一阶混合型脉冲积分-微分方程周期边值问题极解研究

Banach空间中一阶混合型脉冲积分微分方程周期边值问题解的存在性

Ｊｎ２０ｕ．０８
文章编号：６３５０（０８０－１９０１７－５２０）３０６－５０
Ｂｎｃａａｈ空问中一阶混合型脉冲积分微分方程周期边兴，郑建，王国涛
（国石油大学数学与计算科学学院，东东营２７６）中山５０１
Ｌｎｊａ，ＳＮｕｎ —ｉｇＺＥＧＪｎＷＡＧＧｏｔｏ１Ｗｅ－ｎＯＧＧａｇｘ，ＨＮｉ，ｕｎａＮｕ— ａ
（ｏｅｅｏｔｅｔｓａｄＣｍｕｔｎｌｃｎｅｉｈａＵｉｒｔｅｏｕＤｎｙｎ５０１ＣｌｇＭａｈｍａｃｎｏｐｔｉａｉｃＣｉｎｖｓｙｏＰｔｌｍ，ｏｇｉ２７６，ｌｆｉａｏＳｅｎｎｅｉｆｒｅｇ
摘要：利用不动点理论，证明了实Ｂｎｃａａｈ空间中一阶混合型脉冲积分微分方程周期边值问题解的存在性定理，已对有结果作了推广和改进。关键词：脉冲方程；周期边值问题；非紧性测度；不动点指数理论
中图分类号：７．１Ｏ１７９文献标识码：Ａ
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２００８年第３２卷第３期
中国石油大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏｈｎｎｖｒｉｆＰｔｌｕｏｒａｆＣｉａＵｉｅｓｔｏｅｒｅｍｙｏ
Ｖｏ１３２Ｎｏ．．３
ＳａｏｇＰｏｉｃ，Ｃｉａｈｎｎｒｎｅｈｎ）ｄｖ
Ａｂｓｒｔ：Ｓｍｅｅｉｔｎｃｈｏｅｍｓｏｕｔｐｌｏｉｉｅｓｌｉｎｆｐｅｉｄｃｂｏｄａｙｖｌｅｐｒｂｅｏｈｅｆｒｔｏｄｅｍｐ — ｔａｃｏｘｓｅｅｔｅｒｆｍｌｉｅｐｓｔｖｏｕｔｏｓｏｒｏｉｕｎｒａｕｏｌｍｆｒｔｓｒｒｉｕｌｉｓｖｎｔｇｏｄｆｅｅｉｌｅｕａｉｎｎＢａｃｈｓａｅｗｅｅｐｒｖｄｂｉｈｆｘｄｏｎｔｉｄｅｈｅｒ，ｗｈｉｈｉｒｖｄａｄｉｅｉｅｒ — ｉｆｒｎｔａｑｔｏｓｉｎａｐｃｒｏｅｙｕｓｎｇｔｅｉｅｐｉｎｘｔｏｙｃｍｐｏｅｎｇｎｒｌｚｄｔｅｓｌｓｏｔｉｅｙｏｈｒ．ｅｅａｉｅｈｅｒｕｔｂａｎｄｂｔｅｓ

一阶微分方程周期边值问题最优正解的存在性

在本文中，令
Ｘ＝｛ｔ：ｔ∈Ｃ［，］［，）ｕＯ＝ｕＴ｝（）（）（０Ｔ， ∞），（）（），０Ｉ＝ｓｐｔ（），ＥＸ｝１ｕＩｆｌｕ，
…
则按ｌｌＢｎｃ空间．ｌＪａｈ是ａ
［中图分类号】Ｏ７１５
［文献标识码】Ａ
［文章编号】１０ — ７Ｘ２０）５００ — ２０８１８（０８０ — ０１０
在现有的关于一阶非线性微分方程周期边值问题的文献中，大多数都是用上下解的方法来处理，本文将利用格林函数的正性和更一般的锥不动点定理来给出下面微分方程一个正解的最优存在条件．
Ｊ（）口ｔｎｔ＝ｔｆ）－ｔ＋（）（），），吐（
【（）（．ｕ０：）
ｒ１１、
一
其中，（）（０Ｔ，，）ｆ［，］０南）［，）口ｔ∈ｃ［，］（ ∞），Ｅｃ０Ｔ ×［，，０ ∞）．０（
定义算子：）ｔ＝ＪＧｔｓｓｓ）．（（）。（，），）（
显然是全连续算子．
令Ｋ＝｛ ∈Ｘ，ｔ≥０ｕｔｚ ‘ （），（）
不难验证是一个锥．
［收稿日期】２Ｏ — ５１Ｏ８０ — ０
ｌ｝ｌＩｌ，ｕ
＞），
＜），
＜ｃ；ｔ㈤
＞）．
引理ｌ设＝，ｌ『是Ｂｎｃ空间，是中的一个锥，，（ｌ１・）ａａｈｒＲ是常数，＜ｒ．０＜Ｒ设：ｎ｛ ∈Ｘ，Ｉ『＜Ｒ｝Ｉｌ是全连续算子，满足下列条件：；（）ｎｉ￣果存在 ∈Ｋ＼Ｏ，ｉ｛｝使得 ≠ ＋， ∈［，］ｎａ，００１， ∈ Ｒ＞，则在ｎ｛ ∈ ：＜ｌ『＜有一个不动点．ｒＩｌＲ｝注１引理１中条件（）：与条件（ｉ换成下面情况：ｉ）（） ≠ｉ＞，ｉｔｘ ∈［，］ｎａ，ｑ０１， ∈ ｎ月（如果存在 ∈Ｋ＼０使得 ≠ ＋，）｛｝ ∈Ｋｎａ，０＞，则在ｎ｛：＜ｌｌ＜Ｒ｝ ∈ ｒｌｌ有一个不动点．

