数学新高考-2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷及答案答案

2022~2023学年第一学期高三期中调研试卷
数 学 参 考 答 案 2022.11
一、单项选择
1．C 2．C 3．A 4．A 5．D 6．B 7．A 8．B 8.解：由于cos36cos 45>可得2cos362>b c >．
又由于()22213
log 3log 2log 422
>
+=>a c >．
由于5
8
32<，5ln38ln 2<，28
log 35
a =<，12cos362 1.64
b ==⨯>， 所以b a
c >>．选B 项．
二、多项选择
9．BD 10．ABD 11．ABC 12．AD
12.解：因为()y f x =图象关于直线2x =对称，当3x =时，(3)(1)0f f ==，于是930a b ++=，当4x =时，(4)(0)0f f ==，于是1640a b ++=，于是7a =-，12b =，所以5a b +=．
2222()()(712)(1)(3)(4)(4)(43)f x x x x x x x x x x x x x =--+=---=--+，令
24t x x =-，4t ≥-，则2()(3)3g t t t t t =+=+，4t ≥-，因为2()3g t t t =+图象开口向
上，对称轴是32t =-，所以()g t 的最小值为9
4-．联立方程(1)(3)(4)82y x x x x y x =---⎧⎨=-⎩
，
4x =是方程组的解，约分4x -，而方程(1)(3)2x x x --=-有三个解，所以()f x 与直线
280x y +-=不能相切．函数()y f x =在4x =处的切线方程为12480x y --=．
三、填空题
13．(- 14．2- 15．9- 16．500
729
，4 15解：由31cos 32A =
得到31cos cos sin sin 32B C B C -=-，由1
cos()8
B C -=得到 1cos cos sin sin 8B C B C +=，于是27cos cos 64B C =-，35
sin sin 64
B C =，于是
35
tan tan 27
B C =-
．在ABC ∆中，tan tan tan()tan 1tan tan 31B C B C A B C ++==-=--，于是
tan tan 9B C +=-
．再由35
tan tan 27
B C =-，解方程组得到tan 9B =-或
tan 3B =
，由于B C >，取tan 9
B =-． 四、解答题
17．解：（1）由正弦定理，2sin b R B =，2sin c R C =，代入2sin 0b A =，
有22sin sin 2sin 0R B A R A ⨯-=，
因为A 是三角形的内角，sin 0A ≠，所以sin B =
， …………………2分 注：不说明sin 0A ≠，扣1分。

如果说明了A 是三角形的内角，锐角三角形等都可以 在锐角ABC ∆中，3
B π
=
． …………………4分
注：不说明锐角三角形扣1分
（2）由（1），3B π
=
，23A C π+=
，23
C A π=-
于是2cos cos cos cos cos cos()33
A B C A A ππ
=- …………………6分
11cos (cos )22A A A =
-21
cos cos 4
A A A =-
11cos 2sin 2842A A +=
-⨯11sin(2)468
A π=-- …………………8分 在锐角ABC ∆中，由于3
B π
=
，有
6
2
A π
π
<<
，
526
6
6
A π
π
π
<-
<
， 注：正确求出角A 的范围给1分
于是1sin(2)(,1]62A π
-∈，11sin(2)468A π--1(0,]8
∈． 所以cos cos cos A B C 的取值范围是1
(0,]8
． …………………10分
18．解析：（1）向量OE 逆时针方向旋转0
90，得到点(sin ,cos )F αα-， …………2分 又因为(1,0)A ，所以(cos 1,sin )AE αα=-，(sin 1,cos )AF αα=--，
所以AE AF +(cos sin 2,sin cos )αααα=--+， …………………4分
所以||AE AF +=
=
= …………………6分
2=
所以||AE AF +
的最大值为2+，此时sin()14
π
α-=，34
π
α=
．………………8分 注：不说明取得最值的条件即：34
π
α=
扣1分 （2）由题意，(cos 1,sin )AE αα=-，(sin ,cos 1)BF αα=-+， ………………9分 因为2
2
(cos 1)(cos 1)sin (sin )(cos 1)sin 0αααααα-+--=-+=，
所以(cos 1)(cos 1)sin (sin )αααα-+=-， ………………11分 所以两向量AE 与BF 平行． ………………12分 19．解析：（1）证明：因为PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以PA ⊥BC ．…1分 又因为90ACB ∠=，即AC ⊥BC ，
又因为,PA AC ⊂平面PAC ，且,PA AC 相交于点A ，
所以直线BC ⊥平面PAC ．…………………………………………………………………3分 注：只是不说明PA 、AC 在平面PAC 内，扣1分，如果再少其它条件扣2分，讲评时要强调条件缺一不可。

