高考数学二轮专题突破：第2讲-函数、图象及性质(含答案)

第 2 讲 函数、图象及性质
1. 已知 f(x) 是定义在 R 上的函数，且 f(x) ＝ f(x ＋ 2)恒建立，当 x ∈[－ 1， 1]时， f(x) ＝ x 2，
则当 x ∈[2 ，3]时，函数 f(x) 的分析式为 ____________．
答案： f(x) ＝(x －2)2 分析：因为函数知足 f(x) ＝ f(x ＋ 2)，所以函数周期为 2.又 x ∈ [2，3] ，x － 2∈ [0，1]，则 f(x)
＝ f(x － 2)＝ (x － 2)2.
k ＋ k
在 (1，＋ ∞)上是增函数，则实数 2. 若函数 h(x) ＝ 2x － k 的取值范围是 ________.
x 3
答案： [－ 2，＋ ∞) 2x 2
＋ k
分析：因为 h ′(x)＝ 2＋ k k
2
x 2，所以 h ′ (x)＝ 2＋ x 2＝ x 2 ≥ 0 在 (1，＋ ∞)上恒建立， 即 k ≥－2x 在 (1，＋ ∞)上恒建立，所以 k ∈ [ － 2，＋ ∞)．
3. 若函数 f(x) ＝ k － 2 x
x (k 为常数 )在定义域上为奇函数，则 k ＝ ________．
1＋k ·2
答案： ±1 － x
分析：∵ f(x) 为定义域上的奇函数， ∴ f(x) ＋f( － x)＝0. k －2x x ＋ k － 2
－ x ＝ 0.得(k 2－1)(2 2x
＋ 1)＝ 0.∵ 22x ＋1≠0，∴ k 2－ 1＝ 0，解得 k ＝ ±1. 1＋ k ·2 1＋k ·2
2
4. 定义在 (－ 1，1)上的函数 f(x) ＝－ 5x ＋ sinx ，假如 f(1 －a)＋f(1 －a )>0，则实数 a 的取值 范围为 ________．
答案： (1， 2)
(－ 1， 1)上单一递减， f(1－ a)＋ f(1 － a 2)＞0，得 f(1－ a)＞ f(a 2
－
分析：函数为奇函数，在 1)．
－ 1＜ 1－ a ＜ 1，
∴ － 1＜ a 2－ 1＜ 1 ， T
1＜ a ＜ 2.
1－ a ＜a 2 －1
1
5. 函数 f(x) ＝
1－ 2x ＋ 的定义域为 ________．
x ＋ 3
答案： (－ 3， 0]
1－2x ≥ 0
分析：
T － 3<x ≤ 0.
x ＋3>0
1 ，若 f( － 1)＝ 1
，则 f(2
6. 函数 f(x) 对于随意实数
013)＝
x 知足条件 f(x ＋ 2)＝ f （ x ） 2
________．
答案： 2
分析：函数知足 f(x ＋ 2)＝
1 ，故 f(x ＋ 4)＝ 1 ＝ f(x) ，函数周期为 4， f(
2 013) f （x ） f （ x ＋ 2）
＝ f(1) ．又 f(3) ＝ 1 ＝ f(4 － 1)＝ f( － 1)，∴ f(1)＝ 2.
f （ 1）
7. 设函数 f(x) ＝ |x ＋ 1|＋ |x － a|的图象对于直线 x ＝1 对称，则实数 a 的值为 ________． 答案： 3
分析：绘图可知 a ＋（－ 1）
＝ 1，a ＝ 3.[ 也可利用 f(0) ＝ f(2) 求得，但要查验 ]
2
8. 设 f(x) 是定义在实数集 R 上的函数，知足条件 y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，且当 x ≥1时， f(x)
＝ 2－
x
－ 1，则 f
2
， f 3 ， f 1 的大小关系是 ______________． (按从大到小的次序摆列 )
3 2 3
答案： f
2
＞ f 3 ＞ f 1
3 2 3
分析：函数 y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，所以 f(－ x ＋ 1)＝f(x ＋1) ，即函数对于 x ＝ 1 对称．所以
2
4 1 5
1
x
4 3
5 4 3
f 3 ＝ f 3 ，f 3 ＝ f 3 ，当 x ≥1时， f(x) ＝ 2 － 1 单一递减， 所以由 3＜ 2＜ 3，得 f 3 ＞ f 2 ＞ f
5 ，即 f 2 ＞f( 3)＞ f( 1
)．
3323
9. 函数 f(x) 的定义域是 R ，其图象对于直线
x ＝ 1 和点 (2 , 0)都对称， 且 f － 1
＝ 2，则 f 1
2 013
2 2
＋ f ＝______ ．
2 答案： 0
分析：函数图象对于直线 x ＝ 1 对称，则 f(x) ＝ f(2－ x)，函数图象对于点 (2, 0) 对称，则 f(x) ＝－ f(4－ x)，∴ f(x ＋ 2)＝－ f(x) ，∴ f(x ＋ 4)＝ f(x) ，
2 01
3 1 5 1
∴ f
2 ＝ f 1 006＋ 2 ＝ f 2
＝－ f 2 .