一类脉冲微分方程的积分边值问题

２．ＤｅａｔｎｔｏｔｍａｉｓａｄＣｏｐｒｍｅｆＭａｈｅｔｃｎｍｐｕｅｃｅｃｔｒＳｉｎｅ，ＨｕａｒａｖｒｉｎｎＮｏｍｌＵｎｉｅｓｔｙ
，
Ｃａｇｈ１０１Ｃｉａｈｎｓａ４０８，ｈｎ）
摘要研究了一类一阶脉冲微分方程的积分边值条件问题，过上下解、通单调迭代的方法分别获得了方程的最大、最小解和唯一解存在的充分条件．
关键词
积分边值条件的脉冲微分方程；上下解；单调迭代方法
【中图分类号】１５８０７．
【文献标识码】Ａ
Ａｂｔａｔｈｔｏｆｏｅｎｐｅｏｕｏｓｃｍｂｎｄｗｉｅｍｏｏｏｅｉｒｔｅｔｃｎｑｅｉｕｅｒｓｒｃ：Ｔｅｍｅｄｏｗｒａｄｕｐｒｓｌｔｎｏｉｅｔｔｎｔｎｔａｖｅｈｉｕｓｄｆｈｌｉｈｈｅｉｓｏ
ＬｉｎＬｕｉｕｕＰｅｇｏＺｈｇｏ
（．ＤｐｒｅｔｆｔｍｔｓＣｕｉｇＮｒａＵｉｅｉＣｕｉｇ７００Ｃｉａ１ｅａｔｎｈａｉ，ｈｘｏｏｍｌｎｖｍ￣，ｈｘｏ５０，ｈｎ；ｍｏＭａｅｃｎｎ６
．
ｄｓｕｓｄｉｃｓｅ．Ｓｏｅｕｔｂｔｉｒｍｏａｉｏｒｒｓｎｔｄｔｏｍｅｒｓｌｓｏａｎｆｏｃｍｐｒｓｎａｅｐｅｅｅｏ．
Ｋｅｒｓｉｕｓｖｉｅｅｔｑａｏｓｗｉｎｅａｏｎａｙｃｎｉｏｓｕｐｒａｄｌｗｅｌｔｎ；ｙｗｏｄ：ｍｐｌｉｅｄｆｒｎｉｅｕｔｎｔｉｔｇｌｂｕｄｒｏｄｔｎ；ｐｅｎｏｒｓｕｉｌａｉｈｒｉｏｏ

混合型一阶脉冲积分-微分方程初值问题

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第３３卷第３期
２００７年７月
曲阜
师范
大学Biblioteka 学报Ｖｏ．３ＮＯ３１３．
ＪｕｎｌｏＱｕｕＮｏｍａＵｎｖｒｉｒａｏｆｆｒｌｉｅｓｔｙ
Ｊｌ０７ｕｙ２０
一
｛ＥＰｃＪ：Ｕ在ｔ处连续可微，ｆ，Ｕ（存在，一１２ … ，｝Ｕ（） ≠ｆＵ（）ｆ）ｋ，，ｍ．显然，（）ｌｌＪ一ＰＣＪ在ｌｌＵ
ｓｐｌ（）：ＥＪ下为Ｂｎｃｕ｛“ｆｌｔ｝ａａｈ空间．ＰＪ在ｌＵｌＣ（一ｌＵｌＪ＋ｌｌＪ下也是Ｂｎｃｃ（）ｌｌｌ）ｌｌ）Ｊｐ刖ｌ “ ｌ）ａａｈ空
△ Ｕｆｆ — Ｉ（（），ｋ一１２３ … ，，，Ｊ＿女Ｕｔ）女，，，ｍＩ（）一Ｕ，Ｕ０ｏ
（）１
其中Ｊ０］ｆＥＣ（一［，Ｔ，Ｊ×Ｒ ×Ｒ ×Ｒ ×Ｒ，，ＪＥＣ（Ｒ）ＥＣＲ，， “ 一“ ｆ一“ ｆ，Ｒ）女Ｒ，，（Ｒ） △ Ｉ（）（）这里 “ ，和 “ ）（）（分别表示 “ ｚ在点ｔ（一１２ … ，处的右极限和左极限，七，，，满足Ｏｔ（）七，，）（一１２ … ）＜
２００７卑
｛Ｉｋ￡，一１２ …，， △“ … ≤Ｌ“ ｋ，，（）
和最小解的存在性．
关键词：冲积分一微分方程；脉初值问题；上下解；单凋迭代技巧；最大解和最小解

一阶脉冲时滞微分方程的周期边值问题

ｆ￡ ≥一ａ￡（）（，（，，≠ ｔ， ∈ Ｅ，］（）（卢￡＋ｆｔ３））１ｔ）ｔｋｔｏＴ，
Ｉ（ ≥ （（）ｋ一１２ …，）卢），，，，
ｌ（）（）ｔ［，］￡一０， ∈ 一ｒ０，
【（）０ ≥ （．Ｔ）
２４
则（）为方程（．）￡称１１的上解．
曲阜师范大学学报（自然科学版）
２００７血
２预备知识
考虑如下线性脉冲微分方程的边值问题：
Ｉ（一￡（一Ｎ（ｄ＋（，女 ∈Ｅ，］￡Ｍ（“￡Ｊｓｓ口￡￡，ｏＴ， “）））Ｉ“ ）） ≠￡￡
一
阶脉冲时滞微分方程的周期边值问题
张小芝，叶梅燕，罗清雨
（昌大学数学系，３０７江西省南昌市）南３０４，
摘要：利用上下解方法及单调迭代技巧，论了一类一阶脉冲时滞微分方程的周期边值问题，讨获得了
（ｋｔ）Ｌ＾ｔ）＋Ｊ（１ｔ）一Ｌｋ（ｋ，一１２，， “（ｋ＾７ｋ）（ｒｔ）ｋ］， … Ｐ，（２
１引
言
周期边值问题是脉冲微分方程中的一个重要课题，上下解方法则是研究微分方程强有力的工具之一，特别是在关于边值问题的研究上Ｅ，根本思想是构造两个迭代序列，后迭代序列分别收敛为方程的极大其然解和极小解．当其应用在脉冲微分方程上时，则需要依赖于比较原理．样一来，这应用在脉冲微分方程上所得的成果将比应用在相应的微分方程上的成果丰富得多．于这方面的成果还比较丰富，绝大多数是在关但下解小于或等于上解的假设下进行的，而事实上，解是可以大于上解的［，下４但这方面的成果很少，］因此我们在这里进行了一些研究．本文通过上下解方法和单调迭代技巧，讨论了如下脉冲微分方程的周期边值问题：ｆ（）一一ａ￡￡＋ｆｔ￡，）ｔｔ， ∈ Ｅ，］￡（））（（，）， ≠ ｔ（ｏＴ，

