安徽省安庆市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(含解析)

2019年安庆市高三模拟考试（二模）
数学试题（理） 第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分。

满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 为虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=⋅-，则下列关于复数z 说法确的是 A. i z --=1 B . 2||=z C. 2=⋅z z D. 22
=z
2.命题“01,2≥+-∈∀x x R x ”的否定是 A. 0
<1,2+-∈∀x x R x B. 0<1,02
00+-∈∃x x R x C.
01,200≥+-∈∃x x R x D.
01,200≤+-∈∃x x R x 3.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A.171 B.342 C.683 D.341 4.设)2,0(),2,0(π
βπ
α∈∈，且)sin 1(tan cos βαβ+=，则 A. 4
πβα=
- B. 2
π
βα=
+ C. 2
2π
βα=
- D. 2
2π
βα=
+
5.己知实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤--≤-+1020
2x y x y x ,则目标函数2
2)1(y x z ++=的最小值为
A.
223 B . 5
5
3 C.
2 D. 4
6.某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是
A. 27
B.24
C.18
D. 12
7.己知函数)2
<
||0,>)(sin()(π
ϕωϕω+=x A x f 的部分图象如图所示，其中点A 坐标为
⎪⎭⎫ ⎝⎛2,31,点B 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,35，点C 的坐标为(3,-1)，则)(x f 的递增区间为 A. Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-,314,3
54 B. Z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-,312,3
52
C. Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-,314,3
54ππ D. Z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+-,312,3
52ππ
8.已知正数z y x ,,，满足0>log log log 532z y x ==，则下列结论不可能成立的是 A.
532z y x == B. 2<5<3x z y C. 5>3>2z y x <D. 5
<3<2z y x 9.设双曲线122
22=-b
y a x (a>b>0)的左、右两焦点分别为F1、F2，P 是双曲线上一点，点P 到
双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且 a PF PF 4||||21=+，则双曲线的离心率是
A.
210 B . 26
C. 2
5
D. 32
10. 若△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，C ，已知B a A b sin 2sin =，且b c 2=,则
b
a
等于
A.
23 B. 3
4
C. 2
D. 3
11.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件b 为“只有甲同学一人报关怀老人项目，则)|(B A P 的值为 A.
41 B. 43 C. 92 D. 9
5 12.若函数0)>(log )(a x x f a =且1≠a )的定义域与值域都是[m, n] ( m<n )，则a 的取值范围是 A. (l ，+ ∞)
B. (e,+ ∞)
C. (l ，e)
D. (l ，e
e 1
)
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13.已知平面向量,满足)3,2(,3||,||=-==a , ,则=+|| . 14.若关于x 的二项式7
)2(x
a x +的展开式中一次项的系数是-70，则a = . 15.若)(x f 是R 上的奇函数，且0)()2
5(=++x f x f ,又2)2(,0)1(==f f ，则
=++)5()4()3(f f f .
16.在数学实践活动课中，某同学在如图1所示的边长为4的正方形模板中，利用尺规作出其中的实线图案，其步骤如下：（1)取正方形中心0及四边中点M ，N ，S, T ； (2)取线段MN 靠近中心0的两个八等分点A ，B ； (3)过点B 作MN 的垂线l ；(4)在直线l (位于正方形区域内）上任取点C ，过C 作l 的垂线1l (5)作线段AC 的垂直平分线2l ；(6)标记1l 与2l 的交点P ，如图2所示；……不断重复步骤（4)至（6)直到形成图1中的弧线（1）。

类似方法作出图1中的其它弧线，则图1中实线围成区域面积为
.
三、解答题：本大题满分60分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分）
设各项均为正数的数列{n a }的前n 项和为n S ，满足：对任意的*∈N n 都有
11=++n n S a ，又2
11=
a . (I)求数列{n a }的通项公式； （II ）令n n a
b 2log =，求)(1
(111)
3221*∈++++N n b b b b b b n n 18.(本小题满分12分）
如图1,在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AD 丄CD, AD=AB=2,作BE 丄CD, E 为垂足，将△CBE 沿BE 折到APBE 位置，如图2所示. (1)证明：平面PBE 丄平面PDE ；
(II)当PE 丄DE 时，平面PBE 与平面PAD 所成角的余弦值为5
5
2时，求直线PB 与平PAD 所成角的正弦值。

