工人数至多是（）【答案】 B【分析】【剖析】将原问题转变为Venn 的问题，而后联合题意确立这三天都开车上班的员工人数至多几人即可.【详解】以下图，（ a+b++x）表示周一开车上班的人数，（ b+d+e+x）表示周二开车上班人数，（ +e+f+x ）表示周三开车上班人数， x 表示三天都开车上班的人数，则有：，即，即，当 b==e＝ 0 时， x 的最大值为6，即三天都开车上班的员工人数至多是 6.【点睛】此题主要考察Venn 图的应用，数形联合的数学思想等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共30 分. 把答案填在答题卡上9. 已知平面向量, 若 , 则 ________.【答案】【分析】【剖析】由向量垂直的充足必需条件可得：，据此确立x 的值即可 .【详解】由向量垂直的充足必需条件可得：，解得： .故答案为：．【点睛】此题主要考察向量平行的充足必需条件及其应用，属于基础题.10. 履行以下图的程序框图，输出的值为__________.【答案】【分析】【剖析】，由题意可知，流程图对应的程序第一初始化数据：而后履行循环体 2 次获得输出值，据此计算输出值即可.【详解】由题意可知，流程图对应的程序运转过程以下：第一初始化数据：，此时知足，履行，此时知足，履行，此时不知足，输出 .故答案为：．【点睛】辨别、运转程序框图和完美程序框图的思路：(1)要明确程序框图的次序构造、条件构造和循环构造．(2)要辨别、运转程序框图，理解框图所解决的实质问题．(3)依据题目的要求达成解答并考证．11.双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是 _____．【答案】 1【分析】【剖析】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，联合点到直线距离公式求解距离即可 .【详解】由题意可知，双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为：，即，则焦点到渐近线的距离为：.故答案为：．【点睛】此题主要考察双曲线渐近线方程的求解，点到直线距离公式的应用等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .12.能说明“函数的图象在区间上是一条连续不停的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________．【答案】【分析】【剖析】由题意给出一个知足题意的函数分析式，而后绘制函数图像说明命题为假命题即可.【详解】考察函数，绘制函数图像以下图，该函数的图像在区间上是一条连续不停的曲线，, 但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题.【点睛】此题主要考察函数零点存在定理应用的条件，注意全部的条件都知足时才能利用函数零点存在定理，不然可能会出现错误.13.天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“ 祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图 1 所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外头以扇面形石（如图2 所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，基层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9 块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛全部的扇面形石块数是 _______．【答案】 (1). (2).【分析】【剖析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9 为首项， 9 为公差的等差数列，据此确立第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛全部的扇面形石块数即可.【详解】第一环的扇面形石有9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9 块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9 为首项，9 为公差的等差数列，因此， an＝ 9＋（ n－1）× 9＝ 9n，因此， a27＝9× 27＝ 243，前 27 项和为：＝ 3402.【点睛】此题主要考察等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和及其应用等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .14.若不等式 ( 且且 ) 在区间内有解，则实数的取值范围是 ________.【答案】【分析】【剖析】原问题即在区间内有解，分别画出的图象，分类议论＞1 和 0＜＜ 1 两种状况确立实数的取值范围即可 .【详解】，即，在区间内有解，分别画出的图象 .（1）当＞ 1 时，由图可知，当 x＝ 2 时，，即时，，在区间内有解，因此， .（1）当 0＜＜ 1 时，由以下图可知，，在区间内有解，因此， .因此，则实数的取值范围是.【点睛】此题主要考察对数的运算法例，分类议论的数学思想，数形联合的数学思想及其应用等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.三、解答题共 6 小题，共80 分，解答应写出字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数 .（1）求的值及的最小正周期；（2）若函数在区间上单一递加，务实数的最大值 .【答案】（ 1）1；；（2） .【分析】【剖析】（1）由函数的分析式求解的值即可，整理函数的分析式为的形式，而后由最小正周期公式确立函数的最小正周期即可；（2 ）由 (1) 中函数的分析式可知函数的单一增区间为，．据此联合题意可得实数的最大值 .【详解】（ 1）由已知 .由于，因此函数的最小正周期为．（2）由得，.因此，函数的单一增区间为，．当时 , 函数的单一增区间为，若函数在区间上单一递加，则，因此实数的最大值为.【点睛】此题主要考察协助角公式的应用，三角函数的单一性及其应用等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .16.在等比数列中， .（1）求数列的通项公式；（2）设 , 数列的前项和为，若，求的最小值 .【答案】（ 1）；（ 2）5.【分析】【剖析】（1）由题意可得数列的公比，联合首项确立数列的通项公式即可 .（2）由题意可得，分组乞降可得，据此确立的最小值即可 .【详解】（1）由数列为等比数列，且,，得，解得.则数列的通项公式, .（2）.当时，，，因此；当时，；当时，；当时，；当时，.因此，的最小值为.【点睛】此题主要考察等比数列基本量的计算，等比数列的通项公式，分组乞降的方法等知识，意在考察学生的转化能力和计算求解能力.17.某部门在同一上班顶峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了 50 名乘客，统计其搭车等候时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，搭车等候时间不超出40 分钟） . 将统计数据按，，，分组，制成频次散布直方图：（1）求的值；（2）记表示事件“在上班顶峰时段某乘客在甲站搭车等候时间少于 20 分钟”，试预计的概率；（3）假定同组中的每个数据用该组区间左端点值预计，记在上班顶峰时段甲、乙两站各抽取的50 名乘客搭车的平均等候时间分别为, , 求的值，并直接写出与的大小关系.【答案】（ 1）；（ 2）；（ 3） .【分析】【剖析】（1）利用频次散布直方图小长方形面积之和为 1 确立 a 的值即可；（2）由题意，利用频次近似概率值，计算事件 A 的概率即可；（3）联合直方图中的数据第一求得的值，而后比较与的大小关系即可 .【详解】（ 1）由于，因此 .（2）由题意知，该乘客在甲站均匀等候时间少于 20 分钟的频次为：，故的预计值为（3） .由直方图知：.【点睛】利用频次散布直方图求众数、中位数和均匀数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左侧和右侧的小长方形的面积和是相等的；③均匀数是频次散布直方图的“重心” ，等于频次散布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和 .18.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且 .（1）求证：；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）求多面体的体积 .【答案】（ 1）证明看法析；（ 2）证明看法析；（ 3） .【分析】【剖析】（1）由题意联合几何关系可证得平面，由线面垂直的定义即可证得．（2）延伸交于点，由题意可证得四边形为平行四边形，据此联合线面平行的判断定理证明题中的结论即可；（3）设为中点，连结，．将多面体切割为两部分，分别求解对应的体积，而后相加即可确立多面体的体积 .【详解】（ 1）证明：由于四边形为正方形，因此．又由于平面平面，且平面平面，平面，因此平面．又平面，因此．（2）延伸交于点，由于，为中点，因此≌，因此．由于，因此．由已知，且,又由于，因此，且，因此四边形为平行四边形，因此．由于平面，平面，因此平面．（3）设为中点，连结，．由已知，因此平面．又由于，因此平面，因此平面平面．由于，，因此平面，因此多面体为直三棱柱．由于，且，因此．由已知，且，因此，且．又由于，平面，因此平面．由于，因此，因此．【点睛】此题主要考察线面垂直证明线线垂直的方法，线面平行的判断定理，组合体体积的求解方法等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .19.已知函数 .（1）求函数的单一区间；（2）当时，求证：曲线在抛物线的上方 .【答案】（ 1）答案看法析；（ 2）证明看法析 .【分析】【剖析】（1）由题意可得 . 且函数的定义域 . 据此分类议论确立函数的单一区间即可；（2）原问题等价于 . 设 . 利用导函数研究函数的最值，证明结论即可证得题中的结论 .【详解】（ 1）求导得 . 定义域 .当时，,函数在上为减函数.当时，令得,为增函数；令得,为减函数.因此时，函数减区间是.当时，函数增区间是；减区间是.（2）依题意，只需证. 设 .则，设.由于，因此在上单一递加.又由于，因此在内有独一解，记为即.当时，，单一递减；当时，，单一递加；因此 .设，.则.因此.因此，即曲线在抛物线上方.【点睛】此题主要考察导数研究函数的单一性，导数证明不等式的方法，分类议论的数学思想等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力.20.已知点为椭圆上随意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．(1)求椭圆的离心率及左焦点的坐标；(2)求证：直线与椭圆相切；(3)判断能否为定值，并说明原因．【答案】（ 1）；（ 2）证明看法析；（ 3）答案看法析 .【分析】【剖析】（1）由题意可得，，据此确立离心率即可；（2）由题意可得 . 分类议论和两种状况证明直线与椭圆相切即可；（3）设，，当时，易得．当时，联立直线方程与椭圆方程可得，联合韦达定理和平面向量的数目积运算法例计算可得．据此即可证得为定值．【详解】（ 1）由题意，，因此离心率，左焦点．（2）由题知，，即 .当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，即因此故直线与椭圆相切．（3）设，，当时，，，，，因此，即．当时，由得，则，，．由于．因此，即．故为定值．【点睛】 (1) 解答直线与椭圆的题目时，经常把两个曲线的方程联立，消去 x( 或 y) 成立一元二次方程，而后借助根与系数的关系，并联合题设条件成立相关参变量的等量关系．(2)波及到直线方程的想法时，务必考虑全面，不要忽视直线斜率为 0 或不存在等特别情况．。
2019年北京市高考数学模拟考试文科试卷及解析-精品
１６．已知函数f(x)＝x２＋２ax,g(x)＝４a２lnx＋b,设两曲线y＝f(x),y＝g(x)有 公 共 点 P,
且在 P 点处的切线相同,当a∈(０,＋∞)时,实数b 的最大值是 ．
三 、解 答 题 :本 大 题 共 ６ 小 题 ,共 ７０ 分 ．解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ．
y＝１ ７×(３．４＋３．８＋４．１＋４．９＋５．３＋５．７＋６．４)＝４．８ …………………………… ２分
７
∑(ti －t)２ ＝９＋４＋１＋０＋１＋４＋９＝２８ …………………………………… ３分
i＝１ ７
∑(ti －t)(yi －y)
i＝１
＝ (－３)× (－１．４)＋ (－２)× (－１)＋ (－１)× (－０．７)＋０×０．１＋１×０．５＋２×０．９
年 份 代 号t
１
２
３
４
５
６
７
户均家庭教育投入y ３．４ ３．８ ４．１ ４．９ ５．３ ５．７ ６．４
(１)求y 关于t 的线性回归方程; (２)利用(１)中的 回 归 方 程,分 析 ２０１２ 年 至 ２０１８ 年 该 地 区 户 均 家 庭 教 育 投 入 的 变 化 情
况 ,并 预 测 ２０１９ 年 该 地 区 户 均 家 庭 教 育 投 入 是 多 少 ．
(１)求椭圆 T 的标准方程;
(２)已知直线l１:y＝kx＋m,直线l２:y＝２(kx＋m)(０＜m＜１)．设l１ 与椭圆 T 交于 M 、N
两 点 ,l２
与圆 C:x２＋y２＝a２
交于
P、Q
两 点 ,求S△MON S△POQ
的值．
２１．(本 小 题 满 分 １２ 分 )已 知 函 数 f(x)＝e２x－３ － (２x－３)２．
2019 年北京市海淀区高考数学一模试卷及答案(文科)