又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC ． ………………4分 （2）解：取AB 的中点N ，连接MN ，由于M 是PB 的中点，有//MN PA ，又因为PA ⊥底面ABC ，所以MN ⊥底面ABC ，所以MAN ∠就是直线AM
与底面ABC 所成角α．记2AC BC PA a ===，在直角MAN ∆中，计算得到
tan tan 2MAN α=∠==． ………………7分 取PC 的中点H ，连接,AH HM ，由于AC PA =，有
AH PC ⊥．由（1）BC ⊥平面PAC ，AH ⊂平面PAC ，所
以BC AH ⊥．又因为,PC BC ⊂平面PBC ，,PC BC 相交于
点C ，所以AH ⊥平面PBC ，所以AMH ∠就是直线AM 与平面PBC 所成角β． 注：在证明过程中少条件的话要适当扣1-2分，并在讲评时强调条件缺一不可。

H
N
P
M
B
C
A
在直角AMH ∆
中，计算得到tan tan AMH a
β=∠== ………………10分 由于α、β都是锐角，所以2
π
αβ+=
． ………………12分
注：不说明α、β都是锐角扣1分。

20．解析：由
12n n a n S n +=得到21n n na S n =+，当2n ≥时，1
12(1)n n n a S n
---=， ……1分 两式相减，有1
22(1)1n n n na n a a n n
--=
-
+，得到12(1)(1)1n n n a n a n n ---=+， 由于2n ≥，121n n a a
n n
-=+， ………………3分
因为122
a
=，由上述递推关系知01n a n ≠+
（注：这里不说明不扣分，说明等比数列时也不一定要写成比的形式。

但讲评时强调要说明
按照定义证明，）
所以{
}1n a n +是以122a
=为首项，2为公比的等比数列， 所以1
221
n n a n -=⨯+，(1)2n n a n =+． …………5分
（2）由（1）1n c n =+，前n 项和为(21)(3)
22
n n n n n T +++==
， …………7分 12211
()(3)33n T n n n n ==-++， 12
1112111111()3123123
n T T T n n n +++
=++---+++ …………9分 211111
()31239
<++=，又由于10n T >，12111111
2
n T T T T ++
+
≥=， …………11分 所以111139218B A -≥
-=，B A -的最小值为13
18
． …………12分 21．解析：（1）函数的定义域为R ．
'()(1)'(1)()'(2)x x x f x x e x e x e =+++=+．
令'()0f x =，解得2x =-． …………2分
'()f x ，()f x 的变化情况如表所示．
'()f x -
+
()f x
单调递减
2
1e -
单调递增
所以，()f x 在区间(,2)-∞-上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2x =-时，()f x 有极小值21
(2)f e
-=-
． …………4分 注：不列表也可以，只要说明清楚了在-2左右两边的单调性就可以。

（2）令()0f x =，解得1x =-．当1x <-时，()0f x <；当1x >-时，()0f x >． 所以，()f x 的图象经过特殊点2
1(2,)A e --
，(1,0)B -，(0,1)C ． …………6分
当x →-∞时，与一次函数相比，指数函数
x y e -=呈爆炸性增长，从而
1
()0x
x f x e -+=
→；当x →+∞时，()f x →+∞，'()f x →+∞．
根据以上信息，我们画出()f x 的大致图象如图所示． …………8分 注：这里如上述描述(教材上就是这样描述的)正常给分。

没有说明，只画图，只要图形正确也给分，不扣分。

（3）方程()f x a =（a R ∈）的解的个数为函数()y f x =的图象与直线y a =的交点个数． 由（1）及图可得，当2x =-时，()f x 有最小值21
(2)f e
-=-
． 所以关于方程()f x a =（a R ∈）的解的个数有如下结论：
当21
a e <-
时，解为0个； 当21
a e =-或0a ≥时，解为1个；
当21
0a e
-<<时，解为2个． …………12分
注：只要给出的结论正确，均正常给分
22．解析：（1）因为()ln(1)(ln )f x x a x =+-⋅，求导得1
'()ln 1f x a x
=-+． ……1分 由于(0,)x ∈+∞，
1
(0,1)1x
∈+，又因为*a N ∈，
当1a =时，1
'()01f x x
=
>+，()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=舍去；3分 当2a =时，令1'()ln 201f x x =-=+，得110ln 2x =->，当1
1ln (0,)2x -∈时，
'()0f x >，()f x 在1
1ln (,20)-上单调递增，此区间上()(0)0f x f >=舍去； ……5分
当3a ≥时，由于1(0,1)1x ∈+，ln 1a >，1
'()ln 1f x a x
=-+恒小于零，()f x 在(0,)
+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，满足题意． …………7分 综合上述，实数a 的最小值为3． …………8分
注：如果用罗比塔法则求解，适当给分，一般表述会有问题，结论正确时也不宜超过5分。

（2）由（1），当3a =时，()0f x <恒成立，即ln(1)(ln 3)0x x +-⋅<，于是
ln(1)(ln 3)x x +<⋅． …………10分
取1x n =
，有11ln(1)(ln 3)n n +<⋅，所以1ln(1)ln 3n n +<，即1ln(1)ln 3n
n +<， 所以1(1)3n
n
+<． …………12分
注：其它解法参照给分，如果是分析法，要注意是否有相应过渡性的语言联结。