19.(本小题满分12分）
为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（甲位：nig)。

根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含堡服从正态分布)(2σμ⋅N 。

(I )假设生产状态正常，记X 表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在
)3,3(σμσμ+-之外的药品件数，求)1(=X P (精确到0. 0001)及X 的数学期望；
(II)在一天内四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在)3,3(σμσμ+-之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在)3,3(σμσμ+-之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测。

(1)下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量:
其中
1x 为
抽取
的第/件药品的主要药理成分含量：i =1. 2, ...，20，用样本平均数作为x 的估计值μ
ˆ，用样本标准差s 作为σ的估计值σ
ˆ,利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检杏？ (2)试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001). 附：若随机变量Z 服从正态分布)(2
σμ⋅N ，则
9012
.09473.0,0026.00507.0,
9493.09974.0,9517.09974.0,9974.0)3<Z <3(2
22019
≈≈≈≈=+-σμσμP 20.(本小题
满分12分）
已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的离心率为2
2
，且过点（2，2）.
(I)求椭圆C 的标准方程；
(II)设A 、B 为椭圆C 的左，右顶点，过C 的右焦点F 作直线l 交椭圆于M, N 两点，分别记△ABM 、△ABN 的面积为S 1，S 2,求|S 1-S 2|的最大值。

21.(本小题满分12分）
已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈-=. (1)讨论)(x f 的单调性.
(II)若0)(=x f 有两个相异的正实数根21,x x ，求证0<)()('21x f x f +0.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一題记分。

作答时请写清题号。

22.(本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的参数方程为t t
y t m x (25,
2⎪⎩⎪⎨
⎧+=-=为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

圆C 的方程为
θρsin 52=, l 被圆C 截得的弦长为2。

(I)求实数m 的值；
(II)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(m ，5),且m>0,求||||PB PA +的值。

23.(本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 已知|12||1|2)(-++=x x x f .
(I )若)(x f >)1(f ,求实数x 的取值范围； (II) n m x f 11)(+≥ (m>0, n>0 )对任意的R x ∈ 都成立，求证：4
3
≥+n m 。

2019年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题（理科）答案
1. 解析：由条件知
错误！未找到引用源。

， A错；
错误！未找到引用源。

，B
错；错误！未找到引用源。

，C正确；错误！未找到引用源。

，D错误. 故选C.
2.解析：根据全称命题的否定是特称命题，只有B正确. 故选B.
3. 解析：根据程序框图可知：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

；
错误！未找到引用源。

；错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

. 故选
C.
4. 解析：由错误！未找到引用源。

，可得
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，即
错误！未找到引用源。

.
又
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，则
错误！未找到引用
源。

，
错误！未找到引用源。

.
故
错误！未找到引用源。

即
错误！未找到引用源。

. 故选D .
5. 解析：作出可行域，可知当错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

时，目标函数错误！未找到引用源。

取到最小值，最小值为错误！未找到引用源。

. 故选D.
6. 解析：该几何体是一个长方体，其长、宽、高分别为错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，其体积为错误！未找到引用源。

. 故选B.
7.解析：由错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

的坐标可知，函数
错误！未找到引用源。

的图象有对称轴
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引
用源。

，故错误！未找到引用源。

，
可得函数的一个单调递增区间为
错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的递增区间为
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

. 故选A.
8. 解析：设错误！未找到引用源。

，则
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到
引用源。

，
错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

时，
错误！未找到
引用源。

；错误！未找到引用源。

时，
错误！未找到引用源。

；错误！未找到引
用源。

时，
错误！未找到引用源。

. 故选B.
9. 解析：不妨设点错误！未找到引用源。

在双曲线的右支上，则
错误！未找到
引用源。

.因为
错误！未找到引用源。

，所以
错误！未找到引用源。

，
错误！未
找到引用源。

.由点错误！未找到引用源。

到双曲线中心的距离等于双曲线焦距
的一半可知，错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，即错误！未
找到引用源。

，得
错误！未找到引用源。

.
所以双曲线的离心率
错误！未找到引用源。

.故选A.
10. 解析：由错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

，得
错误！未找
到引用源。

．
又错误！未找到引用源。

，由余弦定理得错误！未找到引用源。

，
得错误！未找到引用源。

. 故选D ． 11.解析：错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
故选C ．
12. 解析：函数错误！未找到引用源。