一阶脉冲微分方程的积分边值问题的单调迭代技术

第30卷第3期2008年9月湘潭师范学院学报(自然科学版)Journal o f X ia ngta n Normal Un iver sity(Natural Science Edition) Vol.30No.3Sep.2008一阶脉冲微分方程的积分边值问题的单调迭代技术①谢景力(吉首大学数学与计算机科学学院,湖南吉首416000)摘　要:研究一阶脉冲微分方程的积分边值问题。

通过利用上下解方法和单调迭代技术得到了边值问题存在耦合极大解和极小解的一组充分条件,以及一个一致收敛于解的单调叙列。

关键词:脉冲微分方程;积分边值条件;单调迭代技术中图分类号:O175.8 文献标识码:A 文章编号:1671-0231(2008)03-0010-041　引言和预备本文研究如下带有积分边值的脉冲微分方程:x ′(t )=f (t ,x (t ))t ≠t k ,t ∈J =[0,T ]Δx (t k )=I k (x (t )),k =1,2,3,…,px (0)+μ∫Tx (s)d s=-x (T)(1)其中,f ∈C(J ×R ,R),I k ∈C (R),μ≤0,0<t 1<t 2<…<t p <T ,μ≥0。

上下解方法以及单调迭代技术在研究脉冲微分方程的极值解的存在性方面有着广泛的应用。

本文把上下解方法和单调迭代技术结合起来处理边值问题(1)取得了较好的效果。

记PC (J )={u :J →R n :u (t )当t ≠t k 时连续,u (t -k ),u (t +k )存在且u (t -k )=u (t +k )},PC 1(J )={u ∈PC(J ):u (t)当t ≠t k 时连续可微}。

显然PC(J )、PC 1(J )是巴拿赫空间且记‖u ‖PC (J)=sup {|u (t )|:t ∈J },‖u ‖PC -1(J )=max {‖u ‖PC (J ),‖u ′‖PC (J)}。

一阶脉冲方程反周期边值问题的解

Ｙ．．ｈｎ等＿研究下面无穷维脉冲方程反周ＱＣｅ３
｛（））ｕＯ：一（
【ｕｔ）（（），＝１２… Ａ（：ｕｔ）ｋ，，
，３（）
其中，Ｊ×ＲＲ，Ｌ－ａａｈｏｏｙ函数．者利用： — 是Ｃｒｔｅｄｒ作
于是可测的，对于Ｖ ∈［，，于是连续０Ｔ］ｆ关
的，使得ｆ（，） ≤ｇ，中ｇ）Ｌ（０Ｔ）厂ｔｉ（）其（・ ∈ ［，］，（，）∈［Ｔ ×Ｒ，０ｔ０，］贝
ｒ）Ｇ（）￡（），Ｉ．ｆ［，］ｔＭ（＝ｕｔｔ，ｔ）ａｅｔＪ＝０Ｔ，ｕｉ ≠
｛（） “ “０＝一（
【ｕｔ＝ “ｆ），１，Ａ（）（（）ｋ＝， … ２有解．
（）２
＝／（）＋（（）的周期解时，出其反周期解的２ｔ／ｔ）．Ｚ提存在性问题 ¨ ．随后许多学者对反周期各种边值问题进行了深入研究．研究脉冲方程边值问题主要利
用上下解方法、调迭代方法、ｅａ—ｃａｄｒ择单ＬｒｙＳｈｕｅ二
一
以上利用ＬｒｙＳｈｕｅ度方法证明了脉冲方ｅａ．ｃａｄｒ程反周期边值问题的解的存在性．理Ａ中Ｇ满足定
定理和锥拉伸与压缩不定点定理等方法研究脉冲
｛（）７ｕ０＝一（）１
【ｕｔ＝ｕｔ）ｋ１，Ａ（）厶（（），＝＇ … ２

脉冲泛函微分方程周期边值问题的上下解方法

义ｅ（，）＝｛：ｃｊ尺；（）ｔ￡在＃ｔ时连续，（ｆ和（））存在且（）（）；Ｃ（，＝＝ｔ｝Ｐ＿），｛Ｐ（，）（）￡时连续可微，）（） ∈ Ｃ，：ｔ在 ≠ （ｆ和￡存在且（ｆ＝（｝ｆ￡）ｔ。设Ｑ＝｛ ∈ ）Ｐ（，）（）ｘｏ，Ｅ一ｒ］。定义范数ＩＩ＝ｕ｛ｘｔｌ ∈ Ｔ明｝显然，ｃ－Ｒ：ｔ＝（）ｔ［，０｝，Ｅ，ＩＩｓｐＩ（）：ｔ［一，，Ｑ是个Ｂｎｃ间。又设ｎ＝Ｐ［，，）Ｃ（０Ｔ，）ａａｈ空Ｃ（一Ｔ］尺ｎＰ［，］Ｒ。称函数 ∈Ｑ为边值问题式（）１的个解，如果 ∈Ｑ满足（）。１式
脉冲泛函微分方程周期边值问题的上下解方法
Ｏ陈星荣
（嘉应学院数学学院，东梅州５４１）广１０５［摘要］利用带脉冲的微分不等式及新的比较结果，结合单调迭代法，研究了一阶脉冲泛函微分方程
周期边值问题解的存在性。
［关键词］冲泛函微分方程；脉周期边值问题；上下解；单调迭代法［中图分类号］０７．［１５８文献标识码］Ａ［文章编号］１０６２２ｏ）６— ０４００６— ４ｘ（ｏ８ｏ０１－５
（＝＋Ｇ）一＋（）Ｌ（）∈ ，￡｛。（（）（）＋ｒ，［明）（￣ｔｔ０ｌ）
【（）ｔ一，］ｘｏ，∈［丁０
其中
（３）
∞ 南＝