2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项．1．（5分）已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M⊆P，则M可以是（）A．{0，1}B．{1，3}C．{﹣1，1}D．{0，5}2．（5分）若x0是函数的零点，则（）A．﹣1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜4 3．（5分）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A．B．C．sin（π+α）D．cos（π+α）4．（5分）已知a＜b，则下列结论中正确的是（）A．∀c＜0，a＞b+c B．∀c＜0，a＜b+c C．∃c＞0，a＞b+c D．∃c＞0，a＜b+c 5．（5分）抛物线W：y2＝4x的焦点为F，点A在抛物线上，且点A到直线x＝﹣3的距离是线段AF长度的2倍，则线段AF的长度为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中a+b＝1，且a＞b．若四个侧面的面积中最小的为，则a的值为（）A．B．C．D．7．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，且a1＞1，则“a n＞1对任意n∈N*”成立”是“q ≥1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级．该校周一上午选科走班的课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法的种数为（）第一节第二节第三节第四节地理1班化学A层3班地理2班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．4B．5C．6D．7二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知i是虚数单位，若（1﹣i）（a+i）＝2，a∈R，则a＝．10．（5分）在△ABC中，，则c＝，S△ABC＝．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的T值为．12．（5分）已知向量＝（1，﹣2），同时满足条件①∥，②的一个向量的坐标为．13．（5分）已知椭圆和双曲线．经过C1的左顶点A和上顶点B的直线与C2的渐近线在第一象限的交点为P，且|AB|＝|BP|，则椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝．14．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点A（0，﹣1）距离的最小值为d（k），则（I）当k＝1时，d（1）＝；（Ⅱ）若d（k）≥2，则k的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d＝2，且a2+a5＝2，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S m，a9，a15成等比数列，求m的值．16．（13分）已知函数的图象经过点（O，l），部分图象如图所示．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求图中x0的值，并直接写出函数f（x）的单调递增区间．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D，E，F分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEF；（Ⅱ）求证：平面ACB1⊥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ACB1的体积．18．（13分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷按造林方式分地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南149002976471342922111715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a＝6时，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＜0时，函数f（x）既有极大值又有极小值．20．（14分）已知椭圆的左顶点为A（﹣2，0），两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点P（1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．（Ⅰ）求椭圆P的方程；（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题国要求的一项．1．（5分）已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M⊆P，则M可以是（）A．{0，1}B．{1，3}C．{﹣1，1}D．{0，5}【分析】根据集合子集的定义进行判断即可．【解答】解：A.0∈M，1∈M，则M⊆P成立，B.3∉M，则M⊆P不成立，C．﹣1∉M，则M⊆P不成立，D.5∉M，则M⊆P不成立，故选：A．【点评】本题主要考查集合关系的判断，根据元素关系结合集合子集的子集的定义进行判断是解决本题的关键．2．（5分）若x0是函数的零点，则（）A．﹣1＜x0＜0B．0＜x0＜1C．1＜x0＜2D．2＜x0＜4【分析】利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可．【解答】解：x0是函数的零点，函数在x＞0时，是增函数，可得：f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝1﹣0，所以f（1）f（2）＜0，函数的零点在：（1，2）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．3．（5分）若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（）A．B．C．sin（π+α）D．cos（π+α）【分析】由角α的终边在第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，利用诱导公式化简各个选项即可得解．【解答】解：角α的终边在第二象限，则sinα＞0，cosα＜0，对于A，＝cosα＜0，错误；对于B，cos（）＝﹣sinα＜0，错误；对于C，sin（π+α）＝﹣﹣sinα＜0，错误；对于D，cos（π+α）＝﹣cosα＞0，正确；故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式的简单应用，属于基础题．4．（5分）已知a＜b，则下列结论中正确的是（）A．∀c＜0，a＞b+c B．∀c＜0，a＜b+c C．∃c＞0，a＞b+c D．∃c＞0，a＜b+c 【分析】根据不等式的关系，结合特称命题和全称命题的性质分别进行判断即可．【解答】解：A若a＝1，b＝2，c＝﹣1，满足a＜b，但a＞b+c不成立；B，若a＝9.5，b＝10，c＝﹣1，a＜b+c不成立；C，因加a＜b，c＞0，所以，a＜b+c恒成立，故C错误，D．∃c＞0，a＜b+c成立，故选：D．【点评】本题主要考查特称命题和特称命题的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．5．（5分）抛物线W：y2＝4x的焦点为F，点A在抛物线上，且点A到直线x＝﹣3的距离是线段AF长度的2倍，则线段AF的长度为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意画出图形，设A（x0，y0），则点A到直线x＝﹣3的距离是x0+3，|AF|＝x0+1，由题意可得：x0+3＝2（x0+1），求得x0，再由抛物线焦半径公式求解．【解答】解：如图，由抛物线方程y2＝4x，得焦点坐标为F（1，0），直线方程为x＝﹣1，设A（x0，y0），则点A到直线x＝﹣3的距离是x0+3，|AF|＝x0+1，由题意可得：x0+3＝2（x0+1），得x0＝1．∴线段AF的长度为x0+1＝1+1＝2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中a+b＝1，且a＞b．若四个侧面的面积中最小的为，则a的值为（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解侧面积，转化求解a即可．【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，P﹣ABCD，侧面积S P AB＝，，S PCD＝，S PCD＝，四个侧面的面积中最小的为，可得，a+b＝1，且a＞b，解得a＝，故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的侧面积，判断几何体的形状是解题的关键．7．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，且a1＞1，则“a n＞1对任意n∈N*”成立”是“q ≥1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在等比数列中，若a n＞1，即a n＝a1q n﹣1＞1，当q＝1时，满足条件，当q≠1时，当n﹣1＞0恒成立，则q＞1，综上q≥1成立，反之当q≥1是，则a n＝a1q n﹣1＞1成立，即“a n＞1对任意n∈N*”成立”是“q≥1”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式是解决本题的关键．8．（5分）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理、生物、政治这三科，且生物在B层班级．该校周一上午选科走班的课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法的种数为（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据分类计数原理即可求出．【解答】解：由于生物在B层，只有第2，3节有，故分2两类，若生物选第2节，地理有2种选法，其他任意选即可，故有2A22＝4种，若生物选第3节，则地理只能选第一节，政治只能选第4节，自习选在第二节，故有1种，根据分类计数原理可得4+1＝5种，故选：B．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知i是虚数单位，若（1﹣i）（a+i）＝2，a∈R，则a＝1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，复数相等的条件列式求解a值．【解答】解：∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i＝2，∴，即a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．10．（5分）在△ABC中，，则c＝6，S△ABC＝．【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝42+52﹣2×4×5×＝36，解得：c＝6，∴sin C＝＝，∴S△ABC＝ab sin C＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的T值为48．【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：T＝2，x＝2+2＝4，T＞40否，T＝2×4＝8，x＝4+2＝6，T＞40否，T＝6×8＝48，x＝6+2＝8，T＞40是，故输出T＝48，故答案为：48【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．12．（5分）已知向量＝（1，﹣2），同时满足条件①∥，②的一个向量的坐标为（﹣1，2）（答案不唯一）．【分析】利用向量共线列出方程，利用向量的模转化求解x的值，推出结果．【解答】解：设＝（x，y），由可得：y＝﹣2x，＝（1+x，﹣2+y），由，可得＜，把y＝﹣2x代入，可得（x+1）2+（﹣2x﹣2）2＜5，化简可得x2+2x＜5，解得：﹣2＜x＜0，取得x＝﹣1，可得y＝2，所以＝（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题考查向量共线以及向量的坐标运算，是基本知识的考查．13．（5分）已知椭圆和双曲线．经过C1的左顶点A和上顶点B的直线与C2的渐近线在第一象限的交点为P，且|AB|＝|BP|，则椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝．【分析】根据椭圆标准方程求出椭圆的离心率，根据条件确定B是AP的中点，求出P 的坐标，代入双曲线求出m的值即可求双曲线的离心率．【解答】解：椭圆中a＝2，b＝1，所以c＝，离心率e1＝，A（﹣2，0），B（0，1），直线AB的方程为：y＝x+1因为|AB|＝|BP|，所以B为AP的中点，设P（x，y），则，解得，即P（2，2），双曲线的渐近方程为y＝x，点P在渐近线上，所以2＝，得m＝1，双曲线中a＝1，b＝1，c＝，即双曲线的离心率e2＝，故答案为：，．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，结合椭圆离心率和双曲线离心率的公式以及双曲线渐近线的性质是解决本题的关键．14．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域为Ω．记区域Ω上的点与点A（0，﹣1）距离的最小值为d（k），则（I）当k＝1时，d（1）＝2；（Ⅱ）若d（k）≥2，则k的取值范围是[0，+∞）．【分析】（I）k＝1时画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，计算目标函数的最小值即可；（Ⅱ）由题意知y＝kx+1是过点（0，1）的直线，结合题意画出图形，利用图形求出k 的取值范围．