又 f －1
＝－ f 4＋1 ＝－ f 1
，
2 2 2
1 2 013
∴ f
2 ＋ f
2
＝0. － x 2＋ 2x ， x ≤ 0，
10. 已知函数 f(x) ＝ 若|f(x)| ≥，ax 则 a 的取值范围是 ____________．
ln （x ＋ 1）， x ＞ 0.
答案： [－2，0]
分析：在直角坐标系中画出函数
y ＝ |f(x)| 的图象， y ＝ ax 为过原点的一条直线，当 a>0 时， 与 y ＝ |f(x)| 在 y 轴右边总有交点，不合．当
a ＝ 0 时，建立．当 a<0 时，找出与 y ＝ |－ x 2＋ 2x|， x ≤ 0 相切的状况， y ′＝ 2x － 2，切线方程为 y ＝ (2x 0 －2)(x － x 0)＋ x 02－2x 0，由剖析可知 x 0 ＝ 0，
所以 a ＝－ 2.综上， a ∈ [－ 2， 0]．
11.
x
ax x
的定义域为区间 [－ 1， 1](a ∈ R )． 已知 f(x) ＝ 3 ，而且 f(a ＋ 2) ＝ 18， g(x) ＝ 3 － 4 (1) 求函数 g(x) 的分析式； (2) 判断 g(x) 的单一性； (3) 若方程 g(x) ＝ m 有解，务实数 m 的取值范围．
解： (1) ∵ f(a ＋ 2)＝18， f(x) ＝ 3x ，∴ 3a ＋
2＝ 18 3a ＝2，
∴ g(x) ＝ (3a )x － 4x ＝ 2x － 4x ， x ∈ [－ 1，1]．
(2) g(x) ＝－ x
2
2 x ＝－ 2 x
－ 1 2
1
－1，1]时， 2 x
∈
1
x
(2 )
＋ 2
＋ ，当 x ∈ [ ， 2 ，令 t ＝ 2 ，∴ y ＝
4
2
－ t 2
＋t ＝－
1 2 ＋ 1
，由二次函数单一性知当t ∈
1
， 2 时 y 是减函数，又 t ＝ 2x 在 [－ 1， 1] t －2 4 2
上是增函数，∴ 函数 g(x) 在 [－ 1，1] 上是减函数． (也可用导数的方法证明 ) (3) 由 (2)知 t ＝2x ， 2x
∈
1
， 2 ，则方程 g(x) ＝ m 有解
m ＝ 2x － 4x 在 [ － 1，1]内有解m
2 2
2
1
1
1
－ 2， 1
＝ t － t ＝－ t －2
＋ 4， t ∈ ， 2
，∴ m 的取值范围是
4 .
2
a
12. 已知 f(x) ＝ x ＋ x (x ＞ 0)，当 x ∈ [1， 3]时， f(x) 的值域为 A ，且 A [n ， m](n ＜ m)．
(1) 若 a ＝1，求 m － n 的最小值； (2) 若 m ＝ 16， n ＝ 8，求 a 的值； (3) 若 m － n ≤1，且 A ＝ [n ， m]，求 a 的取值范围． 解： (1) ∵ a ＝ 1，∴ f(x) 在区间 [1， 3]上单一递加， ∴ f(x) ∈ [f(1) ，f(3)] ，
4 4
∴ 当 x ∈ [1， 3]时， m － n ≥f(3)－ f(1) ＝3即 m － n 的最小值是 3
.
a
在 (0， a]上单一递减，在 [
a ，＋ ∞)上单一递加，
(2) (解法 1)∵ 当 x>0 时， f(x) ＝ x ＋ x
f （ 1） ≤m
1＋ a ≤ 16
∴ a a ≤ 15.
f （ 3） ≤m
3＋ 3≤ 16
a
① 当 a ≤ 1，即 0≤a ≤1时， f(x) ＝x ＋ x 在
[1
，3] 上单一递加，∴
f(1) ≥n，a ≥ 7(舍去 )；
a
② 当 1< a<3，即 1<a<9 时， f(x) ＝ x ＋ x 的最小值是
2 a ，∴ 2 a ≥ n ， a ≥ 16(舍去 )；
③ 当 a ≥ 3，即 a ≥9时， f(x) ＝ x ＋ a
在 [1， 3]上单一递减，
x
∴ f(3) ≥n，a ≥ 15.
综上可得： a ＝15.
(解法 2)当 m ＝ 16 时， x ＋
a
≤ 16 恒建立，即 a ≤16x －x 2 恒建立，
x
∴ a ≤ (－ x 2＋ 16x ，x ∈ [1， 3]) min ＝ 15；
当 n ＝ 8 时， x ＋ a
≥ 8 恒建立，即 a ≥8x －x 2 恒建立，
x
∴ a ≥ (－ x 2＋ 8x ，x ∈ [1， 3])max ＝ 15.