几类脉冲微分方程解的存在性

几类脉冲微分方程解的存在性几类脉冲微分方程解的存在性摘要：脉冲微分方程是一类带有脉冲信号的微分方程，其解的存在性是微分方程理论的重要问题之一。

本文将探讨几类常见的脉冲微分方程并讨论其解的存在性。

一、引言脉冲微分方程是在某些离散时间点发生突变或发生冲击的微分方程。

相比于普通微分方程，脉冲微分方程的求解更加困难，因为离散时间点的突变或冲击会使系统的动力学行为发生剧变。

因此，解脉冲微分方程的存在性成为研究的重要内容之一。

二、周期性脉冲微分方程周期性脉冲微分方程是一类具有周期性脉冲信号的微分方程，其在固定时间间隔内受到脉冲作用。

解周期性脉冲微分方程的存在性问题可以通过周期延拓方法来解决。

该方法通过将周期延拓后的方程转化为周期函数的微分方程，然后应用连续性和紧性定理，判断原始方程的解是否存在。

三、非线性脉冲微分方程非线性脉冲微分方程是指含有非线性项的微分方程，其解的存在性问题更为复杂。

对于非线性脉冲微分方程，通常可以通过构造适当的Lyapunov函数或应用不动点定理来解决。

Lyapunov函数可以用来刻画系统的稳定性，并通过其定义的正定性和严格增加性来推导解的存在性。

不动点定理则可以将微分方程转化为适当的积分方程，通过分析积分方程的不动点来判断方程的解是否存在。

四、时滞脉冲微分方程时滞脉冲微分方程是一类含有时滞项的微分方程，其解的存在性问题更具挑战性。

对于时滞脉冲微分方程，可以通过使用Lyapunov-Krasovskii函数和稳定矩阵方法来解决。

Lyapunov-Krasovskii函数是一类特殊的Lyapunov函数，通过引入时滞项和矩阵变量，可以刻画系统的稳定性，推导解的存在性。

稳定矩阵方法则通过构造适当的矩阵Lyapunov方程，将微分方程转化为矩阵的稳定性问题，从而判断解的存在性。

五、数值仿真数值仿真是解决脉冲微分方程存在性问题的常用方法之一。

通过将脉冲微分方程离散化为差分方程，然后利用数值计算方法求解差分方程，可以得到脉冲微分方程的数值解。

一阶非线性积分—微分方程周期边值问题的极值解

Ｊ０
中的序关系 “ ≤” 由Ｐ引出】．本文用单调迭代
方法讨论一阶非线性混合型积分．分方程周期边微
ＶｔＯ２］Ｅ［，ｎ，但口０（ｎ，ｐＯ郅（的条件下获得了一类一阶非线性积分一分方程周期边值问题的极值解的（）２）（）２）微
存在性定理．
关键词：混合型积分一分方程；周期边值问题；比较定理；上解和下解；单调迭代方法微
ＡｂｔａｔＢｓａｌｓｎｅｃｍｐｒｓｎｔｏｅａｄａｐｙｎｎｔｎｔｒｔｅｔｃｎｉｕｏｐｌｄｗｉｅｍｅｏｓｒｃ：ｙｅｔｂｉｈｉｇａｎｗｏａｉｏｈｅｒｍｎｐｌｉｇｍｏｏｏｅｉｅａｉｅｈｑｅｃｕｅｔｔｔｄｖｈｈｈｏｐｅａｌｗｅｓｌｔｎｆｕｐｒｎｄｏｒｏｕｉｓ，ａｅｉｔｎｅｈｅｒｍｏｘｒｍａｓｌｔｏｓｏｅｉｄｃｏｎｄｒｖｌｅｒｂｅｏｏｎｘｓｅｃｔｏｅｆｅｔｅｌｏｕｉｎｆｒｐｒｏｉｂｕａｙａｕｐｏｌｍｓｆ
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西北师范大学学报（自然科学版）
１２Leabharlann 第３８卷２００２年第４期
Ｖ０．８２０Ｎ．１３０２ｏ４
Ｊｕａｏｏｔｅｔｏｍｌｒｖｒｔ（ａｒｌｃｅｃ）ｏｒｌｆｒｗｓＮｒａｔｅｓｙＮｔａＳｉｅｎＮｈＵｉｉｕｎ

微分方程中的边值问题与特解求解技巧

微分方程中的边值问题与特解求解技巧微分方程是描述自然现象和数学模型中常见的数学工具，它涉及到函数与其导数之间的关系。

在微分方程的研究过程中，边值问题和特解的求解是非常重要的。

本文将介绍微分方程中的边值问题以及一些常用的特解求解技巧。

一、边值问题边值问题是指在微分方程中给定一些边界条件，要求求解满足这些条件的特解。

常见的边值问题有两类：两点边值问题和混合边值问题。

1. 两点边值问题两点边值问题是在微分方程的解中给定两个边界条件，要求求解满足这两个条件的特解。

常见的两点边值问题形式如下：$$\begin{cases}y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = r(x) \\y(a) = \alpha, \\y(b) = \beta\end{cases}$$其中，$y''(x)$表示$y(x)$的二阶导数，$p(x)$、$q(x)$和$r(x)$分别为已知函数，$a$、$b$为给定的边界点，$\alpha$和$\beta$为给定的边界条件。

解决两点边值问题的常用方法是使用边界条件构造特征方程，并利用特征方程的解来求解微分方程。

特征方程的解决定了微分方程的通解形式，而边界条件则确定了通解中的特解。

2. 混合边值问题混合边值问题是在微分方程的解中给定多个边界条件，既包括函数值的边界条件，也包括导数值的边界条件。

常见的混合边值问题形式如下：$$\begin{cases}y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = r(x) \\y(a) = \alpha, \\y'(b) = \beta\end{cases}$$其中，$y'(x)$表示$y(x)$的一阶导数，$a$、$b$为给定的边界点，$\alpha$和$\beta$为给定的边界条件。