【解答】解：（I）当k＝1时，约束条件为，画出约束条件表示的平面区域，如图1所示，则区域Ω内的点与点A（0，﹣1）距离的最小值为|AB|＝1﹣（﹣1）＝2；（Ⅱ）由题意知，y＝kx+1是过点（0，1）的直线，由图形知，若d（k）≥2，则k的取值范围是[0，+∞）．故答案为：（Ⅰ）2，（Ⅱ）[0，+∞）．【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的公差d＝2，且a2+a5＝2，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S m，a9，a15成等比数列，求m的值．【分析】（Ⅰ）利用数列的递推关系式，求出公差，然后求解数列通项公式；（Ⅱ）利用S m，a9，a15成等比数列，列出方程，即可求解m的值．【解答】（共13分）解：（I）因为a5+a2＝2，d＝2所以2a1+5d＝2a1+10＝2，所以a1＝﹣4所以a n＝2n﹣6（II）又a9＝12，a15＝24因为S m，a9，a15是等比数列，所以所以m2﹣5m﹣6＝0m＝6，m＝﹣1因为m∈N*，所以m＝6【点评】本题考查的等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．16．（13分）已知函数的图象经过点（O，l），部分图象如图所示．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求图中x0的值，并直接写出函数f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意根据图象经过点（O，l），求得a的值．（Ⅱ）根据五点法作图求出图中x0的值，再根据正弦函数的单调性写出函数f（x）的单调递增区间【解答】解：（Ⅰ）根据函数的图象经过点（O，l），可得，所以，a＝﹣1．（Ⅱ）∵＝（2sin x+2cos x）cos x﹣1＝2sin x cos x+2cos2x ﹣1＝sin2x+cos2x＝，由图象得，所以，，f（x）＝sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调增区间为，k∈Z．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象，正弦函数的单调性，属于中档题．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1＝2，点D，E，F分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEF；（Ⅱ）求证：平面ACB1⊥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ACB1的体积．【分析】（I）根据中位线定理和平行公理可得AB∥DE，故而AB∥平面DEF；（II）证明EF⊥CB1，EF⊥AC得出EF⊥平面AB1C，故而平面ACB1⊥平面DEF；（III）代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：（I）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1∥AB，又因为D，E分别为A1C1，B1C1的中点，所以DE∥A1B1，于是DE∥AB，又AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以AB∥平面DEF．（II）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥平面BCC1B1，又EF⊂平面BCC1B1，∴AC⊥EF，又BC＝CC1＝2，CC1⊥BC，∴侧面BCC1B1为正方形，故BC1⊥CB1，而E，F分别为B1C1，BB1的中点，连结BC1，∴EF‖BC1，∴EF⊥CB1，又AC∩CB1＝C，AC⊂平面ACB1，CB1⊂平面ACB1，∴EF⊥平面ACB1，又EF⊂平面DEF，∴平面ACB1⊥平面DEF．（Ⅲ）S＝＝＝1，∴．【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18．（13分）据《人民网》报道，“美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷按造林方式分地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南149002976471342922111715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（Ⅰ）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（Ⅱ）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．【分析】（Ⅰ）结合表格数据进行判断即可（Ⅱ）根据古典概型的概率公式进行计算即可（Ⅲ）利用列举法结合古典概型的概率公式进行求解即可【解答】解：（Ⅰ）人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省（Ⅱ）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比比不足50%为事件A在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为a1，a2，a3，a4，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北即a1，a2从4个地区中任取2个地区共有6种情况，（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4）则．【点评】本题主要考查概率的计算，结合古典概型的概率公式利用列举法是解决本题的关键．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a＝6时，求函数f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＜0时，函数f（x）既有极大值又有极小值．【分析】（Ⅰ）求a＝6且x＞0时f（x）的导数，利用导数判断f（x）的单调性，从而求得f（x）在（0，+∞）上的单调区间；（Ⅱ）由a＜0时，讨论x＜0和x＞0时，利用导数研究函数f（x）的单调性，从而判断函数f（x）是否存在极大与极小值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝6，且x＞0时，，所以f'（x）＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），令f'（x）＝0，得x＝2，或x＝3；当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，2）2（2，3）3（3，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以f（x）在（0，+∞）上的单调递增区间是（0，2），（3，+∞），单调递减区间是（2，3）；（Ⅱ）当a＜0时，若x＜0，则，所以f'（x）＝x2﹣5x﹣a＝x（x﹣5）﹣a；因为x＜0，a＜0，所以f'（x）＞0；若x＞0，则，所以f'（x）＝x2﹣5x+a；令f'（x）＝0，△＝25﹣4a＞0，所以有两个不相等的实根x1，x2，且x1x2＜0；不妨设x2＞0，所以当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，x2）x2（x2，+∞）f'（x）+无定义﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗因为函数f（x）图象是连续不断的，所以当a＜0时，f（x）即存在极大值又有极小值．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了分类讨论思想与方程根的应用问题，是中档题．20．（14分）已知椭圆的左顶点为A（﹣2，0），两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点P（1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M，N不同的两点．（Ⅰ）求椭圆P的方程；（Ⅱ）当AM与MN垂直时，求AM的长；（Ⅲ）若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q，求证：直线NQ恒过定点．【分析】（Ⅰ）由已知可得a＝2，b＝c，又b2+c2＝a2，求得，即可得所以椭圆方程．（Ⅱ）设M（x m，y m），可得，解得，可得（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意，设直线MN的方程为x＝my+1，由得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，，，求得，，直线NQ的方程为，令y＝0，得＝2，即可．【解答】解：（Ⅰ）因为A（﹣2，0），所以a＝2因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b＝c，又b2+c2＝a2，所以，所以椭圆方程为（Ⅱ）设M（x m，y m），因为AM与MN垂直，所以点M在以AP为直径的圆上，又以AP为直径的圆的圆心为，半径为，方程为，，（舍）所以（Ⅲ）直线NQ恒过定点（2，0）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意，设直线MN的方程为x＝my+1，由得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，显然，△＞0，则，，因为直线PQ与AM平行，所以，则PQ的直线方程为，令，则，即，，直线NQ的方程为，＝令y＝0，得因为2my1y2＝3（y1+y2），故，所以直线NQ恒过定点（2，0）．【点评】本题考查圆锥曲线、圆和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题的关键是直线与椭圆的联立，确定直线NQ的方程．第21页（共21页）。
2019海淀高三一模数学(文科)试题
2019海淀高三一模数学（文科）试题2019.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}2 23x x x ≤-≤<或 B. {}32<<x x C. {}32<≤x x D. R2. 设0.5323, log 2, cos 3a b c π===，则A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a << 3．函数1()x f x x+=图象的对称中心为 A ．(0,0) B.(0,1)C. (1,0)D. (1,1)4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为A. 25 B ．24 C. 23 D ．225.从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为A ． 29 B. 13 C. 49D. 596. 在同一个坐标系中画出函数,sin xy a y ax ==的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是7. 已知函数221, 1,()1, 1,x ax x f x ax x x ⎧++≥⎪=⎨++<⎪⎩ 则“20a -≤≤”是“()f x 在R 上单调递增”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是A ．22(1)1x y -+= B ．．2212x y += C. 2y x = D ．221x y -=非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 计算21i=+__________________.10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3,s 则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为_________.12. 已知函数()x f x xe =，则'()f x =________;函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______ 13. 已知向量(,2),(1,)a x b y ==，其中,0x y ≥.若4≤a b ，则y x -的取值范围为 .PDCBA1A 1D 1B 1C 左视主视乙丙甲14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为________；()f x 的最大值为 ________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知1tan 2B =，1tan 3C =,且1c =. (Ⅰ) 求tan()B C +； (Ⅱ) 求a 的值.16. （本小题共13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ；( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.17. （本小题共13分）如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC 12AD CD AB ==，且O 为AB 中点.( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .CBDBACDOP18. （本小题共14分）已知函数1()ln (0,)f x a x a a x=+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；(II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； (II) 若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值.答案及评分参考 2019．