的定义域与值域相同等价于方程错误！未找到引用源。

有两个不同的实数解. 因为错误！未找到引用源。

，所以问题等价于直线错误！未找到引用源。

与函数
错误！未找到引用源。

的图象有两个交点.
作函数错误！未找到引用源。

的图象，如图所示. 根据图象可知，当
错误！未找
到引用源。

时，即错误！未找到引用源。

时，直线错误！未找到引用源。

与函数
错误！未找到引用源。

的图象有两个交点.选D.
第II 卷（非选择题，共90分）
题号
13 14 15 16 答案
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

13.解析：由已知得错误！未找到引用源。

，于是错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
14. 解析：展开式的通项公式为
错误！未找到引用源。

. 由错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

，所以一次项的系数为错误！未找到引用源。

. 由错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

.
15. 解析：()f x 是R 上周期为5的奇函数，错误！未找到引用源。

． 16. 解析：由作法可知，弧（Ⅰ）为抛物线错误！未找到引用源。

弧，则实线围成的区域面积为
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

.
三、解答题： 17. 解析：（Ⅰ）由
错误！未找到引用源。

① ，得错误！未找到引用源。

（
错
误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

）②.
①- ②，得错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

）. ………………3分
由
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，得错误！未找到
引用源。

，
所以错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

），所以数列错误！未找到引用源。

是首项和公比都为错误！未找到引用源。

的等比数列，
因此错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
……………… 6分
（Ⅱ）由
错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

，
……………… 7分所以
，
错误！未找到引用源。

………………9分所以
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

.
错误！未找到引用源。

……………… 12分18.解析：（Ⅰ）在图1中，因为错误！未找到引用源。

，
所以在图2中有，错误！未找到引用源。

，
……………2分又因错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，
……………4分因错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

.
………………5分（Ⅱ）因为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

.
又错误！未找到引用源。

，以错误！未找到引用源。

为原点，分别以错误！未找到引用源。

所在直线为错误！未找到引用源。

轴，错误！未找到引用源。

轴，
错误！未找到引用源。

轴，建立如图1所示的空间直角坐标系，
设错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
则错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
……………6分设平面错误！未找到引用源。

的法向量为错误！未找到引用源。

，
由
错误！未找到引用源。

.
取错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，……………8分
取平面错误！未找到引用源。

的法向量为错误！未找到引用源。

，
……………9分
错误！未找到引用源。

，即
错误！未找到引用源。

.
……………10分
设直线错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

所成角为错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

.
所以直线错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

所成角的正弦值为错误！未找到引用源。

.……………… 12分
注：（Ⅱ）另解
根据题设可将四棱锥错误！未找到引用源。

补成直四棱柱错误！未找到引用源。

，且平面错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

所成二面角的平面角为错误！未找到引用源。

，如图2所示.
，设错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，由
错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

.
作错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

为垂足，易知错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

. 连接错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

就是直线错误！未找到引用源。

与平面错误！未找到引用源。

所成角.
.
错误！未找到引用源。

19. 解析:（Ⅰ）抽取的一件药品的主要药理成分含量在错误！未找到引用源。

之内的概率为0．9974，
………………1分从而主要药理成分含量在错误！未找到引用源。

之外的概率为
0．0026，………………2分故错误！未找到引用源。

．………………4分
，
因此
错误！未找到引用源。

………………5分错误！未找到引用源。

的数学期望为错误！未找到引用源。

．
………………6分（Ⅱ）（1）由错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

的估计值为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的估计值为错误！未找到引用源。

，
………………7分由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在错误！未找到引用源。

之外，因此需对本次的生产过程进行检查．
………………8分（2）设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

；
…………………10分如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量在错误！未找到引用源。

之外的药品，故概率为错误！未找到引用源。

.
故确定一天中需对原材料进行检测的概率为错误！未找到引用源。

.
…………………12分20. 解析：（Ⅰ）根据题意可得
错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
故椭圆错误！未找到引用源。