求解混合边值问题的方法较为复杂，通常需要利用一些特殊的求解技巧，如变量分离、奇偶性分析等。

一阶脉冲泛函微分方程周期边值问题的正解

近年来，用单调迭代技巧的上解和下解的利
方法讨论一阶泛函微分方程的周期边值问题
（Ｂ）的存在性，ＰＶＰ解已获得了若干较好的结果，然而利用单调迭代方法讨论周期边值问题解的存在性，其证明均是构造性的，且要求ｆ（，关并ｔ）于满足单调性条件，时在应用中需要寻找上同
解和下解。但在一般情况下，找上解和下解比寻较困难。众所周知，上的不动点定理在微分方锥程两点边值问题正解的存在性研究中发挥了重要
ｌ
ｌ
一Ｉ（），走一１２ … ，）ｋ（）（，，
ｉｔｎｅｏｏｉｖｅｉｄｃｓｌｔｎｔｈｑａｉｎａｅｏｔｉｅ．ｓｅｃｆｐｓｔｅｐｒｏｉｏｕｉｏｔｅｅｕｔｒｂａｎｄｉｏｏＫｅｒｓＦｕｃｉｎｌｉｅｅｔｌｅｕｔｏｙｗｏｄ：ｎｔｏａｆｒｎｉｑａｉｎ；ｉｐｌｅ；Ｐｅｉｄｃｂｕｄｒａｕｄｆａｍｕｓｓｒｏｉｏｎａｙｖｌｅ
ｚ（）一．（）０２１．２
（．１１）
的正解的存在性。其中
ｆ（ ×ｎ，，一［，］一ｃ［，］Ｒ，ＥＣＪＲ）Ｊ０１，（一ｒｏ，）
０ｚ ∈ ，（）．一ｚ（＋［ｔ～ｒ ≤ ￡），ＥＪ， ≤ Fra bibliotek１引

一阶脉冲泛函微分方程的边值问题

连续，ｔ∈厶，（）对ｔ连续，（一，（）￡）１）￡，（存在，且（）＝ｔ，￡（）后＝１２ …，．，，玑｝
Ｐ－ｃ（）＝｛ ∈Ｐ（）Ｉｌ，，ｃ．：．、∈Ｃ（，＋）后＝１２ … ，１）（）￡），ｆ￡ｔｔ，，，ｍ，（一，ｔ，（存在｝ｉ，
注意到系统（）１是个较一般的边值问题，我们使用上、下解方法和比较原理，在合适的条件下，利用不
动点定理获得了系统（）１解的若干存在性结果．
１预备知识
设算子Ｂ：＝Ｂ（）ｓ，中 ∈Ｌ（一ｒｏ，）（）［，ｌ上的有界可测函数．ｓ（）其［，ｌＲ，ｓ是一ｒｏ若
（）＝／ｔ（））ｔ∈ Ｊ，ｔ ’，ｔ，，（ｏ △ （＝ ‘，（￣ｔ， ‘））Ｘｋ后＝１ … ，），ｍ，（）＝（）卢＞１１０，，（）１
考虑如下一阶脉冲泛函微分方程边值问题
（）：（）ｓ∈［，］ｓｓ，一０，其中Ｊ＝［，］－一１，＝［，］０＝ｔ，０１，０＜ｔ１＜… ＜ｔ＜ｔ１＝１Ｊ＋，０＝－＼ｔ …，｝函数厂ＩＪ × ，｛，ｔ，１，：ＲＸＤ— Ｒ在ＪＸＤ上连续，中集合Ｄ＝｛：一，］Ｒ；ｏＲＸ其［ｒＯ一在（７０上除有限个矽｝一＂］９、处处连续，ｔ）（一
，ｔＰ（）≤一？ｔｐ，ｌ）一（
ｔ∈Ｊ，ｏ
引 … Ｒ ∈ Ｃ－，足卸（）一ｋｔ，理１ｐＰ，满｛ ≤ Ｌ（）（）ｐ＾