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题 （共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.1i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 1 12. (1)x x e +， y x = 13. [4,2]- 14. (2,4)，三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分）解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=- …………………3分 代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯. …………………6分（II ）因为180A B C =-- …………………7分 所以tan tan[180()]tan()1A B C B C=-+=-+=- …………………9分 又0180A <<，所以135A =. …………………10分 因为1tan 03C =>，且0180C <<，所以sin C =， …………………11分 由sin sin a c A C=，得a =. …………………13分16. （共13分）解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分 即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==⋅, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分 所以12n n a a +-=对*N n ∈成立 ，所以{}n a 是等差数列， …………………4分 所以有212nn a a S n n n +=⋅=+ ，*N n ∈ …………………6分（II ）存在. …………………7分 由（I ），2n a n =，*N n ∈对成立所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分 所以由 112339, b a b a b a ===，，则23123b b b b == …………………11分 所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ，其通项公式为123n n b -=⋅ . ………………13分17. （共13分）证明: (I) 因为O 为AB 中点，所以1,2BO AB =…………………1分 又//,AB CD 12CD AB =， 所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分所以ODCB 为平行四边形,所以//,BC OD …………………3分又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD所以//BC 平面POD . …………………5分 (II)连接OC .因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为 平行四边形， …………………6分 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，所以 AC DO ⊥， …………………7分 因为正三角形PAB ,O 为AB 中点，所以PO AB ⊥ ， …………………8 分又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD平面PAB AB = ，所以PO ⊥平面ABCD ， …………………10分 而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PODO O =，所以AC ⊥平面POD . …………………12分又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . …………………13分B AC DO PBACD O P18. （共14分）解：（I ）因为2211'()a ax f x x x x -=-+=， …………………2分 当1a =， 21'()x f x x-= ，令'()0f x =，得 1x =，…………………3分又()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x '()f x x所以1x =时，()f x 的极小值为1 . …………………5分()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)； …………………6分（II ）解法一：因为2211'()a ax f x x x x -=-+=，且0a ≠， 令'()0f x =，得到1x a= ，若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，其充要条件是()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0即可. …………………7分 （1）当10x a=<，即0a <时，'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立， 所以，()f x 在区间(0,]e 上单调递减，故()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e a e e =+=+， 由10a e +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- …………………9分 （2）当10x a =>，即0a >时，① 若1e a≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减，所以，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>，显然，()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若10e<<，即1a >时，则有所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()lnf a a a a=+， 由11()ln(1ln )0f a a a a a a=+=-<， 得 1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知：1(,)(,)a e e∈-∞-+∞符合题意. …………………14分解法二：若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立， 即001ln 0a x x +<， 因为00x >, 所以，只需001ln 0ax x +< …………………7分 令()1ln g x ax x =+，只要()1ln g x ax x =+在区间(0,]e 上的最小值小于0即可因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+， 令'()(ln 1)0g x a x =+=，得1x e= …………………9分 1因为(0,)x e∈时，()1ln 0g x ax x =+>，而()1ln 1g e ae e ae =+=+， 只要10ae +<，得1ae <-，即1(,)a e∈-∞- …………………11分所以，当 (0,]x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln1a g a e e e e=+⋅=-， 由10ae-<， 得 a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知，有1(,)(,)a e e∈-∞-+∞ . …………………14分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知，222214a b e a -==，所以2234a b =， ① …………………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ， ② …………………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. …………………5分 (Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(34)84120k x kmx m +++-=， …………………6分222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ③…………7分 设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分 由于点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=. ……… 9分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………10分 又点O 到直线l 的距离为：2d===≥=………11分当且仅当0k=时等号成立…………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，从而P点为(2,0),(2,0)-，直线l为1x=±，所以点O到直线l的距离为1 ……13分所以点O到直线l的距离最小值为2……14分20.（共13分）解: (I)因为数列1240,30,k k==320,k=410k=，所以123440,70,90,100b b b b====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g=-=-=-=-. …………………3分(II) 一方面，1(1)()100mg m g m b++-=-，根据j b的含义知1100mb+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg，①…………………5分当且仅当1100mb+=时取等号.因为123100,,,,a a a a中最大的项为50，所以当50m≥时必有100mb=，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g>>>===即当149m<<时，有()(1)g m g m>+；当49m≥时，有()(1)g m g m=+ .…………………7分（III）设M为{}12100,,,a a a中的最大值.由（II）可以知道，()g m的最小值为()g M. 下面计算()g M的值.123()100Mg M b b b b M=++++-1231(100)(100)(100)(100)Mb b b b-=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]Mk k M k=-+++-数学试卷12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++， ∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-，∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京市高三一模考试数学文试题真题(2019年word版含答案)
2019年北京市海淀区高三一模数学（文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|13A x x =<<，集合{}2|4B x x =>，则集合A B 等于（ ） A ．{}|23x x << B ．{}|1x x > C ．{}|12x x << D ．{}|2x x >2.圆心为(0,1)且与直线2y =相切的圆的方程为（ ）A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++= 3.执行如图所示的程序框图，输出的x 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ）ABC． D ．36.在ABC ∆上，点D 满足2AD AB AC =-，则（ ）A ．点D 不在直线BC 上B ．点D 在BC 的延长线上 C ．点D 在线段BC 上 D ．点D 在CB 的延长线上7.若函数cos ,,()1,x x a f x x a x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 的值域为[]1,1-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞- C ．(0,1] D ．(1,0)-8.如图，在公路MN 两侧分别有1A ，2A ，…，7A 七个工厂，各工厂与公路MN （图中粗线）之间有小公路连接．现在需要在公路MN 上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”．则下面结论中正确的是（ ）①车站的位置设在C 点好于B 点；②车站的位置设在B 点与C 点之间公路上任何一点效果一样；③车站位置的设置与各段小公路的长度无关．A ．①B ．②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知复数(1)2z a i =+-为纯虚数，则实数a = ．10.已知等比数列{}n a 中，245a a a =，48a =，则公比q = ，其前4项和4S = ．11.若抛物线22y px =的准线经过双曲线2213y x -=的左焦点，则实数p = ． 12.若x ，y 满足240,20,1,x y x y x +-=⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x 的最大值是 ． 13.已知函数()sin f x x ω=（0ω>），若函数()y f x a =+（0a >）的部分图象如图所示，则ω= ，a 的最小值是 ．14.阅读下列材料，回答后面问题：在2014年12月30日13CCTV 播出的“新闻直播间”节目中，主持人说：“……加入此次亚航失联航班8501QZ 被证实失事的话，2014年航空事故死亡人数将达到1320人．尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工具．①世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有124万人死于车祸，而即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是1972年，其死亡数字也仅为3346人；②截至2014年9月，每百万架次中有2.1次（指飞机失事），乘坐汽车的百万人中其死亡人数在100人左右．”对上述航空专家给出的①、②两段表述（划线部分），你认为不能够支持“飞机仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知等差数列{}n a 满足126a a +=，2310a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}1n n a a ++的前n 项和.16.某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地有a ，b 两种“共享单车”（以下简称a 型车，b 型车）.某学习小组7名同学调查了该地区共享单车的使用情况．（Ⅰ）某日该学习小组进行一次市场体验，其中4人租到a 型车，3人租到b 型车．如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市场体验过程中租到a 型车的概率；（Ⅱ）根据已公布的2016年该地区全年市场调查报告，小组同学发现3月，4月的用户租车情况城现如表使用规律．例如，第3个月租a 型车的用户中，在第4个月有60%的用户仍租a 型车．若认为2017年该地区租用单车情况与2016年大致相同．已知2017年3月该地区租用a ，b 两种车型的用户比例为1:1，根据表格提供的信息，估计2017年4月该地区租用两种车型的用户比例．17.在ABC ∆中，2A B =.（Ⅰ）求证：2cos a b B =；（Ⅱ）若2b =，4c =，求B 的值.18.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，E ，F 分别是PB ，PD 的中点.（Ⅰ）求证：//PB 平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC ．19.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M .判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.已知函数2()x f x e x ax =-+，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与x 轴平行.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若()21xg x e x =--，求函数()g x 的最小值；（Ⅲ）求证：存在0c <，当x c >时，()0f x > ．高三年级第二学期期中练习数学（文科）答案一、选择题1-5:ACCCB 6-8:DAC二、填空题 9.2 10.2,15 11.4 12.32 13.2，12π 14.选①，数据①虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系；选②，数据②两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；不选②，数据②两个数据虽表面不是同一类数据，但是可以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为x ，这样每百万人乘机死亡人数2.1人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数．三、解答题15.解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，因为126a a +=，2310a a +=，所以314a a -=，所以24d =，2d =．又116a a d ++=，所以12a =，所以1(1)2n a a n d n =+-=．（Ⅱ）记1n n n b a a +=+，所以22(1)42n b n n n =++=+，又14(1)2424n n b b n n +-=++--=，所以{}n b 是首项为6，公差为4的等差数列，其前n 项和21()(642)2422n n n b b n n S n n +++===+． 16.解：（Ⅰ）依题意租到a 型车的4人为1A ，2A ，3A ，4A ；租到b 型车的3人为1B ，2B ，3B ； 设事件A 为“7人中抽到2人，至少有一人租到a 型车”， 则事件A 为“7人中抽到2人都租到b 型车”．如表格所示：从7人中抽出2人共有21种情况，事件A 发生共有3种情况， 所以事件A 概率36()1()1217P A P A =-=-=．（Ⅱ）依题意，市场4月份租用a 型车的比例为50%60%50%50%55%+=， 租用b 型车的比例为50%40%50%50%45%+=，所以市场4月租用a ，b 型车的用户比例为55%1145%9=． 17.解：（Ⅰ）因为2A B =， 所以由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a a A B=， 得2sin cos sin a b B B B =，所以2cos a b B =． （Ⅱ）由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，因为2b =，4c =，2A B =，所以216cos 41616cos 2B B =+-， 所以23cos 4B =， 因为2A B B B π+=+<，所以3B π<，所以cos B =，所以6B π=．18.（Ⅰ）证明：连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ，在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 的中点，所以//OF PB ，又因为OF ⊂平面FAC ，PB ⊄平面FAC ，所以//PB 平面FAC ．（Ⅱ）解：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高． 因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形， 所以13P ABD ABD V S PA -∆=⨯⨯114222323=⨯⨯⨯⨯=， 因为E 为PB 中点，所以PAE ABE S S ∆∆=， 所以1223P EAD P ABD V V --=⨯=． （Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥，又AE AD A =，AE ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ，又//OF PB ，所以OF ⊥平面EAD ，又OF ⊂平面FAC ，所以平面EAD ⊥平面FAC ．19.解：（Ⅰ）由||4AB =，得2a =.又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形.由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以//AP MQ ， 所以||||||||BQ BM AB BP =，所以||1||2BM BP =． 设点11(,)M x y ，(4,)P t ，过点M 作MH AB ⊥于H ，则有||||1||||2BH BM BQ BP ==， 所以||1BH =，所以(1,0)H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±， 所以(4,3)P ±．20.解：（Ⅰ）'()2x f x e x a =-+，由已知可得'(0)0f =，所以10a +=，得1a =-．（Ⅱ）'()2x g x e =-，令'()0g x =，得ln 2x =，所以x ，'()g x ，()g x 的变化情况如表所示：所以()g x 的最小值为ln 2(ln 2)2ln 2112ln 2g e =--=-． （Ⅲ）证明：显然()'()g x f x =，且(0)0g =，由（Ⅱ）知，()g x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增． 又(ln 2)0g <，2(2)50g e =->，由零点存在性定理，存在唯一实数0(ln 2,)x ∈+∞，满足0()0g x =， 即00210x e x --=，0021x e x =+，综上，()'()g x f x =存在两个零点，分别为0，0x ．所以0x <时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在(,0)-∞上单调递增； 00x x <<时，()0g x <，即'()0f x <，()f x 在0(0,)x 上单调递减； 0x x >时，()0g x >，即'()0f x >，()f x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以(0)f 是极大值，0()f x 是极小值，0222200000000015()211()24x f x e x x x x x x x x =--=+--=-++=--+， 因为(1)30g e =-<，323()402g e =->， 所以03(1,)2x ∈，所以0()0f x >，因此0x ≥时，()0f x >．因为(0)1f =且()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以一定存在0c <满足()0f c >，所以存在0c <，当x c >时，()0f x >.。
【精选五套高考模拟卷】2019年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣2≤x＜1}2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣33．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）A．B．3 C．D．45．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．27．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若）C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为______．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1=______．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为______，C的方程为______．12．在2这三个数中，最小的数是______．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为______．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2019？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．2019年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x∈z|﹣2≤x＜3}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|﹣2≤x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x∈Z|﹣2≤x＜3}={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2≤x＜1}，∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，故选：A．2．已知向量，若，则t=（）A．1 B．3 C．±3 D．﹣3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量共线可得t的方程，解方程可得．【解答】解：∵向量，且，∴1×9﹣t2=0，解得t=±3故选：C3．某程序的框图如图所示，若输入的z=i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入z=i，可得：进入循环的条件为n≤5，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟执行程序，可得z=i，n=1不满足条件n＞5，S=i1，n=2不满足条件n＞5，S=i2，n=3不满足条件n＞5，S=i3，n=4不满足条件n＞5，S=i4，n=5不满足条件n＞5，S=i5，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出S=i5=i．故选：D．4．若x，y 满足，则z=x+y的最大值为（）A．B．3 C．D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+y得y=﹣x+y，平移y=﹣x+y，由图象知当直线y=﹣x+y经过点A直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，3），则z=+3=，故选：C．5．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图之间的关系求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，底面是一个三角形：即俯视图：底是2、高是侧视图的底边，三棱锥的高是侧视图和正视图的高1，∴几何体的体积V==，故选：A．6．