的标准方程为
错误！未找到引用源。

.
……………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
错误！未找到引用源。

，当直线错误！未找到引用源。

的斜率
不存在时，错误！未找到引用源。

，于是
错误！未找到引用源。

；
………………6分
理科数学答案（共10页）第6页
当直线错误！未找到引用源。

的斜率存在时，设直线错误！未找到引用源。

，设
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

，
联立
错误！未找到引用源。

得
错误！未找到引用源。

，
根据韦达定理得
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

………………8分
于是
错误！未找到引用源。

………………10分错误！未找到引用源。

.
当且仅当
错误！未找到引用源。

时等号成立，此时
错误！未找到引用源。

的最大
值为错误！未找到引用源。

. 综上，
错误！未找到引用源。

的最大值为错误！未找到引用源。

.
………………12分
21. 解析：（Ⅰ）错误！未找到引用源。

的定义域为错误！未找到引用源。

所以
错误！未找到引用源。

.
……………… 2分
① 当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，所以
错误！未找到引用源。

在
错误！未找到引用源。

上为减函数；
② 当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，所以
错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上为减函数，在错误！未找到引用源。

上为增函
数.
……………… 5分
（Ⅱ）法1：要证错误！未找到引用源。

，即证
错误！未找到引用源。

，即
错误！
未找到引用源。

………………6分
理科数学答案（共10页）第7页
由错误！未找到引用源。

得
错误！未找到引用源。

，所以只要证
错误！未找到引
用源。

.
………………7分
不妨设错误！未找到引用源。

，则只要证
错误！未找到引用源。

.
………………8分
令
错误！未找到引用源。

，则只要证明当错误！未找到引用源。

时，
错误！未找到引用源。

成立.
………………10分
设
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，
所以函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上单调递减，所以错
误！未找到引用源。

，即
错误！未找到引用源。

成立.
………………11分
由上分析可知，错误！未找到引用源。

成立.
……………… 12分
法2：要证错误！未找到引用源。

，即证错误！未找到引用源。

，即
错误！未找
到引用源。

.
………………6分
令
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，下证错误！未找到引用源。

.
………………7分
由错误！未找到引用源。

.得错误！未找到引用源。

，即
错误！未找到引用源。

.
令错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
由错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

在
错误！未找到引用源。

上为减函数，在
错误！未找到引用源。

上为增函数.
………………8分
设
错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

.
理科数学答案（共10页）第8页
令
错误！未找到引用源。

.
……………… 10分
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

.
所以错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上为减函数，错误！未找到引用源。

，
即错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
……………… 11分又因为错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上为增函数，所以错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

.
故错误！未找到引用源。

，得证.
……………… 12分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

作答时请写清题号
22．解析：（Ⅰ）由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

.
………………2分
直线错误！未找到引用源。

的普通方程为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

被圆错误！未找到引用源。

截得的弦长为错误！未找到引用源。

，所以
圆心到错误！未找到引用源。

的距离为
错误！未找到引用源。

，即
错误！未找到
引用源。

，解得错误！未找到引用源。

.
……………… 5分（Ⅱ）法1：当错误！未找到引用源。

时，将错误！未找到引用源。

的参数方程代入圆C的直角坐标方程得，
错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

.
由于错误！未找到引用源。

，故可设
错误！未找到引用源。

是上述方程的两实根，所以
错误！未找到引用源。

又直线错误！未找到引用源。

过点
错误！未找到引用源。

，故由上式及错误！未找到引用源。

的几何意义，
得
错误！未找到引用源。

=
错误！未找到引用源。

=
错误！未找到引用源。

错误！
未找到引用源。

.
………………10分法2：当错误！未找到引用源。

时点
错误！未找到引用源。

，易知点错误！未找到引用源。

在直线错误！未找到引用源。

上. 又错误！未找到引用源。

，
所以点错误！未找到引用源。

在圆外.
联立
错误！未找到引用源。

消去错误！未找到引用源。

得，错误！未找到引用源。

.
不妨设
错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

，所以
错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
23.解析：（Ⅰ）错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

.
① 当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

；
② 当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

，不成立； ③ 当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

. 综上，所求的错误！未找到引用源。

的取值范围是错误！未找到引用源。

.
………………5分
（Ⅱ）因为错误！未找到引用源。

，
所以
错误！未找到引用源。

.
………………8分
因为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，
所以错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

，
所以
错误！未找到引用源。

.
………………10分。