一类Hadamard分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性

一类Hadamard分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性张海燕;李耀红【摘要】利用Leray-Schauder选择原理及Banach压缩映射原理,本文在一定的非线性增长和压缩条件下研究了一类具有Hadamard积分边值条件的Hadamard 分数阶微分方程边值问题,获得了问题解的存在唯一性的充分条件,并给出了两个例子.【期刊名称】《四川大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(055)004【总页数】5页(P683-687)【关键词】Hadamard分数阶导数;分数阶微分方程;边值条件;存在唯一性【作者】张海燕;李耀红【作者单位】宿州学院数学与统计学院,宿州234000;宿州学院数学与统计学院,宿州234000【正文语种】中文【中图分类】O177.911 引言近年来,分数阶微分理论在黏弹性材料力学、工程问题建模、系统控制、分形几何和分形动力学等应用领域建模中得到广泛应用.由于分数阶模型描述的过程信息比整数阶微分方程更精确,分数阶微积分理论近来受到了广泛关注[1-3].虽然出现了许多分数阶微分方程边值问题解的存在性的结果[4-10],但是绝大部分研究工作都是基于Riemann-Liouville或Caputo分数阶微分方程边值问题,对Hadamard分数阶微分方程边值问题的研究则相对较少.其原因也许是Hadamard分数阶定义及计算较复杂,且与其他类型的分数阶微分之间的关联还未完全明确,因而很多现有的非线性分析计算方法不能通过简单平移进行使用.总之,对Hadamard分数阶微分方程进行深入研究很有必要.最近，文献[11]在无穷区间研究了一类Hadamard分数阶微分方程的正解,文献[12]对一类耦合的Hadamard分数阶微分方程组解的存在性进行了研究.受上述文献及其参考文献启发,本文考虑如下Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)解的存在唯一性充分条件,这里为为Hadamard分数阶导数,为γ阶Hadamard分数阶积分，f:[1,e]×R2→R是一个连续函数.和文献[11,12]比较,方程(1)中的非线性项中含有Hadamard分数阶导数,同时具有更一般的非线性增长条件,因而在应用上更方便.2 预备知识定义2.1[1] 函数g:[1,+∞)→R的α阶Hadamard分数阶积分定义为定义2.2[1] 函数g:[1,+∞)→R的α阶Hadamard分数阶导数定义为其中n=[α]+1.引理2.3[1] 若α>0，u∈C[1,e]∩L[1,e]，则有c2(lnt)α-2-…-cn(lnt)α-n,其中ci∈R,i=1,2,…,n,n如定义2.2所述.引理2.4 如果y(t)∈C([1,e],R)且1<α≤2，则分数阶微分方程(2)有唯一解(3)其中证明由引理2.3可知,Hadamard分数阶微分方程(2)的一般解为(4)利用边值条件u(1)=0，则有c2=0.又由条件知[y(t)+c1(lnt)α-1](η)=则c1=K[y(η)-y(e)].将c1,c2代入(4)式即得(3)式.引理得证.引理2.5(Leray-Schauder选择原理[13]) 设E是实Banach空间,D是E中有界凸集,T:D→D是一个全连续算子,则T在D中必具有不动点.引理2.6(Banach压缩映射原理[13]) 设D是Banach空间E的闭子集，F:D→D 是一个严格的压缩映射,即对任意x,y∈D,|Fx-Fy|≤k|x-y|成立,其中0<k<1，则F在E中有唯一不动点.3 主要结果记X={u|u∈C([1,e],R)且u∈C([1,e],R)}，则X在范数下是一个Banach空间.结合引理2.4,定义算子T:X→X如下:Tu(t)=显然，Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)有解当且仅当算子T在X中有不动点.为方便,记定理3.1 若f:[1,e]×R2→R是一个连续函数,且存在实常数μi>0(i=0,1,2)使得|f(t,x,y)|<μ0+μ1|x|σ1+μ2|y|σ2,1<t<e,0<σi<1,i=1,2(5)成立,则Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中至少存在一个解.证明首先构造一个有界凸闭集.令Ωl={u(t)|u(t)∈X,‖u‖X≤l,t∈[1,e]}，这里的显然Ωl是Banach空间X中的有界凸闭集.接着，由Hadamard分数阶导数定义及(5)式,对任意u∈Ωl有|Tu(t)|≤μ1lσ1+μ2lσ2)≤μ1lσ1+μ2lσ2)=M(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2) (6)同时,由定义2.2有μ1lσ1+μ2lσ2)=(7)因此‖Tu‖ X=故算子T:Ωl→Ωl.最后，我们分三步证明T是Ωl上的一个全连续算子.第一步,由于算子T:Ωl→Ωl且f是一个连续函数，因此算子T在Ωl上连续. 第二步，∀u∈Ωl，|f(t,u(t),u(t))|≤L=(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2).于是，类似于(6)式和(7)式有即TΩl⊂Ωl.故算子T在Ωl上是一致有界的.第三步,∀u∈Ωl，|f(t,u(t),u(t))|≤L=(μ0+μ1lσ1+μ2lσ2).故由第二步知T:Ωl→Ωl.接着，令t1,t2∈[1,e](t1<t2).于是|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|≤KL|(lnt2)α-1-(lnt1)α-1|×另一方面,类似地有|Tu(t2)-Tu(t1)|≤因此,当t2→t1时,有|(Tu)(t2)-(Tu)(t1)|→0，|Tu(t2)-Tu(t1)|→0，即‖(Tu)(t2)-(Tu)(t1)‖X→0，从而T在Ωl上是等度连续的.结合以上三步的结果,由Arzela-Ascoli's定理知算子T在Ωl上是全连续的.综上所述,由引理2.5可知，算子T在Ωl中至少存在一个不动点,即Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中至少存在一个解.证毕.注1 当σi=1或σi>1(i=1,2)时，用类似方法在一定条件下也可得到定理3.1的结论.定理3.2 若f:[1,e]×R2→R是一个连续函数且满足下面Lipschitz条件:|f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1)|<λ(|x2-x1|+|y2-y1|),1<t<e,λ>0,xi,yi∈R,i=1,2(8)且Nλ<1，则Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中存在唯一解.证明令其中取Ωr={u(t)|u(t)∈X,‖u‖X≤r,t∈[1,e]}.则TΩr⊂Ωr.事实上,由u∈Ωr可知|f(t,u(t),u(t))|≤|f(t,u(t),u(t))-f(t,0,0)|+|f(t,0,0)|≤λ(|u(t)|+|u(t)|)|+r′≤λ‖u(t)‖X+r′≤λr+r′.于是由(6)式和(7)式有‖Tu‖≤M(λr+r′)，因而N(λr+r′)≤r,即TΩr⊂Ωr.接着我们证明算子T是压缩映射.对ui∈Ωr,i=1,2,t∈[1,e]，有|Tu2(t)-Tu1(t)|≤|f(s,u2(s),u2(s))-Mλ(|u2(s)-u1(s)|+|u2(s)-u1(s)|)≤Mλ‖u2-u1‖X,及|Tu2(t)-Tu1(t)|≤因此，‖Tu2-Tu1‖X≤Nλ‖u2-u1‖X.注意到Nλ<1，则T是一个压缩映射.因而由引理2.6知算子T在Ωr中有唯一不动点,即Hadamard分数阶微分方程边值问题(1)在X中存在唯一解.证毕.例3.3 考虑Hadamard分数阶微分方程积分边值问题(9)这里于是取显然,定理3.1条件满足.因此由定理3.1知Hadamard分数阶微分方程边值问题(9)在X中至少存在一个解.例3.4 考虑Hadamard分数阶微分方程积分边值问题(10)这里则于是|f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1)|<取λ=1/30，则Nλ<1.显然,定理3.2条件满足.因此由定理3.2知Hadamard分数阶微分方程边值问题(10)在X中存在唯一解.参考文献:【相关文献】[1] Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and applications of fractional differential equations[M].Amsterdam: Else vier， 2006.[2] Zhou Y，Wang J R，Zhang L.Basic theory of fractional differential equations[M].Singapore: World Scientific Pre ss， 2016.[3] 陈文，孙洪广，李西成,等.力学与工程问题的分数阶导数建模[M].北京: 科学出版社， 2012.[4] Cui Y J.Uniqueness of solution for boundary value problems for fractional differential equations[J].Appl Math Lett， 2016， 51: 48.[5] Zhang X Q.Positive solutions for a class of singular fractional differential equation wi th infinite-point boundary value conditions[J].Appl Math Lett，2015， 39: 22.[6] Zhang H Y，Li Y H，Lu W.Existence and uniqueness of solutions for a coupled system of nonlinear fractional d ifferential equations with fractional integral boundary conditions [J].J Nonlinear Sci Appl，2016， 9: 2434.[7] Wang G T.Explicit iteration and unbounded solutions for fractional integral boundary value problem on an infinite interval [J].Appl Math Lett， 2015， 47: 1.[8] Hamani S，Henderson J.Boundary value problems for fractional differential inclusions with nonlocal c onditions [J].Mediterr J Math， 2016， 13: 967.[9] 张海燕,李耀红.一类高分数阶微分方程积分边值问题的正解[J].四川大学学报:自然科学版，2016，53: 512.[10] 张立新,杨玉洁,贾敬文.一类Caputo分数阶微分方程积分边值问题的正解[J].四川大学学报:自然科学版， 2017， 54: 1169.[11] Qiao Y，Zhou Z F.Positive solutions for a class of Hadamard fractional differential equations on the Infinite interval [J].Math Appl， 2017， 30: 589.[12] Ahmad B，Ntouyas S.A fully Hadamard type integral boundary value problem of a coupled system of fractional differential equations [J].Fract Calc Appl Anal， 2014， 17: 348.[13] Deimling，K.Nonlinear functional analysis[M].Berlin: Springer， 1985.。