综上可得： a ＝15.
a
(3) ① 若 a ≤ 1，即 0<a ≤1时， f(x) ＝ x ＋x 在 [1， 3]上单一递加，
2 ∴
1≥m－ n ＝ f （ 3）－ f （ 1）＝ 2－ 3a ，无解；
0<a ≤ 1，
② 当 1< a<3 即 1<a<9 时 f(x) ＝ x ＋ a
在 [1， a]上递减，在 [ a ， 3]上递加， x
∴ 1≥m－n ＝ f （ 3）－ f （ a ） 1≥m－ n ＝f （ 1）－ f （ a ），
1<a ≤3 或
3<a<9， ∴ 12－ 6 3≤ a ≤ 4.
③ 当 a ≥ 3，即 a ≥9时，函数 f(x) 在区间 [1， 3]上单一递减，
2 ∴
1≥m－ n ＝ f （ 1）－ f （ 3）＝ 3a － 2，无解．
a ≥ 9，
综上可得： 12－ 6 3≤ a ≤ 4.
1
a x ， 0≤x ≤ a ，
13. 设函数 f(x) ＝
a 为常数且 a ∈ (0， 1)．
1
（ 1－ x ）， a ＜x ≤1，
1－ a
(1) 当 a ＝1
时，求
f
f 1 ；
2 3
(2) 若 x 0 知足 f(f(x 0)) ＝ x 0 ，但 f(x 0) ，则称 x 为 f(x) 的二阶周期点，证明函数
f(x) 有且
≠x 0 0
仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点 x 1、 x 2；
2
， 0)，记 △ ABC 的面积为
(3) 对于 (2) 中 x 1、 x 2，设 A(x 1， f(f(x 1))) ， B(x 2，f(f(x 2))) ， C(a 1 1
S(a)，求 S(a)在区间
3，
2 上的最大值和最小值．
1
1 2 1 2 2 2
解： (1) 当 a ＝
2时，
f 3 ＝ 3， f f 3
＝ f 3 ＝2 1－ 3 ＝3.
1
2
2
，
a x ， 0≤x ≤ a
1
（ a － x ）， a 2<x ≤ a ，
a （ 1－a ）
(2) f(f(x)) ＝
1
2
（ 1－ a ） 2（ x － a ）， a<x<a － a ＋ 1， 1
（ 1－ x ）， a 2－ a ＋ 1≤x ≤1. a （ 1－a ）
2
1
当 0≤x ≤a 时，由 a 2x ＝ x ，解得 x ＝ 0，因为 f(0) ＝ 0，故 x ＝ 0 不是 f(x) 的二阶周期点；
当 a 2＜ x ≤a 时，
由
1
a （ 1－ a ）(a － x)＝ x ，
a
2
解得 x ＝ － a 2＋ a ＋ 1∈ (a ， a)．
a 1 a 1 a a
因为 f － a 2＋ a ＋ 1 ＝ a · －a 2 ＋a ＋ 1＝－ a 2
＋ a ＋ 1≠
－a 2 ＋a ＋ 1，故 x ＝ － a 2＋ a ＋ 1是 f(x) 的二阶周期点；
当 a<x<a 2
－ a ＋ 1 时，由
1
1
∈ (a ， a 2－ a ＋ 1)．
（ 1－ a ） 2(x － a)＝ x ，解得 x ＝ 2－a
因为 f 1 ＝ 1
·1－ 1 ＝ 1 ，故 x ＝ 1
不是 f(x) 的二阶周期点；
2－ a 1－a 2－ a 2－ a 2－ a
2 1 1 2
当 a － a ＋ 1≤x ≤1时，由 a （ 1－ a ）(1－ x)＝ x ，解得 x ＝ － a 2＋ a ＋1∈ (a － a ＋ 1， 1)． 因为 f
2
1 ＝1·1－
2 1
＝ 2 a ≠ 2 1 ，
－ a ＋ a ＋ 1
1－ a － a ＋ a ＋ 1 －a ＋a ＋ 1 － a ＋ a ＋ 1
故 x ＝
2 1
是 f(x) 的二阶周期点．所以，函数
f(x) 有且仅有两个二阶周期点，
x 1＝
－ a ＋ a ＋1
a 1
－ a 2＋ a ＋ 1， x 2＝ － a 2
＋ a ＋ 1.
a
a
1
1
(3) 由 (2) 得 A( － a 2＋ a ＋ 1 ， － a 2＋ a ＋ 1 ) ， B( － a 2＋ a ＋ 1 ， － a 2＋ a ＋ 1 ) ， 则 S(a) ＝
1· a 2（ 1－ a ），
2 － a 2
＋ a ＋ 1
3
－ 2a 2－ 2a ＋2）
.
S ′ (a)＝1· a （ a
2 2
2
（－ a ＋a ＋ 1）
因为 a 在 1，1
内，故 S ′(a)>0，则 S(a)在区间 [1， 1
]上单一递加，
3 2 3 2
1 1 1 1 1 1
故 S(a)在区间 3， 2
上最小值为
S 3 ＝ 33，最大值为 S 2 ＝ 20.。