已知点P（x0，y0）在抛物线W：y2=4x上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则x0的值为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，即可得到x0=1．【解答】解：抛物线W：y2=4x的焦点为（1，0），准线方程为x=﹣1，由抛物线的定义可得点P到W的准线的距离即为P到W的焦点F的距离，由题意可得|PF|=|y0|，则PF⊥x轴，可得x0=1，故选：B．7．已知函数f（x）=，则“α=”是“函数f（x）是偶函数“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，化简解出即可判断出结论．【解答】解：函数f（x）是偶函数，则sin（x+α）=cos（﹣x+α），可得sin（x+α）=，∴x+α+2kπ=+x﹣α，或π﹣（x+α）+2kπ=+x﹣α，解得，（k∈Z）．∴α=”是“函数f（x）是偶函数”的充分不必要条件．故选：A．8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（）C．丙可以不承担第三项工作D．获得的效益值总和为78【考点】进行简单的合情推理．【分析】由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得，再分类讨论，得出乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，即可得出结论．【解答】解：由表知道，五项工作后获得的效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得．要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作，丙只能承担第三项工作，丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第四项工作；戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13=78；乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15=79，所以乙不承担第二项工作，故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数f（x）=的定义域为[1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴2x﹣2≥0，即2x≥2；解得x≥1，∴f（x）的定义域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a2﹣a1= 2 ．【考点】数列递推式．【分析】通过，利用a2﹣a1=S2﹣2S1计算即得结论．【解答】解：∵，∴a2﹣a1=（a1+a2）﹣2a1=S2﹣2S1=（4﹣8）﹣2（1﹣4）=2，故答案为：2．11．已知l为双曲线C：﹣=1的一条渐近线，其倾斜角为，且C的右焦点为（2，0），则C的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=2，求出渐近线方程，解方程可得a，b，即可得到右顶点和双曲线的方程．【解答】解：由题意可得c=2，即a2+b2=4，一条渐近线的斜率为k==tan=1，解得a=b=，则双曲线的右顶点为（，0），C的方程为﹣=1．故答案为：（，0），﹣=1．12．在2这三个数中，最小的数是．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵=＞1，log32＞=，∴在2这三个数中，最小的数是．故答案为：．13．已知函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件可得+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ），若，则函数的周期为π，f（）=sin（+φ）=1，f（﹣）=sin（﹣+φ）=﹣1，故+φ=2kπ+，且﹣+φ=2kπ﹣，k∈Z，即φ=2kπ+，k∈Z．故取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．14．给定正整数k≥2，若从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M={X1，X2，…，X k}，均满足∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k的所有可能取值是6，7，8 ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，可以保证由四点共面，即可得出结论．【解答】解：由题意，∀X i，X j∈M，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，则k至少要取6，即可保证有四点共面，由正方形的性质，四点共面时，∃X l，X t∈M，使得直线X i X j⊥X l X t，∴k的所有可能取值是6，7，8．故答案为：6，7，8．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．在△ABC 中，∠C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用正弦定理解出；（II）根据面积计算b，再利用余弦定理解出c．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：，即，∴．（Ⅱ）∵=．∴b=2．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2a•b•cosC=4+36﹣2×=52．∴．16．已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，满足S2+a1=0，a3=12．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S n＞2019？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）通过设数列{a n}的公比为q，利用2a1+a1q=0及a1≠0可知q=﹣2，进而通过a3=12可知首项a1=3，计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）、利用等比数列的求和公式计算可知S n＞2019等价于（﹣2）n＜﹣2019，分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，因为S2+a1=0，所以2a1+a1q=0，因为a1≠0，所以q=﹣2，又因为，所以a1=3，所以；（Ⅱ）结论：符合条件的n的最小值为11．理由如下：由（I）可知，令S n＞2019，即1﹣（﹣2）n＞2019，整理得（﹣2）n＜﹣2019，当n为偶数时，原不等式无解；当n为奇数时，原不等式等价于2n＞2019，解得n≥11；综上所述，所以满足S n＞2019的正整数n的最小值为11．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN∥平面ABCD；（Ⅲ）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（Ⅱ）在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ABCD；（Ⅲ）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，AB⊥BC．…．因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．…．又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，…．所以BC⊥平面PAB．…．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．…．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB．…．在△PBC中，BC⊥PB，MN⊥PB，所以MN∥BC，…．又BC⊂平面ABCD，MN⊄平面ABCD，…．所以MN∥平面ABCD．…．解：（Ⅲ）因为MN∥BC，所以MN⊥平面PAB，…．而AM⊂平面PAB，所以MN⊥AM，…．所以AM的长就是点A到MN的距离，…．而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在Rt△PAB中，AB=3，PA=4，所以A到直线MN的最小值为．…．18．一所学校计划举办“国学”系列讲座．由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（Ⅱ）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小（只需直接写出结果）；（Ⅲ）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．（注：成绩大于等于75分为优良）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．利用茎叶图能求出该班男、女生国学素养测试的平均成绩．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，由此利用列举法能求出这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率．【解答】解：（Ⅰ）设这10名同学中男女生的平均成绩分别为．则…．…．∴该班男、女生国学素养测试的平均成绩分别为73.75，76．（Ⅱ）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差．…．（Ⅲ）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，…．男生按成绩由低到高依次编号为a1，a2，a3，a4，女生按成绩由低到高依次编号为b1，b2，b3，b4，b5，b6，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种取法…．（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a1，b5），（a1，b6），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b1），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），其中两名同学均为优良的取法有12种取法…．（a2，b3），（a2，b4），（a2，b5），（a2，b6），（a3，b3），（a3，b4），（a3，b5），（a3，b6），（a4，b2），（a4，b3），（a4，b4），（a4，b5），（a4，b6），所以，即两名同学成绩均为优良的概率为．…．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，2b=2，即b=1，又a2﹣c2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设P（m，n），可得+n2=1，即有n2=1﹣，由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t），由P，A，M共线可得，k PA=k MA，即为=，可得s=1+，由P，B，N共线可得，k PB=k NB，即为=，可得s=﹣1．假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）．可得QM⊥QN，即有•=﹣1，即st=﹣4．即有[1+][﹣1]=﹣4，化为﹣4m2=16n2﹣（4﹣m）2=16﹣4m2﹣（4﹣m）2，解得m=0或8，由P，A，B不重合，以及|m|＜2，可得P不存在．20．已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的零点和极值；（3）若对任意x1，x2∈[a，+∞），都有f（x1）﹣f（x2）≥﹣成立，求实数a的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）令f（x）=0，可得零点；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到极小值，无极大值；（3）结合单调性，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，运用不等式的性质，即可得到a的最小值为2．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为﹣2，切点为（0，1），即有切线的方程为y=﹣2x+1；（2）由f（x）=0，可得x=1，即零点为1；由x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=2处，f（x）取得极小值，且为﹣，无极大值；（3）由（2）可得f（2）取得极小值﹣，当a≥2时，f（x）在[a，+∞）递增，即有f（x）≥f（a）≥f（2）=﹣，由﹣≤f（x1）＜0，0＜﹣f（x2）＜，可得＞f（x1）﹣f（x2）≥﹣恒成立．即有a的最小值为2．2019年9月10日数学高考模拟试卷（文科）注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2019届高三第三次模拟考试卷文科数学(一)(含答案)