几类差分方程周期边值问题研究

几类差分方程周期边值问题研究几类差分方程周期边值问题研究引言：差分方程是数学中的一种常见形式，它描述了相邻点之间的离散关系。

差分方程在各个领域都有广泛的应用，特别是在物理学、生物学和经济学等领域中，差分方程的周期边值问题一直是研究的焦点。

本文将介绍几类常见的差分方程周期边值问题，并探讨其研究方法和应用。

一、线性差分方程的周期边值问题对于形如x_n+1 = ax_n + b的线性差分方程，其中a和b为常数，周期边值问题是研究如何确定x的周期解以及边界条件的问题。

通过对差分方程进行变换，可以得到形如x_n+1 =cx_n-1的差分方程，其中c为常数。

对于这种形式的差分方程，可以采用特征根法求解周期边值问题。

即先求出差分方程的特征方程，并根据特征方程的根的性质确定解的形式。

二、非线性差分方程的周期边值问题非线性差分方程的周期边值问题较为复杂，需要采用不同的方法进行求解。

首先，可以尝试将非线性差分方程转化为线性形式，进而利用线性差分方程的求解方法解决问题。

若转化不成功，则需要运用其他数学工具，如微分方程的离散化方法或迭代方法，来逼近解的形式。

三、混合差分方程的周期边值问题混合差分方程由线性差分方程和非线性差分方程的组合形成，是一类综合了两者特点的差分方程。

对于混合差分方程的周期边值问题，可以利用线性差分方程和非线性差分方程的求解方法进行处理。

首先，将混合差分方程划分为线性和非线性两个部分，并分别求解。

然后，将两个部分的解进行组合，得到混合差分方程的周期边值解。

四、应用实例差分方程周期边值问题在实际应用中有广泛的应用。

以物理学中的振动问题为例，差分方程可以模拟物体的振动过程。

对于一些具有周期性振动的系统，如弹簧振子或钟摆，可以建立相应的差分方程模型。

通过求解差分方程的周期边值问题，可以得到系统的周期解和边界条件，从而更好地理解和控制物体的振动行为。

结论：差分方程周期边值问题是差分方程研究的重要内容，它在物理学、生物学和经济学等领域有广泛的应用。

微分方程中的初值问题和边值问题

微分方程中的初值问题和边值问题微分方程（Differential Equation）是一种用来描述物理现象和数学模型的工具，许多科学和工程问题都可以转化为微分方程的形式。

其中，初值问题和边值问题是微分方程研究中最基本的两类问题。

一、初值问题初值问题（Initial Value Problem）是微分方程求解的基础，它需要确定未知函数的初值条件，并通过求解微分方程得到函数的解析式，描述物理实验或数学模型中的变化过程。

常见的初值问题是一阶常微分方程，它形式为：y' = f(x,y)，其中y表示未知函数，f(x,y)表示已知函数。

例如，一阶常微分方程：y' = x*y ，它的初始值为y(0)=1。

求解初值问题需要先求出微分方程的通解（General Solution）,再根据初始值确定特解（Particular Solution）。

以上述一阶常微分方程为例，其通解为：y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。

将初始值y(0)=1代入通解中，解得特解为：y =e^(x^2/2)。

二、边值问题边值问题（Boundary Value Problem）是另一种常见的微分方程求解问题，该问题需要确定未知函数在给定边界条件下的解析式，在物理实验或数学模型中常见于定常过程的描述。

常见的边值问题是二阶常微分方程，它形式为：y'' = f(x,y,y')，其中y表示未知函数，f(x,y,y')表示已知函数。

例如，二阶常微分方程：y'' + y = 0，它的边界条件为y(0) = 0, y(π/2) = 1。

求解边值问题需要以微分方程的通解为基础，附加边界条件，进一步确定常数。

以上述二阶常微分方程为例，它的通解为：y =A*sin(x) + B*cos(x)，其中A,B为任意常数。

将边界条件代入通解中，得到A=0，B=1，因此特解为：y = cos(x)。

微分方程中的特殊解和边值问题

微分方程中的特殊解和边值问题微分方程是数学中的重要分支之一，它描述了自然界和各种科学领域中许多现象的变化规律。

在求解微分方程的过程中，我们常常遇到特殊解和边值问题。

本文将重点介绍微分方程中的特殊解和边值问题，并探讨它们的求解方法和应用。

一、特殊解在求解微分方程时，我们通常会遇到特殊解。

特殊解是指满足给定边界条件或特定形式的解。

特殊解的求解方法有多种，下面我们将介绍其中两种常见的方法。

1. 常数特解对于一些特定的微分方程，我们可以通过设定特定的解形式来求得特殊解。

例如，对于一阶线性常微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，如果右侧Q(x)为常数C，我们可以猜测特殊解为y = A（其中A为常数）。

