乐清市第二中学高三上学期10月月考——数学(理)(1)数

乐清市第二中学
2015届高三上学期10月月考
数学（理）试题第
Ⅰ卷（选择题部分 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知函数的定义域为,的定义域为,则= （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.若“”是 “”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.如图，三棱锥的底面为正三角形，侧面与底面垂直且，已知其正视图的面积为，则其侧视图的面积为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A ．向左平移个单位
B ．向右平移个单位
C ．向左平移个单位
D ．向右平移个单位
5.已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（ ）
A ．20
B ．17
C ．19
D ．21
6.若关于的不等式在区间上有解,则实数的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．(1,+∞)
D ．
7.设，若函数为单调递增函数，且对任意实数x ，都有（是自然对数的底数），则的值等于( )
A. 1 B ． C ．3 D ．
8．函数25()sin log 22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的零点个数为（ ） A. 1 B ．2 C ．3 D ．4
9.定义为两个向量，间的“距离”，若向量，满足：①；②；③对任意的，恒有，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图所示，已知双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>> 的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近
线于、两点，且直线的倾斜角是渐近线
倾斜角的2倍，若，则该双曲
线的离心率为（ ）
A. B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11.设sin ，则___________.
12.已知实数满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩
，且目标函数的最大值为6，最小值为1（其中），则的值为
_____________.
13.已知数列，满足，，（），则___.
14.定义在R 上的奇函数满足3()(),(2014)2,2
f x f x f -=+=则=
15.已知直线及直线截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是__________
16.设是外接圆的圆心,分别为角对应的边,已知,则的范围
是
_________________.
17.若正实数满足，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数的取值范围是
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18.（本小题满分14分）设函数)0(12cos 2)6sin()(2>+--=ωω
π
ωx x x f 直线与函数图像相邻两
交点的距离为.
（Ⅰ）求的值
（II ）在中，角、、所对的边分别是、、，若点是函数图像的一个对称中心，且,求面积的最大值.
19．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点． （I ）证明： //平面；
（II ）求二面角的平面角的余弦值；
20．（本小题满分14分）已知等差数列的前n 项和为，且．数列的前n 项和为，且，． （Ⅰ）求数列,的通项公式；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和．
21．（本小题满分15分）已知二次函数（）.
（Ⅰ）当时，函数定义域和值域都是，求的值；
（Ⅱ）当时在区间上,的图象恒在的图象上方,试确定实数的范围.
22．（本小题满分15分）已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ,直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，为其左右焦点，为椭圆上的任意一点，的重心为，内心为，且． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为椭圆上的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于两点，若的斜率满足，求直线的方程．
参考答案
1—10：AABACACCDB
11—17： ；4；；；； ；
19.解：法一：（I ）以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，…………2分
)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=DB DE PA
设是平面BDE 的一个法向量，
则由 1100
n D E n D B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得 取，得． ………………4分
∵，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥⊄∴，又平面平面 …………5分
（II ）由（Ⅰ）知是平面BDE 的一个法向量，又是平面的一个法向量． ………………7分
设二面角的平面角为，由图可知
∴121212cos cos ,3
||||3n n n n n n θ⋅=<>===⋅⨯． 故二面角的余弦值为．
………………10分 法二：（
I ）连接，交于，连接．在中，为中位线，
,//平面．
………………4分
（II ）⊥底面, 平面⊥底面，为交线,⊥
平面⊥平面，为交线, =，是的中点⊥
⊥平面，⊥即为二面角的平面角．
设，在中,,,,cos CE BC a BE BEC ===∴∠= 故二面角的余弦值为．………………9分
20.
解：（Ⅰ）由题意，，得． …………2分
，，
112230n n n S b --≥-+=当时，，两式相减，得
数列为等比数列，． …………4分
（Ⅱ）14 32n n n n c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数
． 211321242()()n n n P a a a b b b ++=++
+++++ ……………6分 [44(21)(1)]6(14)214
n n n ++⋅+-=+- ……………8分 ……………10分
21．解：（Ⅰ），函数对称轴为，故在区间单调递减，在区间单调递增. ① 当时，在区间上单调递减；故(1)2()12
b f b f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，无解； ② 当时，在区间上单调递减，上单调递增，且，故(1)2(3)1
b f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
； ③当时，在区间上单调递减，上单调递增，且，故()22(3)1
b b f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩，无解.的值为
10. ………………8分
（Ⅱ）
22．解：（Ⅰ）设，，则. ………………2分
又，，，
1201201212||11||||(||||||)223
F PF y S F F y F F PF PF ∆∴==++.………………4分 ，故．
又直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆相切，………6分， ，．．………………7分
（Ⅱ）若直线斜率不存在，显然不合题意；……………8分
则直线的斜率存在．
设直线为，直线和椭圆交于，．
将22
(1)3412y k x x y =-+=代入中得到： 01248)43(2222=-+-+k x k x k
依题意：110992
-<>>-=∆k k k 或得 ………………10分
由韦达定理可知：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+22112
2
214312
4438k k x x k k x x 又)2121(2222112211+-++-=+++=+x x x x k x y x y k k AN AM 1211[23()]22
k x x =-+++ 而4
)(24212121212121+++++=+++x x x x x x x x 2222222312)43(416124)43(48k k k k k k k +=+++-++= 从而211)31232(22-=-=+⋅-=+k k k k k k AN AM ………………14分 求得符合．
故所求直线的方程为：．………………15分。