2019届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·深圳期末]已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B =∅I ，则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．()3,4D ．[]3,42．[2019·广安期末]已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i --C ．2i -D ．23i -+3．[2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（ ）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分4．[2019·恩施质检]在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（ ） A ．13 B ．59 C ．79 D ．89 5．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．5 6．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（ ） A ．π4 B ．π2 C ．3π4 D ．3π2 7．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ ） A ． B ． 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．[2019·汕尾质检]如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“”中应填的执行语句是（ ）A ．100i n =+B ．99i n =-C ．100i n =-D ．99i n =+10．[2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C，若2BC BF =，且21AF =+，则此抛物线的方程为（ ）A ．22y x =B ．22y x =C ．23y x =D ．23y x =11．[2019·陕西联考]将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（ ） A ．9π2 B ．7π2 C ．5π2 D ．3π2 12．[2019·菏泽期末]如图所示，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '、DD '交于M ，N ，设BM x =，[]0,1x ∈，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''； ②当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =，[]0,1x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数； 以上命题中假命题的序号为（ ） A ．①④ B ．② C ．③ D ．③④ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，13+=a b ，则=b _____． 14．[2019·醴陵一中]某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值为__________． 15．[2019·广安一诊]某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元 16．[2019·哈三中]设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，22a <，且2019n S =，则n 的最大值为___________． 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·濮阳期末]已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1cos 3sin c A a C +=．（1）求角A的大小；（2）若7a=，1b=，求ABC△的面积．18．（12分）[2019·揭阳一模]如图，在四边形ABED中，AB DE∥，AB BE⊥，点C在AB上，且AB CD⊥，2AC BC CD===，现将ACD△沿CD折起，使点A到达点P的位置，且22PE=．（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；（2）求三棱锥P EBC-的体积．19．（12分）[2019·合肥质检]为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x2014 2015 2016 2017 2018 足球特色学校y（百个）0.300.60 1.00 1.40 1.70（1）根据上表数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱（已知：0.751r≤≤，则认为y 与x线性相关性很强；0.30.75r≤<，则认为y与x线性相关性一般；0.25r≤，则认为y与x线性相关性较弱）；（2）求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）参考公式：()()()()2211nn ni ii ix x y yrx x y y==--=--∑∑∑，()2110niix x=-=∑，()211.3niiy y=-=∑13 3.6056，()()()121ˆni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-．20．（12分）[2019·鹰潭期末]已知椭圆C的方程为()222210x ya ba b+=>>，1F，2F为椭圆C的左右焦点，离心率2，短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，椭圆C的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点1F，2F，求该平行四边形ABCD面积的最大值．21．（12分）[2019·豫西名校]已知函数()()2ln f x a x x ax a =+-∈R ．（1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）求()()2g x f x x =-在区间[]1,e 上的最小值()h a ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·哈三中]已知曲线1:33C x +=26:2x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位． （1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程； （2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P ．若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·江南十校]设函数()()lg 2121f x x x a =-++-． （1）当4a =时，求函数()f x 的定义域； （2）若函数()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围．2019届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由题意，集合(){}{}{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或， {}1B x a x a =<<+；若A B =∅I ，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ．2．【答案】A【解析】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-，∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ．3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．∴135012160d +=，解得119012d =-，∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（分）．故选B ．4．【答案】B【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=；由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈，区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =．故选B ．5．【答案】B【解析】设双曲线()2210mx y m -=>为2221x y a -=，它的一条渐近线方程为1y x a =，直线2y x =-的斜率为2-，∵直线1y x a =与2y x =-垂直，∴()121a ⨯-=-，即2a =，∴22215c e a +===．故选B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的34， ∴该几何体的体积为233ππ1242⨯⨯⨯=．故选D ． 7．【答案】A 【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=，∴()f x 为偶函数，选项B 错误，()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0g x x ='+≥恒成立， ∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()()00g x g >=， 故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'， 即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ． 8．【答案】C 【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ．9．【答案】C 【解析】由题意，n 的值为多项式的系数，由100，99⋯直到1， 由程序框图可知，输出框中“”处应该填入100i n =-．故选C ． 10．【答案】A 【解析】如图，过A 作AD 垂直于抛物线的准线，垂足为D ， 过B 作BE 垂直于抛物线的准线，垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点， 由抛物线的定义，BF BE =，21AF AD ==， ∵2BC =，∴2BC =，∴45DCA ∠=︒， ∴222AC ==+22211CF =+=， ∴222CF PF ==，即22p PF ==，∴抛物线的方程为22y x =，故选A ．11．【答案】D【解析】将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭的图象，故()g x 的最大值为2，最小值为0，若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==，或()()122g x g x ==-（舍去）．故有()()122g x g x ==，即12cos2cos21x x ==-，又1x ，[]22π,2πx ∈-，则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为π3ππ22+=．故选D ．12．【答案】C【解析】①连结BD ，B D ''，则由正方体的性质可知，EF ⊥平面BDD B ''，∴平面MENF ⊥平面BDD B ''，∴①正确；②连结MN ，∵EF ⊥平面BDD B ''，∴EF MN ⊥，四边形MENF 的对角线EF 是固定的， ∴要使面积最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时，即12x =时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小，∴②正确；③∵EF MN ⊥，∴四边形MENF 是菱形，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由大变小，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由小变大，∴函数()L f x =不单调，∴③错误；④连结C E '，C M '，C N '，则四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以C EF '为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥，∵三角形'C EF 的面积是个常数，M ，N 到平面'C EF 的距离是个常数，∴四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数，∴④正确，∴四个命题中③假命题，故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32t⋅=a b ， 又由13+=a b ，则()222229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ， 变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1， 又由0t >，则1t =；故答案为1． 14．【答案】12 【解析】设男学生人生为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，且x ，y ，*z ∈N ， 则2z x y z >>>，当1z =时，21x y >>>不成立；当2z =时，42x y >>>不成立； 当3z =时，63x y >>>，则5x =，4y =，此时该小组的人数最小为12． 15．【答案】3800 【解析】设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天， 该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+， 甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为45503540,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈∈⎩N N ，做出不等式表示的平面区域，由45503540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2， 当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元． 