将这个猜测代入微分方程中，我们可以求解得到A的值，从而得到特殊解。

2. 变量变换法变量变换法是一种常用的求解微分方程的方法，通过引入新的变量来简化微分方程的形式。

例如，对于一阶非齐次线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)，我们可以通过引入新的变量u = e^(∫P(x)dx)来将其转化为齐次线性微分方程dy/du + Q(x)u = 0。

然后，我们可以使用常数变易法或其他方法求解齐次线性微分方程，最后再通过逆变换得到原微分方程的特殊解。

二、边值问题边值问题是指在微分方程的求解过程中，给定一些边界条件，要求求解满足这些边界条件的特殊解。

边值问题在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。

下面我们将介绍两类常见的边值问题及其求解方法。

1. 自由边值问题自由边值问题是指在求解微分方程时，给定方程的边界条件是自由的，即不受特定数值限制。

例如，对于二阶线性微分方程d^2y/dx^2 + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0，给定自由边界条件y(a) = b，y(b) = c（其中a、b、c为常数），我们需要求解满足这些边界条件的特殊解。

对于这类问题，我们可以使用常数变易法或其他方法求解微分方程，然后根据边界条件确定特殊解的形式。

一阶脉冲泛函微分方程的周期边值问题

（）＝ｆ（，（））ｔｔｔ，，
Ａｘ（ｔ）＝Ｉ（），ｚ（）
ｔ≠ ｔ，ｔ∈ ［，０Ｔ］
忌＝１２，，， … Ｐ
（）１
（）２
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ｚ（）＝ｚ（０Ｔ）
ｔ∈ ［ｒ０～，］
（）３
脉冲泛函微分方程作为一个重要的数学模型，经引起众多数学工作者的关注［已卜。
而单调迭代技术作为研究非线性微分方程初边值问题的重要方法，泛函微分方程的研究在
中，到了不断的改进［得】本文利用上下解方法和单调迭代技术讨论（）～（）的存。Ｉ４解在性，进了文［］的条件。改４
维普资讯
第ｌ卷第３９期
。。。年。月
工程数学学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＡＴＨＥＭＡＴＩＭＣＳ
Ｖｏ１３ｌ９ＮｏＡｕｇ．２００２
文章编号：０５３８（０２０．０５０１０ —０５２０）３０７ —６
收稿日期：０１０ — １作者简介：凤琴（９３年１２０ —１１．张１６１月生）女，士生，授，博教基金项目：家自然科学基金项目（９７０６． Βιβλιοθήκη １９１６）维普资讯
关键词：脉冲泛函微分方程；调迭代法；下解；期边值问题单上周

一阶脉冲微分方程反周期边值问题单调迭代技术

第２５卷第５期
Ｖｏ．５Ｎｏ５１２．
重庆工商大学学报（自然科学版）
ＪｈｎｑｇｅｈｏＢｓｅｎ．ＮｔｃＥ）ｏｇｉｅｌｕｎｓＵｉ（ａＳｉｄＣｎＴｎｉｓｖ
２００８年ｌＯ月
０ｃ．０８ｔ２ｏ
ａ
￡，）－ｔ）Ａ，）≥ 一Ｍ（，ｘ—Ｙ；Ｈ）每个｜．１２，， ∈ ＣＲ）是不减的．）（３对ｊｊ｝｝＝， … ｍ；，（
收稿日期：０８— ５—１；回日期：０８— ６—３．２００２修２０００
作者简介：谢景力（９２），１一男湖南辰溪人，，师，７硕士讲从事脉冲微分方程研究
（）≤ ￡（）， ≠ ｔｔｔ，ｔ）ｔ ∈Ｊ＝［，］△ （）≤ （ｔ）＝１２３ …，（）≤一Ｔ，０Ｔ；ａｔ（），＾，，，ｍ；０（）卢（）≥ ｔ（）， ≠ ｔｔｔ，ｔ）ｔ ∈Ｊ：［，］△ （）≤ （ｔ）＝１２３ …，卢０，０Ｔ；ｔ（），，，，ｍ；（）≥一Ｔ（）定义４称函数ｐｔ，ｔ是方程（）（）ｒ）（１的一对耦合极小解和极大解，（）ｒｔ是方程（）若ｐｔ，）（１的一对耦合解且对方程（）的任何一对耦合下、解（）卢（）有不等式（）≤ｐｔｒｔ１上ｔ，￡ｔ（）≤ （）≤ （）ｔ∈Ｊｔ，成立．
为了后面讨论方便，出所需条件：Ｈ）（）卢￡方程（）的下、解，列（￡，（）是１上且（）≤ （）ｔＥ；ｔｆ，

Banaeh空间中混合单调脉冲微分方程的周期边值问题

… ＹＹ．ｌＯ
ｌ … ｓｎ …
引理２２设Ｄ是Ｅ中有界凸闭集，Ｄ— Ｄ是全连续的，Ａ在Ｄ中具有不动点．［］Ａ：则引理３比较定理）（设ＥＰｌ，ＮＣ［Ｅ］ＭＥＲ＋，Ｃ［Ｅ］．，，Ｊ，若
【收稿日期】０７４７２０ —０ —０【作者简介】石漂漂（９７一）女，１６，山西运城人，中学院数学学院，晋副教授，硕士，究方向：研非线性泛函分析．
・
６・６
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石漂漂
Ｂｎｃａａｈ空间中混合单调脉冲微分方程的周期边值问题
Ａｖ，，０假定Ｐ是正规的且Ａ是全连续的，Ａ在［，０Ｘ［０Ｖ］（０１），０则０］，Ｏ中具有一个耦合不动点（，
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