故答案为3800． 16．【答案】63 【解析】数列{}n a n -是以1-为公比，以11a -为首项的等比数列， 数列{}n a n -的前n 项和为()()()()111112122n n n n n S n S a +---++⋯+=-=-⋅， ()()()1111122nn n n S a --+=-⋅+，当n 为偶数时，()120192n n n S +==，无解；当n 为奇数时，由()()11120192n n n S a +=+-=，可得()1120202n n a +=-，由121n n a a n ++=+可得213a a +=，123a a =-，∵22a <，∴11a >，即()()1120201140382n n a n n +=->⇒+<，结合n ∈N ，可得63n ≤，∴使得2019n S =的n 的最大值为63，故答案为63．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）33S ．【解析】（1）∵()1cos 3sin c A a C +=，由正弦定理可得()sin 1cos 3sin C A A C +=3sin cos 1A A -=， ∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A 是ABC △的内角，∴ππ66A -=，∴π3A =．（2）∵7a =1b =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即217c c +-=，可得260c c --=，又0c >，∴3c =，∴ABC △的面积11333sin 1322S bc A ==⨯⨯18．【答案】（1）见解析；（223【解析】（1）证明：∵AB BE ⊥，AB CD ⊥，∴BE CD ∥，∵AC CD ⊥，∴PC CD ⊥，∴PC BE ⊥，又BC BE ⊥，PC BC C =I ，∴EB ⊥平面PBC ，又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）解法1：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥，由22PE =得222PB PE EB =-=，∴PBC △为等边三角形，∴2323PBC S ==△， ∴11233233P EBC E PBC PBC V V S EB --==⋅=△，解法2：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥， 由22PE =，得222PB PE EB =-=，∴PBC △为等边三角形， 取BC 的中点O ，连结OP ，则3PO = ∵PO BC ⊥，∴PO ⊥平面EBCD ， ∴21112323332P EBC EBC V S PO -=⋅=⨯⨯△． 19．【答案】（1）相关性很强；（2）0.36 4.6ˆ727y x =-，208个． 【解析】（1）2016x =，1y =， ()()12211n i n n i i i i x x y y r x x y y ===----∑∑∑ 20.710.410.420.7360.753605610 1.3-⨯-+-⨯-+⨯+⨯==>⋅．．，∴y 与x 线性相关性很强． （2）()()()()()()()12120.710.410.420.70.3641014ˆn i i i n i i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， 120160.36724.7ˆ6ˆa y bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是0.36 4.6ˆ727y x =-． 当2019x =时，0.36724.76ˆ 2.08y x =-=（百个）， 即A 地区2019年足球特色学校的个数为208个． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）22 【解析】（1）依题意得22b =，2c e a ==，解得2a =1b c ==， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =， 联立2212x y +=，解得2y =，此时平行四边形ABCD 的面积22S = 当AD 所在的直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-， 联立2212x y +=，得()2222124220k x k x k +-+-=， 设()11,A x y ，()22,D x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+， 则())2222222121222222148811121212k k k AD k x x x x k k k k +⎛⎫-=++-+-= ⎪+++⎝⎭， 两条平行线间的距离221k d k -=+，则平行四边形ABCD 的面积)()()2222222221124212112k k k kS k k k ++-==+++令212t k =+，1t >， 则221112242221t t S t t +-⨯⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()10,1t ∈， 开口向下，关于1t 单调递减，则(S 0,22=，综上所述，平行四边形ABCD 的面积的最大值为2221．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222ax ax af x x a x x -+=+-='，∵3x =是()f x 的极值点，∴()183303a af '-+==，解得9a =，∴()()()2233299x x x x f x x x ---+=='，当302x <<或3x >时，()0f x '>；当332x <<时，()0f x '<．∴()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭．（2）()2ln 2g x a x x ax x =+--，则()()()22122x a x x ax a g x x x ---+='=-， 令()0g x '=，得2a x =或1x =．①当12a≤，即2a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()min 11h a g a ==--； ②当1e 2a <<，即22e a <<时，()g x 在1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，∴()2min 1ln 224a a h a g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；③当e 2a≥，即2e a ≥时，()g x 在[]1,e 上为减函数，∴()()()2min e 1e e 2e h a g a ==-+-．综上，()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）1π3:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2226:12sin C ρθ=+；（2）1． 【解析】（1）∵2C 的参数方程为62x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）， ∴其普通方程为22162x y +=， 又1:33C x y = ∴可得极坐标方程分别为1π3:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2226:12sin C ρθ=+． （2）∵()3,0M ，()0,1N ，∴312P ⎫⎪⎪⎝⎭，∴OP 的极坐标方程为π6θ=， 把π6θ=代入π3sin 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11ρ=，π1,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把π6θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴211PQ ρρ=-=，即P ，Q 两点间的距离为1． 23．【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ；（2）3a <． 【解析】（1）当4a =时，()f x 定义域基本要求为21214x x -++>， 当1x ≤-时，5122244x x x --->⇒<-； 当112x -<<时，12224x x -++>，无解； 当12x ≥时，3212244x x x -++>⇒>， 综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ； （2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++， ()()()min 2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=， ∴3a <．。
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2019届北京市海淀区高三3月适应性考试（零模）文科数学试卷【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 设全集，，则（）
A. B. C. D.
2. 若，则下列不等式中正确的是（）
A. B. C. D.
3. 中国诗词大会节目是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵．如图是2016年中国诗词大会中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，，则一定有（）
A. B. C. D. ，的大小与的值有关
4. 如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是（）
A. B. C. D.
5. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A. 6
B. 8
C. 14
D. 30
6. 已知正项数列中，，，，则
等于（）
A. 16
B. 8
C. 4
D.
7. 已知，，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率是（）
A. B. C. D.
8. 已知函数，正实数，，是公差为负数的等差
数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下
列四个判断：① ；② ；③ ；④ 中一定成立的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题
9. 设为虚数单位，则复数所对应的点位于第 __________ 象限．
10. 设，，，则，，按由小到
大的顺序是 __________ ．
11. 已知某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是边长为4的正方形，正视图和侧视图是
边长为4的等边三角形，则该四棱锥的全面积为 __________ ．
12. 已知双曲线的右焦点为，的值为 __________ ，渐
进线方程 __________ ．
13. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方）， __________ ．
14. 已知函数在函数的零点个数
__________ ．
三、解答题
15. 已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在的值域．
16. 在数列中，（，）且．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和．
17. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面
，且，是侧棱上的动点．
（Ⅰ）求四棱锥的体积；
（Ⅱ）如果是的中点，求证平面；
（Ⅲ）是否不论点在侧棱的任何位置，都有？证明你的结论．
18. 股票市场的前身是起源于1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国．2017年2月26号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心．最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财．现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：p
19. ly:宋体; font-size:11.5pt">投资结果获利不赔不赚亏损概率
（2）购买基金：p
20. ly:宋体; font-size:11.5pt">投资结果获利不赔不赚亏损概率
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果
出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．
21. 已知函数，．
（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意，，都有成立．
22. 已知椭圆经过点，离心率为，动点
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明：线段的长为定值，并求出这个定值．
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】。